【数学】2018届一轮复习人教A版 二次函数与幂函数 学案 14页

‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).‎ ‎②顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).‎ ‎③零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).‎ ‎(2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图像 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图像关于x＝－对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.‎ ‎(2)幂函数的图像比较 ‎(3)幂函数的性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②幂函数的图像过定点(1,1)；‎ ‎③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数.(　×　)‎ ‎(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(　√　)‎ ‎(4)函数y＝2x是幂函数.(　×　)‎ ‎(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　√　)‎ ‎(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.(　×　)‎ ‎1.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A.a>0,‎4a＋b＝0 B.a<0,‎4a＋b＝0‎ C.a>0,‎2a＋b＝0 D.a<0,‎2a＋b＝0‎ 答案　A 解析　因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以‎4a＋b＝0，故选A.‎ ‎2.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知即得a>.‎ ‎3.如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则|OA|·|OB|等于(　　)‎ A. B.－ C.± D.无法确定 答案　B 解析　|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝ ‎＝－ (∵a<0，c>0).‎ ‎4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.‎ 答案　[1,2]‎ 解析　如图，由图像可知m的取值范围是[1,2].‎ ‎5.已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.‎ 答案　y＝x　(0，＋∞)‎ 题型一　求二次函数的解析式 例1　已知二次函数f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.‎ 解　方法一　(利用一般式)‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).‎ 由题意得解得 ‎∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 方法二　(利用顶点式)‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，‎ ‎∴抛物线的图像的对称轴为x＝＝.‎ ‎∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，‎ ‎∴y＝f(x)＝a2＋8.‎ ‎∵f(2)＝－1，‎ ‎∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，‎ ‎∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.‎ 方法三　(利用零点式)‎ 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，‎ 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ 即f(x)＝ax2－ax－‎2a－1.‎ 又函数的最大值是8，即＝8.‎ 解得a＝－4，‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ ‎　(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是___________________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋‎2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ 答案　(1)f(x)＝x2－2x＋1　(2)－2x2＋4‎ 解析　(1)依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，‎ 又其图像过点(0,1)，‎ ‎∴‎4a－1＝1，∴a＝.‎ ‎∴f(x)＝(x－2)2－1.‎ ‎∴f(x)＝x2－2x＋1.‎ ‎(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，‎ ‎∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋‎2a2，‎ 又f(x)的值域为(－∞，4]，‎ ‎∴‎2a2＝4，‎ 故f(x)＝－2x2＋4.‎ 题型二　二次函数的图像与性质 命题点1　二次函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；‎ ‎(2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.‎ 解　(1)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图像的对称轴为x＝－＝－a，‎ ‎∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.‎ 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).‎ ‎(2)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3‎ ‎＝ 其图像如图所示.‎ 又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数.‎ 命题点2　二次函数的最值 例3　已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2,3]，则函数f(x)的最大值为________. ‎ 答案　8‎ 解析　f(x)＝(x－1)2－1，∵－2≤x≤3(如图)，‎ ‎∴[f(x)]max＝f(－2)＝8.‎ 引申探究 已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.‎ 解　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，‎ ‎∴对称轴为直线x＝1，‎ ‎∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.‎ 综上，当－21时，ymin＝－1.‎ 命题点3　二次函数中的恒成立问题 例4　(1)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________.‎ ‎(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________.‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由题意得a>－对1.‎ ‎(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.‎ 当x＝0时，适合；‎ 当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.‎ 综上，实数a的取值范围是 .‎ 思维升华　(1)二次函数最值问题解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.‎ ‎(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ‎①一般有两个解题思路一是分离参数；二是不分离参数.‎ ‎②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎　若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)由f(0)＝2，得c＝2，‎ 所以f(x)＝ax2＋bx＋2 (a≠0)，‎ f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋‎4a＋2b.‎ 因为f(x＋2)－f(x)＝16x，所以4ax＋‎4a＋2b＝16x，‎ 解得a＝4，b＝－8.‎ 所以f(x)＝4x2－8x＋2.‎ ‎(2)由f(x)>2x＋m，‎ 可得m(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(－1,2) D. 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，‎ 所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，‎ 且在定义域内为增函数，‎ 所以不等式等价于 解‎2m＋1≥0，得m≥－；‎ 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥.‎ 解‎2m＋1>m2＋m－1，得－10时，f(x)＝ax2－2x图像的开口方向向上，且对称轴为x＝.[3分]‎ ‎①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0,1]内，‎ ‎∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增.‎ ‎∴f(x)min＝f()＝－＝－.[6分]‎ ‎②当>1，‎ 即00)，且f(m)<0，则(　　)‎ A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0‎ C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0‎ 答案　C 解析　∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，‎ ‎∴f(x)的大致图像如图所示.‎ 由f(m)<0，得－10，∴f(m＋1)>f(0)>0.‎ ‎4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于(　　)‎ A.－1 B.1‎ C.2 D.－2‎ 答案　B 解析　∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，‎ ‎∵f(0)＝－a，f(2)＝4－‎3a，‎ ‎∴或解得a＝1.‎ ‎5.幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为(　　)‎ A.－10，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；‎ 若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；‎ 对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.‎ ‎7.当0g(x)>f(x)‎ 解析　如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像，由此可知，h(x)>g(x)>f(x).‎ ‎8.已知函数f(x)＝x2－2ax＋‎2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________.‎ 答案　－1或3‎ 解析　由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，‎ 所以f(x)min＝1.‎ 又f(x)＝(x－a)2－a2＋‎2a＋4，‎ 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋‎2a＋4＝1，‎ 即a2－‎2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.‎ ‎9.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的图像过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.‎ 解　(1)因为f(－2)＝1，即‎4a－2b＋1＝1，所以b＝‎2a.‎ 因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－‎4a＝0.‎ 所以‎4a2－‎4a＝0，所以a＝1，所以b＝2.‎ 所以f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.‎ 由g(x)的图像知要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，‎ 所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞).‎ ‎10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.‎ 解　要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a).‎ ‎(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－‎3a≥0，得a≤，故此时a不存在.‎ ‎(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，‎ 故－4≤a≤2.‎ ‎(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，‎ 得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，‎ 综上得－7≤a≤2.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间20分钟)‎ ‎11.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0f(x2)‎ D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 答案　B 解析　函数的对称轴为x＝－1，‎ 设x0＝，由01时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图像在y＝x的图像的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图像，由图像可知α<1时满足题意.‎ ‎13.已知a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则b＝____，a＋b的值为________.‎ 答案　4　4‎ 解析　设f(x)＝x2－3x＋4，则f(x)的最小值为1，因此a≤1(如果a>1，则a≤f(x)≤b的解集由两个区域构成)，于是有f(a)＝f(b)＝b，而由f(b)＝b，得b＝4或，而函数y＝f(x)图像的对称轴为x＝2，故b＝4，则f(a)＝4，解得a＝0(a＝4舍去)，所以a＋b＝4.‎ ‎14.设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_______.‎ 答案　∪ 解析　由8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，‎ 即64sin2α－32(1－2sin2α)≤0，得到sin2α≤.‎ ‎∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤，‎ ‎∴0≤α≤或≤α≤π.‎ 即α的取值范围为∪.‎ ‎15.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ ‎(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围.‎ 解　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，‎ 解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.‎ ‎∴F(x)＝ ‎∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.‎ ‎(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，‎ 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立.‎ 又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.‎ ‎∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].‎