【数学】2020届江苏一轮复习通用版6-3平面向量的平行与垂直及平面向量的综合应用作业 6页

‎6.3　平面向量的平行与垂直及平面向量的综合应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 平面向量的平行与垂直 ‎1.平面向量平行与垂直的判断 ‎2.平面向量平行与垂直关系的应用 ‎★★☆‎ 平面向量的综合应用 ‎1.与解三角形相结合 ‎2.与函数、不等式相结合 ‎★★☆‎ 分析解读　　平面向量的平行与垂直是平面向量的重要内容,一般与三角函数、解三角形等知识交汇考查.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的平行与垂直 ‎1.已知向量a=(1,2),b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x=　　　　. ‎ 答案　9‎ ‎2.(2018江苏无锡高三期中)已知a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1).‎ ‎(1)求a与b的夹角的大小;‎ ‎(2)若c∥(a+kb),求k的值.‎ 解析　(1)设a与b的夹角为α,因为cos α=a·b‎|a|·|b|‎=‎-3-2‎‎10‎‎×‎‎5‎=-‎2‎‎2‎,α∈[0,π],‎ 所以α=‎3π‎4‎.‎ 即a与b的夹角为‎3π‎4‎.‎ ‎(2)a+kb=(-3+k,1-2k).‎ 因为c∥(a+kb),‎ 所以1-2k+3-k=0,‎ 解得k=‎4‎‎3‎.‎ 考点二　平面向量的综合应用 ‎1.(2017江苏南京、盐城二模,11)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4.若点D在边BC上,且BD=2DC,AD=‎2‎‎7‎‎3‎,则AC的长为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.(2017江苏镇江一模,15)已知向量m=(cos α,-1),n=(2,sin α),其中α∈‎0,‎π‎2‎,且m⊥n.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=‎10‎‎10‎,且β∈‎0,‎π‎2‎,求角β的值.‎ 解析　(1)由m⊥n得,2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,‎ 代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,‎ 因为α∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以cos α=‎5‎‎5‎,‎ 则cos 2α=2cos2α-1=2×‎5‎‎5‎‎2‎-1=-‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)由(1)可得sin α=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 由α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,得α-β∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎.‎ 因为sin(α-β)=‎10‎‎10‎,‎ 所以cos(α-β)=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ 所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)‎ ‎=‎2‎‎5‎‎5‎×‎3‎‎10‎‎10‎-‎5‎‎5‎×‎10‎‎10‎=‎2‎‎2‎,‎ 因为β∈‎0,‎π‎2‎,所以β=π‎4‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　平面向量与三角函数综合问题的解决方法 ‎　在△ABC中,角A,B的对边分别为a,b,向量m=(cos A,sin B),n=(cos B,sin A).‎ ‎(1)若acos A=bcos B,求证:m∥n;‎ ‎(2)若m⊥n,a>b,求tanA-B‎2‎的值.‎ 解析　(1)证明:因为acos A=bcos B,所以sin Acos A=sin Bcos B,所以m∥n.‎ ‎(2)因为m⊥n,所以cos Acos B+sin Asin B=0,即cos(A-B)=0,‎ 因为a>b,所以A>B,又A,B∈(0,π),所以A-B∈(0,π),则A-B=π‎2‎,所以tanA-B‎2‎=tanπ‎4‎=1.‎ 方法二　利用共线向量定理解题的策略 ‎1.已知向量a=(1,3),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎2.如图,已知点C是B关于A的对称点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,DC,OA交于点E,设AB=a,AO=b.若OE=λOA,则实数λ的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎5‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 统一命题、省(区、市)卷题组 考点　平面向量的平行与垂直 ‎1.(2018课标全国Ⅲ理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎2.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. ‎ 答案　-6‎ ‎4.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=　　　　. ‎ 答案　7‎ ‎5.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎6.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 教师专用题组 ‎1.(2011江苏,10,5分)已知e1,e2是夹角为‎2π‎3‎的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎4‎ ‎2.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　　　. ‎ 答案　-‎‎2‎‎3‎ ‎3.(2016课标全国Ⅱ理改编,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎4.(2011课标,13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎5.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎6.(2010江苏,15,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.‎ 解析　(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),‎ 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).‎ 所以|AB+AC|=2‎10‎,|AB-AC|=4‎2‎.‎ 故所求的两条对角线长分别为4‎2‎,2‎10‎.‎ ‎(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).‎ 由(AB-tOC)·OC=0,‎ 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,‎ 从而5t=-11,所以t=-‎11‎‎5‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2017江苏常州高三学情调研,5)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m的值为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎2.(2019届江苏盐城高三上学期期中)已知向量m=(1,-1),n=(cos α,sin α),其中α∈[0,π],若m∥n,则α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3π‎4‎ ‎3.(2017江苏徐州沛县中学质检,11)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16x+4y的最小值为　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎4.(2017江苏南京高三期末,10)已知平面向量a=(4x,2x),b=‎1,‎‎2‎x‎-2‎‎2‎x,x∈R,若a⊥b,则|a-b|=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎5.(2017江苏泰州中学第一学期第二次质量检测,9)设平面向量a=(x,4),b=(y,-2),c=(2,1)(其中x>0,y>0),若(a-c)⊥(b-c),则|a+b|的最小值为　　　　. ‎ 答案　2‎‎26‎ ‎6.(2017江苏六校联考,12)在△ABC中,已知AB=8,AC=6,点O为三角形的外心,则BC·OA=　　　　. ‎ 答案　14‎ ‎7.(2019届江苏常州武进高三上学期期中)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若BC=3CE,AF=λAB,且AE·DF=-1,则实数λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎8.(2019届江苏扬州高三第一学期期中)在△ABC中,AH是边BC上的高,点G是△ABC的重心,若△ABC的面积为‎6‎+1,AC=‎5‎,tan C=2,则(AH+BC)·(GB+GC)=　　　　. ‎ 答案　1‎ 二、解答题(共20分)‎ ‎9.(2018江苏南通高三调研,15)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;‎ ‎(2)设α=‎5π‎6‎,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.‎ 解析　(1)因为a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,‎ 所以|a|=|b|=|c|=1,‎ 且a·b=-cos αsin β+sin αcos β=sin(α-β).‎ 因为|a+b|=|c|,‎ 所以|a+b|2=|c|2,‎ 即a2+2a·b+b2=1,‎ 所以1+2sin(α-β)+1=1,‎ 即sin(α-β)=-‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)因为α=‎5π‎6‎,‎ 所以a=‎-‎3‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎.‎ 依题意得b+c=‎-sinβ-‎1‎‎2‎,cosβ+‎‎3‎‎2‎.‎ 因为a∥(b+c),‎ 所以-‎3‎‎2‎cosβ+‎‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎‎-sinβ-‎‎1‎‎2‎=0.‎ 化简得‎1‎‎2‎sin β-‎3‎‎2‎cos β=‎1‎‎2‎,‎ 所以sinβ-‎π‎3‎=‎1‎‎2‎.‎ 因为0<β<π,‎ 所以-π‎3‎<β-π‎3‎<‎2π‎3‎.‎ 所以β-π‎3‎=π‎6‎,‎ 即β=π‎2‎.‎ ‎10.(2018江苏宿迁高三期中,16)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,‎3‎b),n=(sin B,-cos A),且m⊥n.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若|n|=‎6‎‎4‎,求cos C的值.‎ 解析　(1)因为m⊥n,所以m·n=0,‎ 即asin B-‎3‎bcos A=0,‎ 所以sin Asin B-‎3‎sin Bcos A=0.‎ 因为B∈(0,π),所以sin B>0,‎ 所以sin A=‎3‎cos A.‎ 若cos A=0,则sin A=0,不符合题意.‎ 若cos A≠0,则tan A=sinAcosA=‎3‎.‎ 因为A∈(0,π),所以A=π‎3‎.‎ ‎(2)由(1)知A=π‎3‎,所以n=sinB,-‎‎1‎‎2‎.‎ 因为|n|=‎6‎‎4‎,‎ 所以sin‎2‎B+‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎6‎‎4‎,所以sin B=‎2‎‎4‎(负值舍去).‎ 因为sin B=‎2‎‎4‎<‎1‎‎2‎,所以00.‎ 因为sin2B+cos2B=1,所以cos B=‎14‎‎4‎.‎ 所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-‎1‎‎2‎×‎14‎‎4‎+‎3‎‎2‎×‎2‎‎4‎=‎6‎‎-‎‎14‎‎8‎.‎