河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期联考数学（文）试题 17页

豫西名校2019—2020学年上期第二次联考 高二数学（文）试题 一、选择题 ‎1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则或 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用逆否命题的定义解答即可.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义得，‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.已知集合，则等于（ ）‎ A. 1 B. 3 C. -1 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用、是方程的两根，列方程求出的值即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，且、是方程的两根，‎ 代入解得、，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系,属于基础题.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用问题是高频考点，一定要熟练掌握.‎ ‎3.若，是平面上两定点，，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A. 线段 B. 射线 C. 圆 D. 椭圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析可知到，两点距离的和等于，两点间距离，从而可得结论.‎ ‎【详解】因为，动点满足，‎ 即到，两点距离的和等于，两点间距离，‎ 所以点的轨迹是线段，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查动点的轨迹以及椭圆定义的理解，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎4.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　)‎ A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用命题的定义即可判断出答案．‎ ‎【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．‎ ‎5.已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断直线恒过点，再判断该点在椭圆内部，从而可得结果.‎ ‎【详解】直线：化为，‎ 可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.‎ 所以直线与椭圆相交，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及直线过定点问题，解题的关键是判断直线恒过点，且该点在椭圆内部，属于基础题.‎ ‎6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由正弦定理得 ，所以“”是“”的充要条件，选C.‎ ‎7.用与底面成角的平面截圆柱得一椭圆截线，该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱底面圆的半径为，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】设圆柱底面圆的半径为，则短轴长，‎ 因为截面与底面成角，‎ 所以椭圆的长轴长，，‎ 离心率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的离心率，同时考查了空间想象能力，属于综合题.‎ ‎8.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若．则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题 B. 命题“负数的平方是正数”是特称命题 C. 命题“设a，，若，则或”是一个真命题 D. 常数数列既是等差数列也是等比数列 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个命题逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】A. 命题“若．则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是“a，b中至少有一个不小于1，则”是一个假命题，如但是.‎ B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.‎ C. 命题“设a，，若，则或”的逆否命题是“ 且，则” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.‎ D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.已知直线l与椭圆交于A，B两点，且点是弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求出，即得直线AB的方程.‎ ‎【详解】设A，B的坐标分别为，，‎ 由点差法得．‎ ‎，‎ 所以直线l的方程为即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.等差数列的前项和满足，，且的最大项为，，则的值是（ ）‎ A. 18 B. 21 C. 24 D. 27‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质判断，，可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】∵等差数列的前项和满足，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 即数列的前6项为正数，‎ 因为的最大项为.‎ 所以，，∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题.解有关等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.‎ ‎11.已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若为直角，则满足条件的点个数（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆方程可推出，判断出，结合椭圆的几何性质可得结果.‎ 详解】由可得，则.‎ 所以当点在短轴顶点时，‎ 可得此时，即的最大值为钝角，‎ 根据椭圆的几何性质知，‎ 满足为直角的点个数共有4个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎12.已知的内角，，的对边分别为，，.若，的面积为，则面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可得结果.‎ ‎【详解】∵，.‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ 二、填空题 ‎13.已知方程表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断椭圆的焦点所在的轴即得解.‎ ‎【详解】由题意知焦点在y轴上．‎ 因为，‎ 所以椭圆的焦点坐标为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 由命题“，使得”为假命题，得其否定命题：“，使得”是真命题；‎ 即不等式在上恒成立，‎ 当时，不等式为，显然它在上恒成立；‎ 当时，必须且只需，解得：，‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ 故答案应填：．‎ 考点：特称命题与全称命．‎ ‎15.数列满足，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论.‎ ‎【详解】由，，‎ 得，，，，‎ ‎∴是周期为4的数列，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎16.椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆交于，两点，若内切圆的面积为，，两点的坐标分别为，，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义求出三角形周长，利用内切圆面积求出圆的半径，再根据三角形的面积公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】由可得，，‎ 所以的周长为.‎ 因为内切圆的面积为，‎ 所以内切圆的半径为1，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆定义的应用，考查了三角形的面积公式，以及三角形内切圆的性质，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.设p：实数x满足，q：实数x满足．‎ ‎（1）当时，命题为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简命题p和q,再根据命题为真命题求出实数x取值范围；（2）先求出和，再根据已知得到或，解不等式即得解.‎ ‎【详解】（1）由p得．，‎ 由q得：，，又由命题为真命题，‎ 所以实数x的取值范围为：.‎ ‎（2）由p得：，由得：‎ 是的充分不必要条件，或，‎ 因为 或 所以实数a的取值范围为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ‎（1）证明：是直角三角形：‎ ‎（2）BM平分角B交AC于点M，且，，求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得，即得证；（2）记，在中，得到 ‎，化简解方程即得解.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，，所以是直角三角形 ‎（2）记，则，在中，，‎ 在中，，‎ ‎，即 或（舍），所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，坐标原点为.该椭圆与直线：相交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据方程表示椭圆列不等式，结合得结果；（2）利用（1）求直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出的值，再由点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 可得，解得，‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）由（1）知直线方程为：.‎ ‎∴到直线的距离为：.‎ 由化简得.，.‎ ‎.‎ ‎，‎ 所以的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查了点到直线距离公式与弦长公式的应用，属于中档题. 求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.‎ ‎20.已知数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，当时，，再验证是否适合即可；（2）由（1）得，‎ ‎，利用裂项相消法可得结果.‎ ‎【详解】（1）令，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当，满足.‎ ‎∴.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以前项和.‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎21.某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10000公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为 ‎，土地的征用面积为第一层的倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为，以后每增高一层，其建筑费用就增加，设这幢公寓楼高层数为n，总费用为万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）‎ ‎（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？‎ ‎（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．‎ ‎【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为=，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.‎ ‎【详解】（1）每层建筑面积，土地的征用的费用万元；‎ 建筑费用；‎ ‎，，即．‎ ‎（），所以这幢公寓楼最高可以盖16层；‎ ‎（2）由（1）知 当且仅当时，即，为最小值．‎ 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22.椭圆：的离心率为，右顶点为，下顶点为，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若椭圆与直线相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.试探究，两点的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率为， ，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）由化简得，‎ 求出，，利用韦达定理，将用表示，然后化简即可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得，，的坐标分别是，，，‎ ‎∴，解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设，的坐标分别为，，‎ 则直线的方程为：，令，得，‎ 直线的方程为：，令，得，‎ ‎∴.‎ 由化简得，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 所以，两点的横坐标的乘积为定值.‎ ‎【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎ ‎