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  • 2021-07-01 发布

2019-2020学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试 数学 Word版

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广东省佛山市第一中学2019-2020学年上学期高二级期中考试题 数学 命题人:李维 审题人:何历程 一、单选题(本题共10小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在等差数列中,表示数列的前项和,则(  )‎ A.66 B.99 C.198 D.297‎ ‎3.已知,那么下列不等式中一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.满足的的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5.两条平行直线与之间的距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知点的坐标为,直线的方程为,则点关于的对称点的坐标为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(  )‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ ‎9.若圆x2+y2=r2(r>0)上有且仅有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )‎ A.(+1,+∞) B.(-1,+1) C.(0,-1) D.(0,+1)‎ ‎10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D. 二、多选题(本题共2小题,每小题5分,共10分。在每小题给出的四个选项中,至少有两一项是符合题目要求的。)‎ ‎11.已知表示两条不同的直线,、、表示三个不同的平面.下列命题中,正确的命题是(  )‎ A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,,则 ‎12.已知圆M:,直线l:.下列命题中,正确的命题是(  )‎ A.对任意实数 k 和θ,直线 l 和圆 M 有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切 C.对任意实数 k,必存在实数θ,使得直线 l 与圆 M 相切 D.存在实数 k 与θ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3‎ 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)‎ ‎13.已知直线ax+a2y+1=0与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则a的值为________. ‎ ‎14.已知a,b均为正数,且a+b=1,则+的最小值为________.‎ ‎15.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.‎ ‎16.已知直线l:与圆交于A, B两点,过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点,若,则m=________,|CD|=________. ‎ 四、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.(10分)已知等差数列的首项为1,公差,且是与的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和.‎ ‎18.(12分)已知△ABC的内角分别为A, B, C,其对应边分别是a, b, c,且满足 ‎.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求a+2c的最大值.‎ ‎19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,BC=CC1=4,D是A1C1中点.‎ ‎(1)求证:A1B∥平面B1CD;‎ ‎(2)当AA1⊥平面ABC时,求点B到平面B1CD的距离.‎ x y O C A B ‎20.(12分)如图,等腰直角△的直角顶点,斜边所在的直线方程为.‎ ‎(1)求△ABC的面积;‎ ‎(2)求斜边AB中点D的坐标.‎ ‎21.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上.‎ ‎(1)证明:AP⊥PB;‎ ‎(2)求二面角B-PC-E的余弦值.‎ ‎22.(12分)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:‎ ‎(1)如图,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球A球心运动的直线方程;‎ ‎(2)如图,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标B球后,使目标B球向(8,-4)处运动?‎ ‎(3)若A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B时,目标球B(4,0)运动方向可以碰到目标球C(7,-5),求a的最小值(只需要写出结果即可)‎ ‎2019-2020学年上学期高二级期中考数学试题参考答案 ‎1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;‎ ‎11.AD 12.AC 13.1 14.4 15. 16.;.‎ ‎17. (1)设等差数列的公差为,‎ ‎ 是与的等比中项.‎ ‎ 即 ……………………………………2分 或;‎ ‎ …………………………………………………………………………………………4分 ‎ …………………………………………………………………………………5分 ‎(2)因为,………………………8分 所以数列的前项和 ‎ .………………………………10分 ‎18. (1),‎ ‎ 由正弦定理得:……………………1分 ‎ 即,……………………………………………………2分 ‎ 又,………………………………………3分 ‎ 故, ‎ ‎ 又因为,所以,………………………………………………4分 ‎ 因此,,…………………………………………………………………5分 ‎ 又因为,所以.…………………………………………………6分 ‎ (2)由正弦定理得:,‎ ‎ ,……………………………………………………………8分 ‎ ‎ ‎ ,…………………………………10分 ‎ (其中,)‎ ‎ 当时,的最大值为.……………………………………12分 ‎19.(1)证明:连接,交于点,连接.‎ 在三棱柱中,四边形为平行四边形,‎ ‎ ,又点是中点,,…………………………2分 ‎ 而平面,且平面,…………………………………4分 ‎ 平面.……………………………………………………6分 ‎ (2)由(1)知:,‎ ‎ 到平面的距离与到平面的距离相等。…………………………7分 ‎ 平面,平面,,‎ ‎ 是等边三角形,是等边三角形 ‎ 点是中点,‎ ‎ 又,平面,平面,‎ ‎ 平面,……………………………………………………9分 ‎ 由计算得:,,……………………………10分 ‎ 设到平面的距离为,由得:‎ ‎ ‎ ‎ 点到平面的距离是.……………………………………………………12分 ‎20. (1)顶点到斜边的距离为 ‎, …………………3分 所以斜边, …………………………4分 故的面积为. ………6分 ‎(2)由题意知,,又,所以,…………………………………7分 所以直线的方程为:,即, ………………………9分 由,解得,………11分 所以点的坐标为.……12分 ‎21.(1)由题知平面,又平面,,………………1分 又且, ‎ 平面,……………………………………………………………………3分 又平面,,…………………………………………………4分 又且, ‎ 平面,………………………………………………………………5分 又平面,。………………………………………………6分 ‎(2)如图,过点作BO⊥EC,垂足为O;过点作BH⊥PC,垂足为H. 联接OH.‎ H O 平面,又平面,,‎ 又BO⊥EC,,‎ 平面,……………………………………………………………………7分 又平面, ‎ 平面,……………………………………………………………………8分 又平面,,…………………………………………………9分 因此,为面与面的二面角,…………………………………………10分 因为,,是以为直角的直角三角形,‎ ‎.‎ 同理,.‎ 由△OHC∽△PEC,可得.‎ 因此,.…………………………………………12分 ‎22.(1)过点B(4,0)与点C(8,-4)的直线方程为:x+y-4=0,……………1分 依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2。设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为,则有:,‎ 解得:,,‎ 即:A,B两球碰撞时球A的球心坐标为(,),…………………………2分 所以,母球A运动的直线方程为:。…………………………3分 所以而 ‎(2)因为=(4-2+),=(-),‎ ‎=(4-2+)(-)= 4->0‎ 故∠AA’B为锐角。………………………………………………………………………………5分 所以,点B 到线段AA’的距离小于,…………………………………………………6分 故球的球心未到直线BC之前就会与球碰撞。……………………………………………7分 故不可能让母球击打目标球后,使目标球向处运动。………………………8分 ‎(3)的最小值为.要使得最小,临界条件为球A从球B的左上方A’处撞击球B后, B球从球C的右上方B’处撞击球C.如下图所示,……………………………………………9分 设B’是球B的所有路径中最远离BC的那条路径上离球C最近的点,则有,联立,‎ 解得,所有直线的倾斜角为,所以直线的倾斜角为,易得.过作倾斜角为的直线,交轴于点,易得,就是一个符合题意的初始位置.若,则球会在达到之前就与球碰撞,不合题意.因此的最小值为.……………………………………………………………12分