2020高考理科数学二轮分层特训卷：仿真模拟专练 （四） 10页

专练(四)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合A＝{x∈Z|－1≤x≤4}，B＝{－2，－1，4，8，9}，设C＝A∩B，则集合C的元素个数为(　　)‎ A．9 B．8‎ C．3 D．2‎ 答案：D 解析：A＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{－2，－1，4，8，9}，则C＝A∩B＝{－1，4}，集合C的元素个数为2，故选D.‎ ‎2．[2019·福建晋江四校联考]复数z＝a＋i(a∈R)的共轭复数为，满足||＝1，则复数z＝(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．1＋i D．i 答案：D 解析：根据题意可得＝a－i，所以||＝＝1，解得a＝0，所以复数z＝i.故选D.‎ ‎3．[2019·重庆一中月考]设a，b，c是平面向量，则a·b＝b·c是a＝c的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由a·b＝b·c得(a－c)·b＝0，∴a＝c或b＝0或(a－c)⊥b，∴a·b＝b·c是a＝c的必要不充分条件．故选B.‎ ‎4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos，下列说法正确的是(　　)‎ A．函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上 B．函数f(x)和g(x)的图象在区间(0，π)内有3个交点 C．函数f(x)和g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0，0)对称 答案：D 解析：∵g(－x)＝cos＝cos＝cos＝－sin，∴g(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0，0)对称，故选D.‎ ‎5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　)‎ A．40 B．44‎ C．45 D．49‎ 答案：B 解析：解法一　因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.‎ 解法二　因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以{an}从第二项起是等差数列，a2＝3，公差d＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋4a6＝4×(2×6－1)＝44.故选B.‎ ‎6．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数f(x)＝cos，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)‎ A．670 B．670 C．671 D．672‎ 答案：C 解析：执行程序框图，y＝f(1)＝cos＝，S＝0＋＝，n＝1＋1＝2；y＝f(2)＝cos＝－，S＝，n＝2＋1＝3；y＝f(3)＝cos π＝－1，S＝，n＝3＋1＝4；y＝f(4)＝cos＝－，S＝，n＝4＋1＝5；y＝f(5)＝cos＝，S＝＋＝1，n＝6；y＝f(6)＝cos2π＝1，S＝1＋1＝2，n＝7……直到n＝2 016时，退出循环．∵函数y＝cos是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f(2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S＝336×2－1＝671.故选C.‎ ‎7．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ 答案：C 解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱D1C1，AB的中点E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，则菱形A1ECF为符合题意的截面．‎ 连接EF，A1C，易知EF＝2，A1C＝2，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝EF·A1C＝2.故选C.‎ ‎8．[2019·河北张家口期中]已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．2 D．4‎ 答案：D 解析：通解　∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝1.又x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值是4.故选D.‎ 优解　∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝1.又x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝4，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值是4，故选D.‎ ‎9．[2019·河北唐山摸底]已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于(　　)‎ A．5π B．6π C．7π D．8π 答案：C 解析：f(x)＝sin x－sin(2x＋x)＝sin x－sin 2xcos x－cos 2xsin x＝sin x－2sin x(1－sin2x)－(1－2sin2x)sin x＝sin x－(3sin x－4sin3x)＝2sin x(2sin2x－1)，‎ 令f(x)＝0得sin x＝0或sin x＝±.‎ 于是，f(x)在[0，2π]上的所有零点为x＝0，，，π，，，2π.‎ 故f(x)的所有零点之和为0＋＋＋π＋＋＋2π＝7π，故选C.‎ ‎10．[2019·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是(　　)‎ A. B. C.－1 D．2－ 答案：C 解析：设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P＝＝＝－1，故选C.‎ ‎11．[2019·四川内江一模]设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)时，f′(x)>2x，若f(a－2)－f(a)≥4－‎4a，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，1] B．[1，＋∞)‎ C．(－∞，2] D．[2，＋∞)‎ 答案：A 解析：对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，所以f(x)为偶函数．‎ 设g(x)＝f(x)－x2，所以g′(x)＝f′(x)－2x，‎ 因为x∈[0，＋∞)时f′(x)>2x，所以x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以g(x)在[0，＋∞)上为增函数．‎ 因为f(a－2)－f(a)≥4－4a，所以f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，‎ 所以g(a－2)≥g(a)，易知g(x)为偶函数，所以|a－2|≥|a|，解得a≤1，故选A.‎ ‎12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点．若|AB|＝2|CD|，则直线l的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．±1 D．± 答案：C 解析：由题设可得圆的方程为2＋y2＝p2，故圆心坐标为，为抛物线C的焦点，所以|CD|＝2p，所以|AB|＝4p.设直线l：x＝ty＋，代入y2＝2px(p>0)，得y2－2pty－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，则|AB|＝＝2p(1＋t2)＝4p，所以1＋t2＝2，解得t＝±1，故选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)‎ ‎13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲团队获得一等奖．”‎ 小王说：“甲或乙团队获得一等奖．”‎ 小李说：“丁团队获得一等奖．”‎ 小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”‎ 若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖的团队是________．‎ 答案：丁 解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；‎ ‎②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；‎ ‎③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错的，与题设矛盾；‎ ‎④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．‎ 故获得一等奖的团队是丁．‎ ‎14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．‎ 答案：y2＝12x 解析：双曲线中，c＝＝3，所以右焦点坐标为(3，0)，故抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，抛物线的标准方程为y2＝12x.‎ ‎15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数f(x)＝若f(m)＝－6，则f(m－61)＝________.‎ 答案：－4‎ 解析：∵函数f(x)＝f(m)＝－6，∴当m<3时，f(m)＝3m－2－5＝－6，无解；当m≥3时，f(m)＝－log2(m＋1)＝－6，解得m＝63，‎ ‎∴f(m－61)＝f(2)＝32－2－5＝－4.‎ ‎16．[2019·安徽定远中学月考]已知等差数列{an}满足a3＝6，a4＝7，bn＝(an－3)·3n，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.‎ 答案： 解析：因为a3＝6，a4＝7，所以d＝1，‎ 所以a1＝4，an＝n＋3，bn＝(an－3)·3n＝n·3n，‎ 所以Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n　①，‎ ‎3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1　②，‎ ‎①－②得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，‎ 所以Tn＝.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(12分)[2019·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，accos B＝S.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状；‎ ‎(2)求a＋c的取值范围．‎ 解析：(1)由已知得accos B＝acsin B，得tan B＝，‎ 因为0b＝4，所以40，求得m>或m<－.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 由(*)得kPN＋kQN＝＋＝＝0，‎ 所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0) ＝0，即y1x2＋y2x1－x0 (y1＋y2)＝0.‎ 消去x1，x2，得y1y＋y2y－x0(y1＋y2)＝0，‎ 即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.‎ 因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，‎ 于是存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.‎ ‎21．(12分)[2019·陕西西安中学期中]已知函数f(x)＝x2＋(1－x)ex，g(x)＝x－ln x－a，a<1.‎ ‎(1)求函数g(x)的单调区间；‎ ‎(2)若对任意x1∈[－1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1)因为g′(x)＝1－－a＝＝，a<1，又注意到函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．‎ 当00，解得01，令g′(x)<0，解得a0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0g(x2)成立，等价于函数f(x)在[－1，0]上的最小值大于函数g(x)在[e，3]上的最小值．‎ 当x∈[－1，0]时，因为f′(x)＝x(1－ex)≤0，当且仅当x＝0时不等式取等号，所以f(x)在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(0)＝1.‎ 由(1)可知，函数g(x)在[e，3]上单调递增，所以g(x)在[e，3]上的最小值为g(e)＝e－(a＋1)－.‎ 所以1>e－(a＋1)－，即a>.‎ 又a<1，故所求实数a的取值范围是.‎ 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)‎ ‎22．(10分)[2019·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线l的参数方程为(t为参数)，其中a>0，直线l与曲线C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P(0，a)满足＋＝4，求a的值．‎ 解析：(1)由已知可知ρ2cos2θ＝ρsin θ，‎ 由得曲线C的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得t2－t－a＝0，且Δ＝＋‎3a>0.‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－a，所以t1、t2异号．‎ 所以＋＝＝＝＝＝4，‎ 化简得64a2－12a－1＝0，解得a＝或a＝－(舍)．‎ 所以a的值为.‎ ‎23．(10分)[2019·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲]‎ 已知函数f(x)＝|3x－2a|＋|2x－2|(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝时，解不等式f(x)>6；‎ ‎(2)若对任意x0∈R，不等式f(x0)＋3x0>4＋|2x0－2|都成立，求a的取值范围．‎ 解析：(1)当a＝时，‎ 不等式f(x)>6可化为|3x－1|＋|2x－2|>6，‎ 当x<时，不等式即为1－3x＋2－2x>6，∴x<－；‎ 当≤x≤1时，不等式即为3x－1＋2－2x>6，无解；‎ 当x>1时，不等式即为3x－1＋2x－2>6，∴x>.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎(2)不等式f(x0)＋3x0>4＋|2x0－2|恒成立可化为|3x0－‎2a|＋3x0>4恒成立，‎ 令g(x)＝|3x－2a|＋3x＝ ‎∴函数g(x)的最小值为‎2a，‎ 根据题意可得2a>4，即a>2，‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎