数学理卷·2018届广东省广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考（2017 10页

广雅、华东中学、河南名校2018届高三阶段性联考（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知，其中是实数，则咋复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4.曲线在点处的切线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，‎ 则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则 （ ）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．“直线与平面内的无数条直线垂直”上“直线与平面垂直”的充分不必要条件 ‎ D．若，则 ‎ ‎7. 已知随机变量 ，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知函数有唯一的零点，则实数的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎12. 已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知在长方形中，,点是边上的中点，则 ．‎ ‎14.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ‎ 钱（所得结果四舍五入，保留整数）．‎ ‎15.已知实数满足，若的最大值为4，则的最小值为 ．‎ ‎16.设等差数列的前项和，若且，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积取到最大值时的值.‎ ‎18. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：‎ ‎（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；‎ ‎（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.‎ ‎19.如图，在三棱柱中， 平面，点是与的交点，点在线段上，平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.‎ ‎（1）若点在椭圆上，求的最大值；‎ ‎（2）若为坐标原点），求直线的斜率.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，且，使得，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系 中，曲线，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）求和焦点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与交于两点，求的值.‎ ‎23.已知函数 .‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，使，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BADCD 6-10: DBCAB 11、A 12：C 二、填空题 ‎13. 4 14. 17 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，‎ 在中，，所以，从而，‎ 因为，所以，所以.‎ ‎（2）由（1）知，所以，所以，‎ 因为，‎ 因为，所以，‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ ‎18.（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，‎ 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是.‎ ‎（2）记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分”为事件，则.‎ 随机变量的可能取值为，且，‎ 所以，‎ 所以变量的分布列为：‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）如图，连接，因为平面平面，所以.‎ 因为为的中点，所以为的中点.‎ 因为，，‎ 由平面平面，得，‎ 又是平面所以内的两条相交直线，‎ 得平面，因为平面，所以.‎ ‎(2)令，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，得，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，‎ 令，得，‎ 又,设直线与平面所成的角为，‎ 则.‎ ‎20.解：（1）依题意，，则，将代入，‎ 解得，故，‎ 设，则，‎ 故当时，有最大值为5.‎ ‎（2）由（1）知， ，所以椭圆的方程为，即，‎ 设直线的方程为，‎ 由，得，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以直线的方程为，‎ 由，得，‎ 所以或，得，‎ 因为，所以，于是，‎ 即，所以，‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎21.解：（1）当时，，‎ 又，由，‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由，当时，，此时在R上单调递增；‎ 由可得，与相矛盾，‎ 所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 若，则由可得，与相矛盾，‎ 同样不能有，‎ 不妨设，则由，‎ 因为在上单调递减，在上单调递增，且，‎ 所以当时，.‎ 由，，可得，故，‎ 又在上单调递减，且，所以，‎ 所以，同理，即，解得，‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）曲线的极坐标方程为，‎ 化为直角坐标系的方程为，联立，‎ 解得交点的坐标为.‎ ‎（2）把直线的参数方程为参数)代入，‎ 得，即，‎ 易知点在圆外，所以.‎ ‎23.解：（1）若，则不等式化为，‎ 若，则，解得，故；‎ 若，则，解得，故；‎ 若，则，解得，故无解，‎ 综上所述，关于的不等式的解集为，‎ ‎（2），使等价于，‎ 因为，‎ 所以，所以的最小值为，‎ 所以，得或 ‎ 所以的取值范围是.‎