数学卷·2018届江苏省盐城中学（盐城市）高三上学期期中考试（2017 9页

盐城市2018届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题 ‎(总分160分，考试时间120分钟)‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．已知集合，，则= ▲ ．‎ ‎2．函数的最小正周期为 ▲ ．‎ ‎3．若幂函数的图象经过点，则的值为 ▲ ．‎ ‎4．在中，角的对边分别为，若，，，‎ 则= ▲ ．‎ ‎5．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎6．在等差数列中，若，则数列的前6项的和 ▲ ．‎ ‎7．若向量，，，且，则= ▲ ．‎ ‎8．若函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎9．若菱形的对角线的长为4，则 ▲ ．‎ x y O ‎2‎ ‎－2‎ 第10题图 ‎10．函数（其中，，为常数，且，，）的部分图象如图所示，若（），则的值 为 ▲ ．‎ 11． 函数是以4为周期的奇函数，当时，，则 ▲ ．‎ ‎12．设函数，若当时，不等式恒成立，则 的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．在中，角的对边分别为，已知，角的平分线交边于点，其中，则= ▲ ．‎ ‎14．设数列共有4项，满足，若对任意的，且）， 仍是数列中的某一项. 现有下列命题：①数列一定是等差数列；②存在，使得；③数列中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都写上）‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在中，角的对边分别为，已知，，且. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 记函数的定义域、值域分别为集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 设直线是函数的图象的一条对称轴.‎ ‎（1）求函数的最大值及取得最大值时的集合；‎ ‎（2）求函数在上的单调减区间.‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ ‎2016年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2016年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利.‎ ‎（1）试求的表达式；‎ ‎（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.‎ ‎（参考数据：，，）‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知数列满足，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设为数列的前项的和，求；‎ ‎（3）设，是否存正整数，使得 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，.‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若对任意的，都有，求的取值范围；‎ ‎（3）设，点是函数与图象的一个交点，且函数与的图象在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且.‎ 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. ‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6.2 7.‎ ‎8. 9. 8 10. 11. 12. 13. 14.①②③‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. ‎ ‎15．解：（1）由，得，即，解得. ………………3分 在中，由余弦定理，得，‎ 所以. ………………6分 ‎（2）因为，所以为锐角，故. ………………8分 又由余弦定理，得，‎ 所以为锐角，且. ………………11分 所以.………………14分 ‎16．解：（1）当时，，由，得. ……………2分 又，所以. ……………4分 故. ……………6分 ‎（2）“”是“”的必要不充分条件. ……………8分 ‎①当时，，，适合题意； ……………9分 ‎②当时，，，适合题意； ……………11分 ‎③当时，，，不适合题意. ……………13分 综上所述，实数的取值范围是. ……………14分 ‎17．解：（1）因为直线是函数的图象的对称轴，‎ 所以对恒成立. ……………2分 所以对恒成立，‎ 即对恒成立，所以. ……………6分 从而. ……………8分 故当，即时，取得最大值为 ‎2. ……………10分 ‎（说明：其它方法的，类似给分）‎ ‎（2）由，解得的递减区间为. …12分 从而在上的减区间为.（注：区间的形式不唯一） ……………14分 ‎18．解：（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入 为（千万元）， ……………3分 第1年至此后第年的累计净收入 为（千万元）. ………7分 所以（千万元）. ……………8分 ‎（2）方法一：因为，‎ 所以当时，，故当时，递减；‎ 当时，，故当时，递增. ……………12分 又，，‎ ‎.‎ 所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分 答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 方法二：设，则，‎ 令，得，所以.‎ 从而当时，，递减；‎ 当时，，递增. ……………12分 又，，‎ ‎.‎ 所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分 答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 ‎19．解：（1）由题意，当为奇数时，；当为偶数时，. …………2分 又，，所以，即. …………4分 ‎（2）①当时，‎ ‎. ……………6分 ‎②当时，‎ ‎. ……………8分 所以， ……………9分 ‎（3）由（1），得（仅且递增）. ……………10分 因为，且，所以.‎ ‎①当时，，若成等差数列，则 ‎，‎ 此与矛盾. 故此时不存在这样的等差数列. ……………12‎ 分 ‎②当时，，若成等差数列，则 ‎，‎ 又因为，且，所以.‎ 若，则，得，‎ 得，矛盾，所以.‎ 从而，得，‎ 化简，得，解得. ……………15分 从而，满足条件的只有唯一一组解，即，，. ……………16分 ‎20．解：（1）由题意，知，所以.‎ 由题意，，即对恒成立. ……………2分 又当时，，所以. ……………4分 ‎（2）因为，所以. ‎ ‎①当时，因为，所以，，故，不合题意.…6分 ‎②当时，因为，所以，故在上单调递增. ……8分 欲对任意的都成立，则需，所以，解得.‎ 综上所述，的取值范围是. ……………10分 ‎（3）证明：因为，，且函数与在点 处的切线互相垂直，所以，即 （）.‎ 又点是函数与的一个交点，所以 （）.‎ 由（）（）消去，得. ……………12分 ‎①当时，因为，所以，且，此与（）式矛盾.‎ 所以在上没有适合题意. ……………13分 ‎②当时，设，.‎ 则，即函数在上单调递增，‎ 所以函数在上至多有一个零点.‎ 因为，，‎ 且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点.‎ 即只有唯一的，使得成立，且.‎ 综上所述，存在唯一的，且. ……………16分