数学卷·2018届广东省揭阳市惠来二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版） 20页

‎2016-2017学年广东省揭阳市惠来二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）‎ ‎1．若集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．抛物线y=2x2的准线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　）条件．‎ A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 ‎5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2+S3=0，则公比q=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎7．△ABC中，BC=2，角B=，当△ABC的面积等于时，sinC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列函数求导正确的个数是（　　）‎ ‎（1 ）‎ ‎（2）y=‎ ‎（3）y=e2x+1，则y′=2e2x+1‎ ‎（4）y=．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．若直线ax+by+1=0（a、b＞1）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎10．函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）‎ ‎11．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（　　）‎ A． B． C．1+ D．1+‎ ‎12．已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则+++等于（　　）‎ A．36 B．24 C．18 D．12‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是　　．‎ ‎14．求函数f（x）=的单调减区间　　．‎ ‎15．如图中阴影部分区域的面积S=　　．‎ ‎16．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎17．已知f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求y=f（x）的极值．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB+b•cosA=2c•cosB．‎ ‎（1）求角B ‎（2）若，求M的取值范围．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎20．设数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设 bn=log2an，，记数列 {cn}的前n项和Tn，若对所有的正整数 n都成立，求最小正整数 m的值．‎ ‎21．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=x+xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；‎ ‎（2）若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市惠来二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）‎ ‎1．若集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由题意和补集的运算求出∁RA，由交集的运算求出（∁RA）∩B．‎ ‎【解答】解：由集合A={x|0＜x＜2}得，∁RA={x|x≤0或x≥2}，‎ 又B={x|﹣1＜x＜1}，‎ 则（∁RA）∩B={x|﹣1＜x≤0}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．‎ ‎【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），‎ ‎∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），‎ 又k+与2﹣互相垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．抛物线y=2x2的准线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线化为标准方程为x2=y，再求准线．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，‎ ‎∴p=，开口朝上，‎ ‎∴准线方程为y=﹣，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　）条件．‎ A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a＞b＞0，则成立，即充分性成立，‎ 若a=﹣1，b=1，满足，但a＞b＞0不成立，即必要性不成立，‎ 故“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2+S3=0，则公比q=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}满足，a2+S3=0，则a1（1+2q+q2）=0，‎ 即（1+q）2=0，解得q=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎　‎ ‎7．△ABC中，BC=2，角B=，当△ABC的面积等于时，sinC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【分析】先利用三角形面积公式求得AB，进而利用余弦定理求得AC的值，最后利用正弦定理求得sinC．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，BC=2，∠B=，△ABC的面积，‎ ‎∴AB=1，‎ 由余弦定理可知：AC==，‎ ‎∴由正弦定理可知 ‎∴sinC=•AB=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．下列函数求导正确的个数是（　　）‎ ‎（1 ）‎ ‎（2）y=‎ ‎（3）y=e2x+1，则y′=2e2x+1‎ ‎（4）y=．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则和复合函数求导法则求导则判断即可．‎ ‎【解答】解：（1 ）y=ln3，y′=0，‎ ‎（2）y=，则y′=••（2x﹣1）′=，‎ ‎（3）y=e2x+1，则y′=2e2x+1‎ ‎（4）y=，则y′=．‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．若直线ax+by+1=0（a、b＞1）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则 的最小值为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到1=4a+b的关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心（﹣4，﹣1）在直线ax+by+1=0上，‎ 所以﹣4a﹣b+1=0，即 1=4a+b代入，‎ 得 =（）（4a+b）=8++≥16（a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）‎ 则的最小值为16，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用参数分离可得≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x+的导数为f′（x）=1﹣，‎ 由于f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，‎ 则f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．‎ 即为≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．‎ 由于当x＜﹣1时，x2＞1，‎ 则有≤1，解得，a≥1或a＜0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（　　）‎ A． B． C．1+ D．1+‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），‎ 代入双曲线方程，‎ 可得 b2c2﹣3a2c2=4a2b2，又c2=a2+b2，得e2=4+2，e=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则+++等于（　　）‎ A．36 B．24 C．18 D．12‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】由题中条件：“f（m+n）=f（m）f（n）”利用赋值法得到和f（2n）=f2（n），后化简所求式子即得．‎ ‎【解答】解：由f（p+q）=f（p）f（q），‎ 令p=q=n，得f2（n）=f（2n）．‎ 原式=+++‎ ‎=2f（1）+++‎ ‎=8f（1）=24．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是　∀x∈R，x2+2x+m＞0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x2+2x+m＞0”，‎ 故答案为“∀x∈R，x2+2x+m＞0”‎ ‎　‎ ‎14．求函数f（x）=的单调减区间　（﹣∞，0）和（0，1）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}‎ 则 令 解得：x＜1‎ ‎∴函数f（x）=的单调递减区间是：（﹣∞，0）和（0，1）‎ 故答案为：（﹣∞，0）和（0，1）‎ ‎　‎ ‎15．如图中阴影部分区域的面积S=　﹣1　．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】根据积分的应用，将阴影部分表示为积分函数即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由sinx=cosx得，x=，‎ 由积分的几何意义可知，阴影部分的面积 S==（sinx+cosx）=sin+cos﹣（sin0+cos0）=+﹣1=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为　（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx﹣3过定点D（0，﹣3），‎ 则kAD=，kBD==﹣3，‎ 要使直线y=kx﹣3与平面区域M有公共点，‎ 由图象可知k≥3或k≤﹣3，‎ ‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎17．已知f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求y=f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出c的值，求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a，b的方程组，求出函数的解析式即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，…‎ f′（x）=3ax2+2bx，k=f′（1）=3a+2b=1…‎ 切点为（1，1），则f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（1，1）‎ 得a+b+c=1，得a=1，b=﹣1…，‎ 故f（x）=x3﹣x2+1…‎ ‎（2），‎ 令…‎ 函数f（x）在单调递增，在单调递减 …‎ 所以函数f（x）在x=0取得极大值为1，在取得极小值为．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB+b•cosA=2c•cosB．‎ ‎（1）求角B ‎（2）若，求M的取值范围．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用三角恒等变换、正弦定理求得cosB的值，可得B的值．‎ ‎（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得M的范围．‎ ‎【解答】解：（ 1）在△ABC中，a•cosB+b•cosA=2c•cosB，由正弦定理可得，‎ 把边化角sinA•cosB+sinB•cosA=2sinC•cosB，即sin（A+B）=sinC=2sinC•cosB，‎ 所以，解得．‎ ‎（2）M===．‎ 由（1）得，所以，，‎ 则．∴．‎ 故 M=，即M的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AC⊥平面BCC1，即可证明：AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）取BC中点E，过D作DF⊥B1C于F，连接EF，证明∠EFD是二面角D﹣CB1﹣B的平面角，即可求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2‎ ‎∴AC⊥BC，‎ 又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C ‎∴AC⊥平面BCC1，又BC1⊂平面BCC1‎ ‎∴AC⊥BC1 …‎ ‎（Ⅱ）解：取BC中点E，过D作DF⊥B1C于F，连接EF …‎ ‎∵D是AB中点，‎ ‎∴DE∥AC，又AC⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴DE⊥平面BB1C1C，‎ 又∵EF⊂平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C ‎∴DE⊥EF．‎ ‎∴BC1⊥DE ‎ 又∵DF⊥BC1 且DE∩DF=D ‎∴B1C⊥平面DEF，EF⊂平面DEF …‎ ‎∴B1C⊥EF 又∵DF⊥B1C，‎ ‎∴∠EFD是二面角D﹣CB1﹣B的平面角 …‎ ‎∵AC=BC==AA1‎ ‎∴在△DEF中，DE⊥EF，，，‎ ‎∴…‎ ‎∴二面角D﹣CB1﹣B余弦值为…‎ ‎　‎ ‎20．设数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设 bn=log2an，，记数列 {cn}的前n项和Tn，若 对所有的正整数 n都成立，求最小正整数 m的值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由已知可得数列{an}是等比数列，并求出首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；‎ ‎（2）把数列{an}的通项公式代入 bn=log2an，得到的通项公式，然后利用裂项相消法求得数列 {cn}的前n项和Tn，并求其最大值，再由最大值小于求得最小正整数 m的值．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2an﹣a1，得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n＞1），‎ 即an=2an﹣1（n＞1），从而a2=2a1，a3=4a1，‎ 又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+a3=2（a2+1），‎ 即a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 则；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ ‎∴Tn的最大值为3，‎ 若对所有的正整数 n都成立，只要即可，‎ ‎∴m＞9，故整数m的最小值为10．‎ ‎　‎ ‎21．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由，得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、导数性质，结合已知条件能求出△AOB面积的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，‎ ‎∵点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为．‎ ‎∴由条件得，‎ 所以椭圆C的方程…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，‎ 故①‎ 设△AOB的面积为S，由，‎ 知 令k2+3=t，则t≥3，因此，，‎ 对函数，知 因此函数在t∈[3，+∞）上单增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴△AOB面积的取值范围j是（0，]．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x+xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；‎ ‎（2）若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导函数，进一步得到f′（1）的值，由直线方程的点斜式写出直线方程；‎ ‎（2）把函数f（x）的解析式代入k（x﹣1）＜f（x），整理后得k，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整数k的值．设函数g（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知g（x0）=x0，从而得到k＜x0，则正整数k的最大值可求．‎ ‎【解答】解：（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，‎ 则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；‎ ‎（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x﹣1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，‎ 即k（x﹣1）＜x+xlnx，因为x＞1，‎ 也就是对任意x＞1恒成立．‎ 令，则，‎ 令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，‎ 所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ 因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，‎ 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．‎ 当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，‎ 所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．‎ 所以．‎ 所以k＜[g（x）]min=x0‎ 因为x0∈（3，4）．故整数k的最大值是3．‎ ‎　‎ ‎2017年5月17日 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎