数学理卷·2018届河北省衡水金卷全国高三大联考（2017 13页

衡水金卷2018届全国高三大联考 理科 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则 ( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则 为( )‎ A．2 B．-3 C． D．3‎ ‎3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C.2 D．‎ ‎6. 已知数列为等比数列，且，则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )‎ A.为真 B.为假 C.为真 D.为真 ‎11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )‎ A． B． C. 49 D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分.‎ ‎13.已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则 ．‎ ‎14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为 ．‎ ‎15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．‎ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.‎ ‎（1）试探究的值，使平面，并给予证明；‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率 ‎②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.‎ ‎21. 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.‎ 衡水金卷2018届全国高三大联考 理科参考答案及评分细则 一、选择题 ‎1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 1 14. 16 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）原式可化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故其最小正周期，‎ 令，‎ 解得，‎ 即函数图象的对称轴方程为，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1），知，‎ 因为，所以.‎ 又，‎ 故得，解得.‎ 由正弦定理及，得.‎ 故.‎ ‎18.（1）当时，平面.‎ 证明如下：连接交于点，连接.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取的中点,连接.‎ 则.‎ ‎∵平面平面，平面平面，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又∵，∴.‎ 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，，.‎ 当时，有，‎ ‎∴可得.‎ ‎∴，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则有即 令，得，.‎ 即.‎ 设与平面所成的角为，‎ 则.‎ ‎∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎19.解：（1）由列联表可知的观测值，.‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.‎ ‎（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），‎ 偶尔或不用网络外卖的有（人）.‎ 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.‎ ‎②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，‎ 将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，‎ 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.‎ 由题意得，‎ 所以；‎ ‎.‎ ‎20. 解：（1）由已知，得，，‎ 又，‎ 故解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1），知，如图，‎ 易知直线不能平行于轴.‎ 所以令直线的方程为，‎ ‎，.‎ 联立方程，‎ 得，‎ 所以，.‎ 此时，‎ 同理，令直线的方程为，‎ ‎，，‎ 此时，，‎ 此时.‎ 故.‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 若是菱形，则，即，‎ 于是有.‎ 又，‎ ‎，‎ 所以有，‎ 整理得到，‎ 即，上述关于的方程显然没有实数解，‎ 故四边形不可能是菱形.‎ ‎21.解：（1）由题意得.‎ 当，即时，，在内单调递增，没有极值.‎ 当，即，‎ 令，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 故当时，取得最小值 ‎，无极大值.‎ 综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；‎ 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）由（1），知当时，在内单调递增，‎ 当时，成立.‎ 当时，令为和中较小的数，‎ 所以，且.‎ 则，.‎ 所以，‎ 与恒成立矛盾，应舍去.‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以.‎ 令，‎ 则.‎ 令，得，‎ 令，得，‎ 故在区间内单调递增，‎ 在区间内单调递减.‎ 故，‎ 即当时，.‎ 所以.‎ 所以.‎ 而，‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）直线的直角坐标方程为.‎ 曲线上的点到直线的距离，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 即曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，‎ ‎∴对，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ‎∴.‎ 又，∴解得，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎23.解：（1）依题意，得 于是得 或或 解得.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴.‎ 原不等式等价于，‎ ‎.‎ ‎∵，∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎