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- 2021-07-02 发布
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2.4
正态分布
高二数学 选修
2-3
引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道,离散型随机变量最多取可列个不同值,它等于某一特定实数的概率可能大于
0
,人们感兴趣的是它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列;连续型随机变量可能取某个区间上的任何值,它等于任何一个实数的概率都为
0
,所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。
离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数(曲线)描述。
复习
100
个产品尺寸的
频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
(
mm)
频率
组距
复习
200
个产品尺寸的
频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
(
mm)
频率
组距
复习
样本容量增大时
频率分布直方图
频率
组距
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
复习
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
高尔顿板
11
总体密度曲线
0
Y
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线
就是或近似地是以下函数的图象:
1
、正态曲线的定义:
函数
式中的实数
μ
、
σ(σ>0)
是参数,分别表示
总体的平均数与标准差,称
f( x)
的图象称为
正态曲线
c
d
a
b
平均数
X
Y
若用
X
表示落下的小球第
1
次与高尔顿板底部接触时的坐标
,
则
X
是一个随机变量
.X
落在区间
(a,b]
的概率为
:
2.
正态分布的定义
:
如果对于任何实数
aμ
时
,
曲线下降
.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时
,
以
x
轴为渐近线
,
向它无限靠近
.
3
、正态曲线的性质
动画
例
3
、把一个正态曲线
a
沿着横轴方向向右移动
2
个单位,得到新的一条曲线
b
。下列说法中不正确的是( )
A.
曲线
b
仍然是正态曲线;
B.
曲线
a
和曲线
b
的最高点的纵坐标相等
;
C.
以曲线
b
为概率密度曲线的总体的期望比以曲线
a
为概率密度曲线的总体的期望大
2;
D.
以曲线
b
为概率密度曲线的总体的方差比以曲线
a
为概率密度曲线的总体的方差大
2
。
C
正态曲线下的面积规律
X
轴与正态曲线所夹面积恒等于
1
。
对称区域面积相等。
S
(-
,
-
X
)
S
(
X
,
)
=
S(-
,-X)
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S
(-
x
1
,
-
x
2
)
-
x
1
-
x
2
x
2
x
1
S
(
x
1
,x
2
)=
S
(-
x
2
,-x
1
)
4
、特殊区间的概率
:
m
-
a
m
+
a
x
=μ
若
X~N ,
则对于任何实数
a>0,
概率
为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 和 而言,该面积随着 的减少而变大。这说明 越小
,
落在区间 的概率越大,即
X
集中在 周围概率越大。
特别地有
我们从上图看到,正态总体在 以外取值的概率只有
4.6
%,在 以外取值的概率只有
0.3
%。
由于这些概率值很小(一般不超过
5
% ),通常称这些情况发生为
小概率事件
。
例
4
、在某次数学考试中,考生的成绩 服从一个正态分布,即
~N(90,100).
(
1
)试求考试成绩 位于区间
(70,110)
上的概率是多少?
(
2
)若这次考试共有
2000
名考生,试估计考试成绩在
(80,100)
间的考生大约有多少人?
练习:
1
、已知一次考试共有
60
名同学参加,考生的成绩
X~
,据此估计,大约应有
57
人的分数在下列哪个区间内?( )
(90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
C
2
、已知
X~N (0,1)
,则
X
在区间 内取值的概率等于( )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3
、设离散型随机变量
X~N(0,1),
则
=
,
=
.
4
、若
X~N(5,1),
求
P(6