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- 2021-07-01 发布
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广东省佛山市第一中学2019-2020学年上学期高二级期中考试题
数学
命题人:李维 审题人:何历程
一、单选题(本题共10小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中,表示数列的前项和,则( )
A.66 B.99 C.198 D.297
3.已知,那么下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.满足的的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.两条平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知点的坐标为,直线的方程为,则点关于的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.如图,网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.若圆x2+y2=r2(r>0)上有且仅有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是( )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1) C.(0,-1) D.(0,+1)
10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
A. B.16π C.9π D.
二、多选题(本题共2小题,每小题5分,共10分。在每小题给出的四个选项中,至少有两一项是符合题目要求的。)
11.已知表示两条不同的直线,、、表示三个不同的平面.下列命题中,正确的命题是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,,则
12.已知圆M:,直线l:.下列命题中,正确的命题是( )
A.对任意实数 k 和θ,直线 l 和圆 M 有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切
C.对任意实数 k,必存在实数θ,使得直线 l 与圆 M 相切
D.存在实数 k 与θ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.已知直线ax+a2y+1=0与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则a的值为________.
14.已知a,b均为正数,且a+b=1,则+的最小值为________.
15.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
16.已知直线l:与圆交于A, B两点,过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点,若,则m=________,|CD|=________.
四、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(10分)已知等差数列的首项为1,公差,且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
18.(12分)已知△ABC的内角分别为A, B, C,其对应边分别是a, b, c,且满足
.
(1)求角的大小;
(2)若,求a+2c的最大值.
19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,BC=CC1=4,D是A1C1中点.
(1)求证:A1B∥平面B1CD;
(2)当AA1⊥平面ABC时,求点B到平面B1CD的距离.
x
y
O
C
A
B
20.(12分)如图,等腰直角△的直角顶点,斜边所在的直线方程为.
(1)求△ABC的面积;
(2)求斜边AB中点D的坐标.
21.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上.
(1)证明:AP⊥PB;
(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
22.(12分)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球A球心运动的直线方程;
(2)如图,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标B球后,使目标B球向(8,-4)处运动?
(3)若A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B时,目标球B(4,0)运动方向可以碰到目标球C(7,-5),求a的最小值(只需要写出结果即可)
2019-2020学年上学期高二级期中考数学试题参考答案
1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;
11.AD 12.AC 13.1 14.4 15. 16.;.
17. (1)设等差数列的公差为,
是与的等比中项.
即 ……………………………………2分
或;
…………………………………………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………………5分
(2)因为,………………………8分
所以数列的前项和
.………………………………10分
18. (1),
由正弦定理得:……………………1分
即,……………………………………………………2分
又,………………………………………3分
故,
又因为,所以,………………………………………………4分
因此,,…………………………………………………………………5分
又因为,所以.…………………………………………………6分
(2)由正弦定理得:,
,……………………………………………………………8分
,…………………………………10分
(其中,)
当时,的最大值为.……………………………………12分
19.(1)证明:连接,交于点,连接.
在三棱柱中,四边形为平行四边形,
,又点是中点,,…………………………2分
而平面,且平面,…………………………………4分
平面.……………………………………………………6分
(2)由(1)知:,
到平面的距离与到平面的距离相等。…………………………7分
平面,平面,,
是等边三角形,是等边三角形
点是中点,
又,平面,平面,
平面,……………………………………………………9分
由计算得:,,……………………………10分
设到平面的距离为,由得:
点到平面的距离是.……………………………………………………12分
20. (1)顶点到斜边的距离为
, …………………3分
所以斜边, …………………………4分
故的面积为. ………6分
(2)由题意知,,又,所以,…………………………………7分
所以直线的方程为:,即, ………………………9分
由,解得,………11分 所以点的坐标为.……12分
21.(1)由题知平面,又平面,,………………1分
又且,
平面,……………………………………………………………………3分
又平面,,…………………………………………………4分
又且,
平面,………………………………………………………………5分
又平面,。………………………………………………6分
(2)如图,过点作BO⊥EC,垂足为O;过点作BH⊥PC,垂足为H. 联接OH.
H
O
平面,又平面,,
又BO⊥EC,,
平面,……………………………………………………………………7分
又平面,
平面,……………………………………………………………………8分
又平面,,…………………………………………………9分
因此,为面与面的二面角,…………………………………………10分
因为,,是以为直角的直角三角形,
.
同理,.
由△OHC∽△PEC,可得.
因此,.…………………………………………12分
22.(1)过点B(4,0)与点C(8,-4)的直线方程为:x+y-4=0,……………1分
依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2。设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为,则有:,
解得:,,
即:A,B两球碰撞时球A的球心坐标为(,),…………………………2分
所以,母球A运动的直线方程为:。…………………………3分
所以而
(2)因为=(4-2+),=(-),
=(4-2+)(-)= 4->0
故∠AA’B为锐角。………………………………………………………………………………5分
所以,点B 到线段AA’的距离小于,…………………………………………………6分
故球的球心未到直线BC之前就会与球碰撞。……………………………………………7分
故不可能让母球击打目标球后,使目标球向处运动。………………………8分
(3)的最小值为.要使得最小,临界条件为球A从球B的左上方A’处撞击球B后, B球从球C的右上方B’处撞击球C.如下图所示,……………………………………………9分
设B’是球B的所有路径中最远离BC的那条路径上离球C最近的点,则有,联立,
解得,所有直线的倾斜角为,所以直线的倾斜角为,易得.过作倾斜角为的直线,交轴于点,易得,就是一个符合题意的初始位置.若,则球会在达到之前就与球碰撞,不合题意.因此的最小值为.……………………………………………………………12分