【推荐】专题6-2+等差数列及其前n项和-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 49页

‎1.【2017课标1理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【考点解读】本题考查了等差数列的基本量求解及等差数列的性质。解法一；运用基本量法；即运用方程思想建立关于a1，d的方程，转化为解关于基本量的方程。解法二；运用了等差数列的性质，即注意到项的序号之间的关系（若，则），则可减少运算量。‎ ‎2.【2017课标3理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵等差数列的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，‎ ‎∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，‎ 解得d=﹣2，∴{an}前6项的和为故选：A．‎ ‎【考点解读】本题考查等差数列前n项和及等比数列的性质。利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．‎ ‎3.【2017课标II理15】等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】 ‎【考点解读】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用。求解中等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。‎ ‎4.【2017浙江高考6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】 由题∵S4+S6＞2S5， ∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），‎ ‎∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C ‎【考点解读】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知，‎ ‎ 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．‎ ‎5.【2017江苏高考19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.‎ ‎ （1）证明：等差数列是“数列”;‎ ‎ （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【考点解读】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎6．【2017北京高考理20】设和是两个等差数列，记 ，其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，‎ 使得是等差数列．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 .‎ 所以 ‎ ① 时，取正整数，则当时，，因此.‎ ‎ 此时，是等差数列.‎ ② 时，对任意，‎ 此时，是等差数列.‎ ① ‎ 时，当时，有.‎ 所以，‎ ‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时，.‎ ‎【考点解读】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式（放缩法）的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 等差数列的概念 B 等差数列的通项公式与前n项和公式 C 等差数列作为一种特殊的数列，高考考点为等差数列的概念，等差数列的通项公式与前n项和公式，等差数列与一次函数、二次函数的关系。‎ 高考中选填题以考查等差数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，为中低档题。解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列、也常与不等式结合综合考查。复习中注意对等差数列的定义与性质的理解，函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等的训练和培养。‎ 等差数列知识要点：‎ ‎（1）通项公式要点：.‎ ‎（2）前项和公式要点：Sn＝＝na1＋d.‎ ‎（3）通项公式的函数特征：是关于的一次函数形式(A、B为常数)，其中；‎ 前项和公式的函数特征：是关于的常数项为0的二次函数形式Sn＝An2＋Bn (A、B为常数)，其中.‎ ‎（4）判断方法：‎ ‎①定义法：；（证明方法）‎ ‎②等差中项法：；（证明方法）‎ ‎③通项公式法：；‎ ‎④前项和公式法：Sn＝An2＋Bn (A、B为常数).‎ ‎（5）常用性质：‎ ‎①如果数列是等差数列（），特别地，当为奇数时，.‎ ‎②等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.‎ ‎③等差数列{an}，{bn}的前n项和为An，Bn，则.‎ ‎④等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列仍是等差数列.‎ ‎（6）等差数列的单调性 设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.‎ ‎（7）等差数列的最值 若是等差数列，求前项和的最值时，‎ ‎①若，，且满足，则前项和最大;‎ ‎②若，，且满足，则前项和最小.‎ 题型一 等差数列的基本运算 典例1.（1）（2017包头一中高二月考）已知等差数列满足，则等于 （ ）‎ A. 31 B. 32 C. 61 D. 62‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设可得，故，应选答案A。‎ ‎（2）（2017武威一中高二期末）已知等差数列的前项和为，且， ，则等于（ ）‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】得 ‎（3）（2017南昌模拟）已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能的是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎（4）（2017银川一中高二月考）已知等差数列的前三项为；，则此数列的通项公式 为_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，解得，所以数列的前3项分别为，所以 通项公式为.‎ ‎（5）(2015陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为__________．‎ ‎【答案】　5‎ ‎【解析】　设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5. ‎ ‎（6）（2017哈尔滨模拟）等差数列中，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 解题技巧与方法总结 ‎1．等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是；设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎2．等差数列前n项和公式的应用方法；‎ 根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，‎ 若已知通项公式，则使用公式Sn＝.‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017淮安模拟）已知等差数列的前项和为，若则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题 , ‎ ‎ ,故选D.‎ ‎（2）（2017武汉模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【答案】B ‎（3）（2017湖南衡阳市高三联考）一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（ ）‎ A. B. 3 C. 9 D. 17‎ ‎【答案】C ‎【解析】设没记清的数为，若，则这列数： ，2，2，2，4，5，10，平均数为，中位数为2，众数为2，所以， ，若，则这列数为2，2，2， ，4，5，10，则平均数为，中位数为，众数为2，所以，若，则这列数为 2，2，2，4，5， ，10，或 2，2，2，4，5，10， ，则平均数为，中位数4，众数2，所以，所以-11+3+17=9‎ ‎（4）（2017襄阳高中高二期末）在等差数列中，已知，，将次等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是 ．‎ ‎【答案】148‎ ‎【解析】由题；，所以，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第项，即为。‎ ‎（5）（2017山西师大附中高二月考）已知等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，且，若对于一切正整数，总有成立，‎ 求实数的取值范围 ‎【答案】（1）;（2）.‎ 题型二　等差数列的判定与证明 典例2. （1）（2017安徽无为县高中期末）若数列的通项公式是，则此数列（　　）‎ A. 是公差为2的等差数列 B. 是公差为3的等差数列 C. 是公差为5的等差数列 D. 不是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得， ‎ ‎，即此数列是以公差为2的等差数列，故选A.‎ ‎（2）（2017宝鸡模拟）已知数列是等差数列，且， ，则（ ）‎ A. 12 B. 24 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】令 ，由题意可知： ，则等差数列 ‎ 的公差 ，可得： .选A.‎ ‎（3）（2017兰州模拟）数列= 。‎ ‎【答案】320‎ ‎【解析】为等差数列，公差为1，‎ 第三项为 ‎（4）（2017广州模拟）已知数列{an}满足: ,则 ．‎ ‎【答案】25‎ ‎（5）（2017湖南师大高三模拟）在数列中,,‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列,并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由所给递推公式化简变形，可得是等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项公式，进一步求出的通项公式；（Ⅱ）利用阶乘的运算性质，结合裂项法求和可得．‎ 解：（Ⅰ）证明；依题意，，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，即．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 所以．‎ 解题技巧与方法总结 等差数列的四个判定方法 ‎1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．‎ ‎2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝‎ an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．‎ ‎3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}‎ 为等差数列．‎ ‎4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an ‎，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017银川一中高二期末）设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列 C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列 ‎【答案】　D ‎（2）（2017大连模拟）数列满足，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得数列成等差数列，所以 ‎，因此，选C.‎ ‎（3）(2016福州模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 016，其前n项和为Sn.若－＝2，则S2 016的值等于(　　)‎ A．－2 016 B．－2 015 C．－2 014 D．－2 017‎ ‎【答案】　A ‎（4）（2017宁夏石嘴山高中月考）已知数列中，且，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意且，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以.‎ ‎（5）（2017郑州模拟）在等差数列中， ，其前项的和为，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ，所以数列也成等差数列，由得公差为1，因此 ‎（6）（2017石家庄一中月考）若数列满足， ， ，‎ 则 。‎ ‎【答案】 ‎【解析】由递推关系可得： ，又， ，‎ ‎∴，∴ 是首项为1,公差为 的等差数列,‎ 则： . ‎ ‎ (7)(2014全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎①证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎②是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【答案】见解析 ‎（8）（2017昆山高中模拟）已知数列的各项为正数，其前项和为满足，‎ 设.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求的最大值.‎ ‎（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最大值是25；（3）存在正整数t，使得成等差数列.‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 知识链接：‎ ‎1. 若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.‎ ‎2．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．‎ 题型三　等差数列性质的应用 典例3.（1）（2017宝鸡一中高二期末）已知等差数列中，其前项和为 ‎，若，则 ( )‎ A. 98 B. 49 C. 14 D. 147‎ ‎【答案】A ‎【解析】，解得： ， ，故选A.‎ ‎（2）（2017四川泸州中学月考）若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有（　　）‎ A. 3项 B. 12项 C. 11项 D. 10项 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设此等差数列共有项，‎ 又故选B. ‎ ‎（3）（2017福建漳州模拟）设等差数列的前项和为，若，则的值为 (　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎（4）（2017宝鸡高中月考）中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为________.‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为，所以，则由等差数列的性质可得，即，所以。‎ ‎（5）（2017威海模拟）已知等差数列的前项和为,、是方程的两根,且,则数列的公差为.‎ ‎【答案】或 解题技巧与方法总结 等差数列性质的应用技巧 ‎1．本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.‎ ‎2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017锦州模拟）已知为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为等差数列， ，∴，解得．‎ ‎∴，故选A.‎ ‎（2）（2017山西师大附中期末）在等差数列中， 是方程 的根，则的值 是 （ ）‎ A. 41 B. 51 C. 61 D. 68‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题,所以， .‎ ‎（3）(2017佛山模拟)　在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.‎ 所以a2＋a8＝2a5＝10.‎ ‎（4）（2017福建莆田一中高二期末）已知等差数列满足，且是此数列的前项和，‎ 则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎(5)（2017哈尔滨模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn ‎，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则n=________.‎ ‎【答案】　18‎ ‎【解析】由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① ， an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②‎ ‎①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，‎ ‎∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18. ‎ 题型四　等差数列的前n项和 考向1　等差数列前n项和的最值 典例4．（1）（2017北京石景山区一模）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题 当时，取最小值.‎ ‎（2）（2017包头模拟）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意得，，则，当时，，当，当时，，因此当或时，取最小值.‎ ‎（3） (2017景德镇模拟)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明∴ ‎∴－1＜d＜－.‎ ‎（4）(2016济南模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为__________.时，Sn最大。‎ ‎【答案】7‎ ‎（5）（2017湖南长沙长郡中学高三）已知， ，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】由，∴ ‎，∴数列的前项和为，又，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立.‎ 考向2　求数列{|an|}的前n项和 典例5．（1）（2017兰州一中）已知数列满足， ，则（ ）‎ A. 30 B. 18 C. 15 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得数列为等差数列, ,‎ 因此选B. ‎ ‎（2）（2017烟台模拟）等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是________．‎ ‎【答案】或 ‎（3）（2017沈阳高三三模）已知等差数列， ，公差，且 成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ 解题技巧与方法总结 ‎1．求等差数列前n项和最值的方法 ‎(1 )二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.‎ ‎(2) 图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．‎ ‎(3) 项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，‎ 满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，‎ 则使Sn取最值的n有两个．‎ ‎2．求数列{|an|}前n项和的方法 ‎(1) 先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项．‎ ‎(2) 根据n的取值范围，分类讨论求和．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017西北师大附中月考）设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎（2）（2017淄博模拟）已知数列中，，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，即，即数列表示首项为，公差为的等差数列，‎ 所以数列的通项公式，则，令，‎ 即，即当时，则，当，‎ 则，所以 ‎．‎ ‎（3）（2017西宁模拟）已知｛｝是等差数列,为其公差, 是其前项和,若只有是{}中的最小项,则可得出的结论中正确的是 ．‎ ‎① >0 ② ③ ④ ⑤‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】，因为只有是{}中的最小项，所以 ‎。因为，‎ 所以，即。。，由可得，即 所以的符号正、负、0均有可能．综上可得结论正确的有①②③④。‎ ‎（4）（2017潍坊模拟）设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a1=d=1， ‎ ‎∴ ,(当且仅当n=4时取等号)．故答案为： ．‎ ‎（5）（2017福建泉州二模）等差数列的前项和为，首项，公差，对任意的，总存在，使则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎（6）(2016长春模拟)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．‎ ‎(1)求d，an；‎ ‎(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.‎ ‎【答案】见解析 知识链接：‎ ‎1.等差数列的增减性：d＞0时为递增数列，且当a1＜0时，前n项和Sn有最小值，d＜0时为递减数列，且当a1＞0时，前n项和Sn有最大值．‎ ‎2.数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件．‎ ‎3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.‎ ‎4.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ 课本典例解析与变式 例1.【必修第5五十页例2】已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定这个数列的前n项和公式吗？‎ ‎【解析】 解法一；由题意可知； ，‎ ‎ 将它们代入公式； 得； ，解这个关于a1和d的方程组得；解得；a1=4，d=6，‎ 所以这个等差数列的前n项和的公式为．‎ ‎ 解法二；设等差数列的求和公式为； ‎ 则将代入可得； 化简得； 解得；A=3 B=1，‎ 所以这个等差数列的前n项和的公式为．‎ ‎ 解法三；由题； ，又， ‎ ‎ 可得；， 再由，得； ‎ 所以这个等差数列的前n项和的公式为．‎ ‎【原题解读】本例题考查了等差数列的求和公式及方程思想。需要学生对等差数列的概念有深刻理解。‎ ‎ 解法一；突出体现了等差（等比）数列中的基本量思想为此类问题的通法；‎ 解法二；为待定系数法，突出了等差数列求和公式的函数特征，可简化运算。‎ 解法三；体现了对等差数列定义的深刻理解，运算则更为简洁。 ‎ 变式1.（2016年高考北京）已知为等差数列，为其前项和，若，，‎ 则_______.‎ ‎【答案】6‎ 变式2.（2015高考新课标1）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，‎ 则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎【答案】B ‎【解析】∵公差，，∴，解得=，‎ ‎∴，故选B.‎ 变式3.（2017兰州模拟）已知等差数列的前项和为，又知 ，则为（ ）‎ A．21 B．30 C．48 D．50‎ ‎【答案】B 变式4.（2016高考江苏卷）已知是等差数列，是其前项和.若，则 的值是 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】由得，因此 变式5.（2014天津高考）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若 成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题意得，∴，解得 变式6.（2017西安模拟）已知等差数列的前项和为满足，则数列的前项和为__________． ‎ ‎【答案】 ‎【解析】由已知可得，即，解得，‎ 故的通项公式为，‎ ‎，从而的前项和 ‎，‎ 所以； ．‎ 变式7.（2017衡水金卷）设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ ‎1.（2017银川一中期末）设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)‎ A．31 B．32 C．33 D．34‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由已知可得解得∴S8＝8a1＋d＝32.‎ 考点：等差数列基本量的运算 ‎2.(2017银川一中模拟)已知等差数列中， 是方程的两根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得： ，选D.‎ 考点：等差数列的性质 ‎3．(2017大连模拟)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(　　)‎ A．153 B．210 C．135 D．120‎ ‎【答案】　A 考点：等差数列与含绝对值问题 ‎4.（2017泰安模拟）已知等差数列的前项和为，且,若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设公差为，由得，即，则由得 ‎，解得.故选A.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎5.(2017唐山模拟)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】当n＝1时，3S1＝a1a2,3a1＝a1a2，∴a2＝3.当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得3an＝an(an＋1－an－1)，又∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，选C.‎ 考点：等差数列的定义及求和 ‎6.（2017南昌模拟）已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（ ）‎ A. 15 B. 18 C. 21 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设三边分别为，由题设可知边所对角为，则由余弦定理可得，即，解之得（舍去），故三角形的周长为，应选答案A。‎ ‎7.（2017湖北黄石模拟）已知等差数列中， 为其前项和， （其中为圆周率），，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：等差数列数列与几何概型 ‎8.（2017西安模拟）已知点在曲线上，且，且 ‎，则的最大值等于（ ）‎ A．9 B．10 C．6 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】由点在曲线是等差数列 的最大值为。‎ 考点：1、点与曲线的位置关系；2、等差数列的性质；3、基本不等式.‎ ‎9.（2017河北正定中学模拟）已知函数的图象关于对称，且在上单调，‎ 若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B 考点：函数的性质与等差数列求和 ‎10.（2017石家庄一中模拟）设等差数列的前项和为，已知，‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,则,得到在上单调递增,且为奇函数.由条件,有,,即.,从而 ‎,则,,‎ ‎,在上单调递增,,即,所以A选项是正确的.‎ 考点：函数与导数及等差数列.‎ ‎11.（2017成都市龙泉一中、新都一中等九校联考）等差数列中的分别是函数的两个不同极值点，则为______．‎ ‎【答案】- ‎【解析】 是函数 的极值点， 是方程 的两个实数根，则 ，而 为等差数列， ‎ ，即 ，从而 。‎ 考点：等差数列的性质与导数.‎ ‎12.（2017福建莆田一中模拟）公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a6=3a4,且S10=la4,则l的值为_______．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】设公差为 ，由 ，且 ，则，解得 。 ‎ 考点：等差数列与方程思想.‎ ‎13.（2017福建漳州模拟）等差数列{an}的公差为d，关于的不等式的解集为，则使数列{an}的前项和Sn最大的正整数的值是______．‎ ‎【答案】5‎ 考点：1.一元二次不等式；2.等差数列中的最值问题.‎ ‎14.（2017贵州省凯里市一中模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？用享誉古今的“盈不足术”，可以精确的计算用了多少日多少时相逢，那么你认为在第几日相遇______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由题意可知，良马每日行程构成数列{}， ，驽马每日行程构成数列{}， ， ,,解得n=16。‎ 考点：等差数列数列求和与数学文化 ‎15.（2017兰州模拟）已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．‎ ‎16.（2017长沙模拟）若满足约束条件，等差数列满足， ，其前项为，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 联立 ，解得 ， ，所以公差 ， ‎ ‎ ，设 ，‎ 当直线过点 时，有最大值，即 最大值为，故答案为.‎ 考点：等差数列与线性规划.‎ ‎17.（2017甘肃天水模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列；‎ ‎(2)求an的表达式．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）an＝．‎ 考点：等差数列的定义 ‎18.（2017烟台模拟）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ 考点：1、可行域；2、数列的通项公式；3、数列的前项和.‎ ‎19.（2017郑州模拟）设数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】(1) ;(2). ‎【解析】（1）设，且数列的前项和为，则有。‎ 当时，；‎ 当时，。‎ 从而，即，解得，。‎ ‎（2）设数列的前项和为，当时，，所以有 当时，‎ 当时，‎ ，综上， 考点：数列的通项公式与含绝对值求和及分类思想。‎ ‎19.（2017福州模拟）已知中，分别是角的对边，有.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若等差数列中，，设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 考点：解三角形，裂项相消法求和，数列的单调性 ‎20.（2017河北衡水金卷）等差数列的前项和为，已知，为整数，且的最大值为.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 考点：等差数列的通项公式，错位相减法求和．‎ ‎ ‎