2018届二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积课件（全国通用） 37页

第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 考情分析 总纲目录 考点一   空间几何体的三视图 考点二 空间几何体的表面积与体积（高频考点） 考点三 多面体与球的切、接问题 考点四 数学文化与立体几何 考点一   空间几何体的三视图 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视 图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图 的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 典型例题 (2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的 长度为   (　　)   A.3   　    B.2   　    C.2   　    D.2 解析 　根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 P - ABCD )如图所示, 将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为 PD , PD =   =2   .故选B.   答案     B 方法归纳 由三视图还原直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整 实线和虚线所对应的棱的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 跟踪集训 1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥, 得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为   (　　)     答案     B　由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观 图,如图所示.   该几何体的侧视图为选项B.故选B. 2.(2016辽宁沈阳教学质量检测(一))如图,网格纸的各小格都是正方形, 粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形,一个直角三角形),则 这个几何体可能为   (　　)   A.三棱台　    B.三棱柱　    C.四棱柱　    D.四棱锥 答案     B　根据三视图的画法法则:长对正、高平齐、宽相等,可得几何 体的直观图如图所示,这是一个三棱柱.   考点二  空间几何体的表面积与体积(高频考点) 命题点 1.由三视图求空间几何体的体积. 2.由三视图求空间几何体的表面积. 3.根据已知空间几何体求其表面积或体积. 1.柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1) S 柱侧 = ch ( c 为底面周长, h 为高); (2) S 锥侧 =   ch '( c 为底面周长, h '为斜高); (3) S 台侧 =   ( c + c ') h '( c ', c 分别为上、下底面的周长, h '为斜高). 2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1) V 柱体 = Sh ( S 为底面面积, h 为高); (2) V 锥体 =   Sh ( S 为底面面积, h 为高); (3) V 台 =   ( S +   + S ') h ( S , S '分别为上、下底面面积, h 为高)(不要求记忆). 3.球的表面积和体积公式 (1) S 球表 =4π R 2 ( R 为球的半径); (2) V 球 =   π R 3 ( R 为球的半径). 典型例题 　　(1)(2017课标全国Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视 图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视 图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形 的面积之和为   (　　)   A.10　    B.12　    C.14　    D.16 A.   　    B.   　    C.   　    D.   (2)(2017 郑州第二次质量预测 ) 某几何体的三视图如图所示 , 其中俯视图为扇形 , 则该几何体的体积为   ( 　　 ) 解析 　(1)由多面体的三视图还原直观图如图.   该几何体由上方的三棱锥 A - BCE 和下方的三棱柱 BCE - B 1 C 1 A 1 构成,其中 面 CC 1 A 1 A 和面 BB 1 A 1 A 是梯形,则梯形的面积之和为2 ×   =12.故选B. (2)由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分,设 底面扇形的圆心角为 θ ,则cos(π- θ )=   ,所以 θ =   ,所以所求几何体的体积 V =   ×   π × 2 2 × 4=   ,故选D. 答案 　(1)B　(2)D 方法归纳 求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公 式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是 其高易求,底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转 化为规则几何体进行求解. 跟踪集训 1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆 及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是   ,则它的表面 积是   (　　)   A.17π　　B.18π　　C.20π　　D.28π 答案     A　由三视图可知,该几何体是一个球被截去   后剩下的部分,设 球的半径为 R ,则该几何体的体积为   ×   π R 3 ,即   π=   ×   π R 3 ,解得 R =2.故 其表面积为   × 4π × 2 2 +3 ×   × π × 2 2 =17π.选A. 2.(2017湖南湘中名校高三联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为   (　　) A.   　    B.32　    C.   　    D.   答案     A　由三视图可知,该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长 为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以 该几何体的体积 V =   × 4 × 4 × 8-   ×   × 4 × 4 × 4=   ,故选A. 3.(2017南昌第一次模拟)如图,直角梯形 ABCD 中, AD ⊥ DC , AD ∥ BC , BC = 2 CD =2 AD =2,若将该直角梯形绕 BC 边所在直线旋转一周,则所得的几何 体的表面积为 　　　     .   答案 　(   +3)π 解析 　根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为 1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示. 则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下 底面面积之和,即表面积为π·1·   +2π·1 2 +π·1 2 =(   +3)π. 考点三    多面体与球的切、接问题 　　与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分 析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合 适的截面图. 典型例题 　　(1)(2017课标全国Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周 在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为   (　　) A.π　　B.   　    C.   　    D.   (2)(2016课标全国Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 内有一个体 积为 V 的球.若 AB ⊥ BC , AB =6, BC =8, AA 1 =3,则 V 的最大值是   (　　) A.4π　　B.   　    C.6π　　D.   解析 　(1)设圆柱的底面圆半径为 r , 由题意可得 r 2 +   =1 2 , 解得 r =   . ∴圆柱的体积 V =π r 2 × 1=   ,故选B. (2)易知 AC =10.设底面△ ABC 的内切圆的半径为 r ,则   × 6 × 8=   × (6+8+1 0)· r ,所以 r =2,因为2 r =4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积 最大,所以最大球的直径2 R =3,则 R =   ,此时球的体积 V =   π R 3 =   .故选B. 答案 　(1)B　(2)B 方法归纳 多面体与球接、切问题的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点 (一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面 几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内接、外切的几何体的直 观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关 系,列方程(组)求解. 跟踪集训 1.(2017石家庄教学质量检测(二))四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6的正方形,且 PA = PB = PC = PD ,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都 相切,则该四棱锥的高是   (　　) A.6　    B.5　    C.   　    D.   答案     D　过点 P 作 PH ⊥平面 ABCD 于点 H .由题意知,四棱锥 P - ABCD 是 正四棱锥,内切球的球心 O 应在四棱锥的高 PH 上.过正四棱锥的高作组 合体的轴截面如图,其中 PE , PF 是斜高, M 为球面与侧面的一个切点.设 PH = h ,易知Rt△ PMO ∽Rt△ PHF ,所以   =   ,即   =   ,解得 h =   , 故选D.   2.(2017太原模拟试题)已知三棱锥 A - BCD 中, AB ⊥平面 BCD , BC ⊥ CD , BC = CD =1, AB =   ,则该三棱锥外接球的体积为 　　　     . 答案        解析 　因为 BC =1, CD =1, BC ⊥ CD ,所以 BD =   , 又 AB =   ,且 AB ⊥平面 BCD , 所以 AD =2, AB ⊥ CD ,所以 CD ⊥平面 ABC ,所以 CD ⊥ AC , 所以三棱锥 A - BCD 的外接球的球心为 AD 的中点,半径为1,所以三棱锥 A - BCD 的外接球的体积为   . 考点四    数学文化与立体几何 典型例题 (2015课标全国Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及 为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥 的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆 放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估 算出堆放的米约有   (　　) A.14斛　    B.22斛　    C.36斛　    D.66斛 答案     B 解析 　设圆锥底面的半径为 R 尺,由   × 2π R =8得 R =   ,从而米堆的体积 V =   ×   π R 2 × 5=   (立方尺),因此堆放的米约有   ≈ 22(斛).故 选B. 方法归纳 本题属于生活中谷物储存问题,源于《九章算术》第五章“商功”,结 合立体几何中的基础知识进行设问,强化了数学文化的传承和数学应用 意识的培养.我国古代数学强调“经世济用”,涉及的研究大多与实际 生活、生产联系紧密,体现出明显的问题式、综合性的特征. 跟踪集训 　我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原 理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意 思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积 相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图对应的几何体满足“幂 势同”,则该不规则几何体的体积为   (　　) A.4-   　    B.8-   C.8-π　　D.8-2π 答案      C 　由祖暅原理可知 , 不规则几何体的体积与已知三视图所对应 的几何体体积相等 . 根据题设所给的三视图 , 可知几何体是从一个正方 体中挖去一个半圆柱得到的,正方体的体积为2 3 =8,半圆柱的体积为   × (π × 1 2 ) × 2=π,因此不规则几何体的体积为8-π,故选C. 1.(2017广州综合测试(一))如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的为某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积 为   ,则该几何体的俯视图可以是   (　　) 随堂检测 答案     D　由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,其底 面为正方形,面积为2 × 2=4,因为该几何体的体积为   × 4 × 2=   ,满足条件, 所以俯视图可以为一个直角三角形.故选D.   2.(2017兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为   (　　)   A.(9+   )π　　B.(9+2   )π C.(10+   )π　　D.(10+2   )π 答案     A　由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且 圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积 S =π × 1 2 +4 × 2π+   × 2π ×   =(9+   )π. 3.(2017洛阳第一次统一考试)已知简单组合体的三视图如图所示,则此 简单组合体的体积为   (　　) A.   π　　B.14π　　C.   π-8　    D.   π-4 答案     D　依题意知,该简单组合体是从一个圆锥(底面半径为2、高为 4)中截去一个正四棱柱(底面正方形的边长为   ,高为2)后剩余的部分, 因此该简单组合体的体积为   π × 2 2 × 4-(   ) 2 × 2=   -4,故选D. 4.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱 O 1 O 2 内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下 底面及母线均相切.记圆柱 O 1 O 2 的体积为 V 1 ,球 O 的体积为 V 2 ,则   的值是 　　　     .   答案        解析 　设圆柱内切球的半径为 R , 则由题设可得圆柱 O 1 O 2 的底面圆的半径为 R ,高为2 R , ∴   =   =   . 5.(2017贵阳检测)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2 的等边三角形,俯视图为正六边形,则该几何体的体积是 　　　     .   答案        解析 　依题意得,题中的几何体是一个正六棱锥,其中底面是边长为1的 正六边形,高为2 ×   =   ,因此几何体的体积等于   ×   ×   =   .