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- 2021-07-01 发布
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安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学(理)试卷
本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟
考生注意:
1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目的要求的。
1.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|},则A∩B=
A、{x|2≤x≤4}}B、{x|2<x≤4}}C、{x|1≤x≤2}}D、{x|1≤x<2}
2.下列各式的运算结果虚部为1的是
A、 B、 C、 D、2++
3.若实数x,y满足则的最大值是
A、9 B、12 C.3 D、6
4.近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国
到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是2013-2018年中国到“一带一路”
沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是
①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013-2018年这6年中,2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016-2018年这3年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A、①②③ B、②③ C、①② D、③
5.已知函数是定义在R上的偶函数,且在)[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则不等式
的解集为
A、(,4) B、(-2,2) C、(+,+∞) D、(4,+∞)
6.已知函数的图象与直线y=a(0/2x ; 15.— ; 16.x-+ 1 = 0 .
4
三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题12分)
解:(1)当 n = 1 肘,S] + 2 = 2°],解得 1 分 当心 2 时,&+i+2 = 2%i
所以 + 2 -(瓦 + 2)= 2%] - 2%,即 %】=2% 3 分
又因为&]=2所以%正0
所以鱼 =2, 4分
an
所以数列匠}是以2为首项,2为公比的等比数列 所以% =2”
⑵由⑴可得如="的-T(2J1)."T
甲%T 2019 Bn] 1 2019
因为 Tn > ,即 1 : >
2020 2伸-1 2020
所以 >2021
10分
因为n w N*, 所以^>10 11分
所以刀的最小值为10 12分
18.(本小题12分)
解:(1)证明:不妨设AB^2a,则AC = CD = DA = a 7t
由山CD是等边三角形得,ZACD = 一
3
n
-AB//DC :. ZCAB = ~ 1 分
1 3
由余弦定理得,
BC2=AC2+AB2 一2厲C•施・cos生二 3疽.… 2 分
3
即 BC = ga,所以BC2+AC2^AB
所以 ZL4CB = 90°,即BCLAC 3 分 又平面PACL平面ABCD !
平面PAC n平面ABCD = AC ,
3Cu 平面 ABCD
:.BC1平面PAC.. 4 分
-PA a平面以C —
:.BC1PA 5 分
(2)解:设ac=2,取中点o,连接po,则ponc,poK
,「平面乃匸丄平面ABCD /. PO丄平面Z5CD 6分
以C为原点建系如图,C(0,0,0), 邓⑪,尸(1,0,心),4(2,0,0), Q(l,-V§,0)
灰=(i,o,顼),53=(1,75,0), 不=(iq右),瓦二(0,2右,0) 8分
9分
设平面PAD的法向量为% = 3疗,2),
-PA-
jiY -AD = x + /3y = 0
得蒿=(0,-1,1)
设平面F8C的法向量为房=(工况z),
n> - CP = x-- = 0 一 r-
则〈
1 _ 厂 得仇=(占,0, -1)
«2' CB = 23y = 0
n, -n7 2 V5
cos =^r― = —=——
匡|.|切V5-2 5
所以平面 与平面FBC所成的锐二面角的余弦值为
-12分
19.(本小题12分)
解:(1)因为样本零件直径的平均值// = 65,标准差cr = 2.2
由样本估计总体,以频率值作为概率的估计值,得 1分
on
P(//-cr 0.6826, 2 分
尸(//一2cr vX£# + 2<丄我8=
1650 1650 1650 1650 25
z
0
1
2
p
1457
• 1650
94
825
1
330
12分
20.(本小题12分)
解:(1)设所求的椭圆C方程为号,+方=10>3>0), 点。到直线工一*+必=0的距离为方逐
又c = l,所以a2=b2+c2
4,
V2
故所求的椭圆C方程为--+^- = 1
4 3
(2)假设存在常数>1,使AB-h CD= AAB-CD恒成立,则人=点+冷
%2
①当小匕中一条斜率不存在时,可知^B,CD其中一个长为2^ = 4,另一个长为—- = 3,此时
.117
A 一一 一 -J_ 一 .一 —** ■
-AB |GD「12 ;
②当l,J2的斜率存在且不为零时,不妨设:* = r* + 1,。更0),
x = y + lJfNO),由*
x =頒 + 1
x2 v2 得(3户+4),2 + 6〃 一 9 = 0 ,…7 分 ——1_ ——=]
I 4 3
△ = 36尸一 4(3。+ 4). (-9) = 144(产 +1) > 0 ,
设』(仍+1,北),硏格+-1,力),则3 + y2
网-庆侦EF=序机+疔石J=蚩*
10分
用-:上式中的f得|CD| =号却
所以昌當MM)篇"9
11分
7 7
综上①②存在常数人=一,使AB-i CD=— -AB-CD恒成宜
12 12
12分
21.(本小题12分)
解:(1)f(x)
设u(x) = x2 +ax-^l t 则 w(0) = I >0 ,对称轴为工=一5
①当一*0,
即时,
在(0,4-CO)上,
f(x) > 0,是增函数;
即。<0时,△ = 々2 —4 = 0,得q = ±2
②当-->0,
2
(i )当~20, f(x)是增函数;
(ii)当a<-2时,
尸(x)= o,得:x =
—// —* J /7 — 4 —/? --I- 1 a — 4
在(0,亠号=+贝)上,广(对>0, /3是增函数;……4分 乙 匕
在(土竺3,主专W)上’尸⑴杯 川)是减函数 5分
(2)由(1)函数/■(盼的两个极值点知工2满足X2 +ax -^ 1-0 t
所以而,尤2 = L尤 1 +工2 = ~a 6分
不妨设0 v珀< 1 < x2 ,则/(x)在(x15x2)上是减函数,
f (x2)|~ r(x? ~x2 ) + a(.xi ~Ar2)4-ln —
1 x2
-~(^2 一 *2?)—31 +尤2)(工1」叼)+111—
2 x2
= 7:(x22 -x^ + ln—l
2 x2
Vx22_7~T^ln;v22----
2 2x2
令f = x22 设函数h(t) = ^~~~lnt (t > 1) 因为 ”(/) 二 5 + ^7 — = ~^~2 ?_ N 0 ‘
10分
所以方0)在(l,+oo)上为增函数 由|^-x2| = x2
光2 Z
解得1<号2, Sfcl
则所求不等式的解集为卜|沁4或泠V
(2)证明:由已知,£>0, /(-l) = |a-l|< /(i-a-2) = |^-2j<| 7 分
则|2a + Z)_4|=|2g —2 + /)—2 杉2" 一 1| + | 方一2|v等+ : = £
所以|2々+力--4|vf得证 10分