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- 2021-07-02 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年广东省湛江一中高二(上)第二次大考数学试卷(理科)
一.选择题(每小题5分,共12小题)
1.下列命题是真命题的为( )
A.若=,则x=y B.若x2≤4,则x=1
C.若x=y,则= D.若x<y,则 x2<y2
2.已知,,且,则( )
A. B. C. D.x=1,y=﹣1
3.已知命题p:若x>y,则﹣x<﹣y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
4.若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值是( )
A.4 B. C.1 D.2
5.设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知等比数列{an}的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,则{an}的前8项和为( )
A.127 B.255 C.511 D.1023
8.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
9.下列各组向量互相垂直的是( )
A. =(1,2,﹣2),=(﹣2,﹣4,1) B. =(2,4,5),=(0,0,0)
C. =(1,2,),=(,﹣,1) D. =(2,4,5),=(﹣2,﹣4,﹣5)
10.点A,F分别是椭圆C: +=1的左顶点和右焦点,点P在椭圆C上,且PF⊥AF,则△AFP的面积为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
11.已知a>0,b>0,若不等式﹣﹣≤0恒成立,则m的最大值为( )
A.4 B.16 C.9 D.3
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1•e2+1的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞)
二.填空题(每小题5分,共4小题)
13.命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是 .
14.不等式x2+3<4x的解集为 .
15.已知F1,F2是椭圆C: +=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆C交于M,N两点,则△F2MN的周长为 .
16.在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为 .
三.解答题
17.设命题p:关于x的一元二次不等式 ax2﹣x+a>
0的解集为R,命题q:方程=1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
18.已知函数f(x)=x2﹣(2m+1)x+2m(m∈R).
(1)当m=1时,解关于x的不等式xf(x)≤0;
(2)解关于x的不等式f(x)>0.
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=an+1+n2
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
21.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,且DE=6,AF=2.
(1)试在线段BD上确定一点M的位置,使得AM∥平面BEF;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
22.已知抛物线E:y2=2px(p>0),直线x=my+3与E交于A、B两点,且•=6,其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(﹣3,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,证明+﹣2m2为定值.
2016-2017学年广东省湛江一中高二(上)第二次大考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(每小题5分,共12小题)
1.下列命题是真命题的为( )
A.若=,则x=y B.若x2≤4,则x=1
C.若x=y,则= D.若x<y,则 x2<y2
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】逐一判断选项的正误即可.
【解答】解:对于A,若=,则x=y,满足等式成立条件,正确.
对于B,若x2≤4,可得﹣2≤x≤2,则x=1,不成立;
对于C,若x=y,则=显然不成立,因为条件中x∈R.
对于D,若x<y,则 x2<y2反例:﹣2<1,所以选项D不成立.
故选:A.
2.已知,,且,则( )
A. B. C. D.x=1,y=﹣1
【考点】共线向量与共面向量.
【分析】根据已知条件分别求出、的坐标,利用空间向量共线的充要条件,即可求出结果.
【解答】解:∵,
∴=(1+2x,4,4﹣y),=(2﹣x,3,2﹣2y),
∵,
∴,解得
故选B.
3.已知命题p:若x>y,则﹣x<﹣y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.
【解答】解:根据不等式的性质可知,若若x>y,则﹣x<﹣y成立,即p为真命题,
当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立,即命题q为假命题,
则①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q为假命题,
故选:C.
4.若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值是( )
A.4 B. C.1 D.2
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数z的几何意义,进行平移,结合图象得到z=2x﹣y的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
由z=2x﹣y得y=2x﹣z,
平移直线y=2x﹣z,
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,
此时z最大.
由,解得,即C(1,1)
将C(1,1)的坐标代入目标函数z=2x﹣y,
得z=2﹣1=1.即z=2x﹣y的最大值为1.
故选:C.
5.设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意,,即可求出a的值.
【解答】解:由题意,,
∴a=2,
故选:C.
6.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由“a>0且b>0”⇒“a+b>0且ab>0”,“a+b>0且ab>0”⇒“a>0且b>0”,知“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
【解答】解:∵a,b是实数,
∴“a>0且b>0”⇒“a+b>0且ab>0”,
“a+b>0且ab>0”⇒“a>0且b>0”,
∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
故选C.
7.已知等比数列{an}的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,则{an}
的前8项和为( )
A.127 B.255 C.511 D.1023
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】根据且a1,a3,a2成等差数列,列出方程2a6 =2a4 +48,求出首项a1,再根据等比数列的求和公式,即可得答案.
【解答】解:∵2a4、a6、48成等差数列,
∴2a6 =2a4 +48,
∴2a1q5=2a1q3+48,
又等比数列{an}的公比q=2,
∴
解得,a1=1,
∴{an}的前8项和为
故选B.
8.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线方程设P点坐标,分别表示出其到准线方程和到原点的距离,使其相等进而求得a,则P的坐标可得.
【解答】解:设P坐标为(a2,a)
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣
a2+=,求得a=±
∴点P的坐标为(,)
故选B
9.下列各组向量互相垂直的是( )
A. =(1,2,﹣2),=(﹣2,﹣4,1) B. =(2,4,5),=(0,0,0)
C. =(1,2,),=(,﹣,1) D. =(2,4,5),=(﹣2,﹣4,﹣5)
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】根据两向量垂直的定义,计算它们的数量积即可得出结果.
【解答】解:对于A, •=﹣2﹣8﹣2=﹣12≠0,∴、不垂直;
对于B,由=得、是共线向量,不垂直;
对于C, •=﹣1+=0,∴⊥;
对于D, •=﹣4﹣16﹣25=﹣45≠0,∴、不垂直.
故选:C.
10.点A,F分别是椭圆C: +=1的左顶点和右焦点,点P在椭圆C上,且PF⊥AF,则△AFP的面积为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,由椭圆方程求出a,c的值,再求出|PF|,代入三角形面积公式得答案.
【解答】解:如图,
由椭圆C: +=1,得a2=16,b2=12,
∴,
|PF|=,
|AF|=a+c=6,
∴△AFP的面积为.
故选:B.
11.已知a>0,b>0,若不等式﹣﹣≤0恒成立,则m的最大值为( )
A.4 B.16 C.9 D.3
【考点】基本不等式.
【分析】不等式恒成立⇒的最小值,利用不等式的基本性质求出即可.
【解答】解:不等式恒成立⇒的最小值,
∵a>0,b>0, =10+≥10+=16,当且仅当,即a=b时取等号.
∴m≤16,即m的最大值为16.
故选B.
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1•e2+1的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞)
【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n),由条件可得m=10,n=2c,再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5),运用三角形的三边关系求得c的范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围.
【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n),
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,
即有m=10,n=2c,
由椭圆的定义可得m+n=2a1,
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2,
即有a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5),
再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c=4c>10,
则c>,即有<c<5.
由离心率公式可得e1•e2===,
由于1<<4,则有>.
则e1•e2+1.
∴e1•e2+1的取值范围为(,+∞).
故选:B.
二.填空题(每小题5分,共4小题)
13.命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是 ∀x∈R,x>1且 .
【考点】特称命题;命题的否定.
【分析】利用特称命题的否定是全称命题,直接写出结果即可.
【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题:“∃x0∈R,x0≤1或x02>4”的否定是:∀x∈R,x>1且.
故答案为:∀x∈R,x>1且.
14.不等式x2+3<4x的解集为 (1,3) .
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】把不等式x2+3<4x化为x2﹣4x+3<0,求出解集即可.
【解答】解:不等式x2+3<4x可化为
x2﹣4x+3<0,
解得1<x<3;
∴不等式的解集为(1,3).
故答案为:(1,3).
15.已知F1,F2是椭圆C: +=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆C交于M,N两点,则△F2MN的周长为 8 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值,进而把四段距离相加即可求得答案.
【解答】解:利用椭圆的定义可知,|F1M|+|F2M|=2a=4,|F1N|+|F2N|=2a=4,
∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8.
故答案为:8.
16.在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为 .
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,可得F(t1,0,0)(0<t1<1),,,D(0,t2,0)(0<t2<1).可得,.利用F,可得=0,由此推出 0<t2<.再利用向量的模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,
则F(t1,0,0)(0<t1<1),,,D(0,t2,0)(0<t2<1).
∴,.
∵GD⊥EF,∴t1+2t2=1,由此推出 0<t2<.
又, =,
∴当t2=时,有.
故答案为:
三.解答题
17.设命题p:关于x的一元二次不等式 ax2﹣x+a>0的解集为R,命题q:方程=1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】(1)命题p为真命题,即一元二次不等式 ax2﹣x+a>0的解集为R,利用判别式求出a的取值范围;(2)求出命题q为真时a的取值范围,利用p或q”为真,“p且q”为假时,p、q一真一假;求出a的取值范围.
【解答】解:(1)若命题p为真命题,
即一元二次不等式 ax2﹣x+a>0的解集为R,
∴,
解得a>2,
∴实数a的取值范围;a>2;
(2)命题q:方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,
,
解得0<a<15;
“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,
则p、q一真一假;
p真q假时,满足,
解得a≥15;
p假q真时,满足,
解得0<a≤2,
综上,a的取值范围是0<a≤2或a≥15.
18.已知函数f(x)=x2﹣(2m+1)x+2m(m∈R).
(1)当m=1时,解关于x的不等式xf(x)≤0;
(2)解关于x的不等式f(x)>0.
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)当m=1时,x(x2﹣3x+2)≤0,即x(x﹣1)(x﹣2)≤0,即可得出结论;
(2)不等式可化为(x﹣2m)(x﹣1)>0,分类讨论,即可得出结论.
【解答】解:(1)当m=1时,x(x2﹣3x+2)≤0,即x(x﹣1)(x﹣2)≤0,{x|x≤0或1≤x≤2};
(2)不等式可化为(x﹣2m)(x﹣1)>0,
当时,解集为{x|x<2m,或x>1};
当时,解集为{x|x≠1};
当时,则不等式的解集为{x|x<1,或x>2m}…..
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=an+1+n2
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)根据数列的递推公式可得数列{an}的通项公式为an=2n﹣1,
(2)根据裂项求和,即可求出数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)Sn+1=an+1+n2,则Sn+1﹣Sn=an+1+n2﹣an﹣(n﹣1)2=an+1﹣an+(2n﹣1),
即an+1=an+1﹣an+(2n﹣1),
所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣1;
(2),
.
20.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)利用椭圆的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2,建立方程组,求出几何量,即可得到椭圆的方程;
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,及x1x2+y1y2=0,即可求得结论.
【解答】解:(1)∵椭圆的离心率为
,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2,
∴
∴a=2,b=1
∴椭圆C的方程为;
(2)将y=kx+代入椭圆方程,可得
(4+k2)x2+x﹣1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣
由题意知:OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0
又y1=kx1+,y2=kx2+,
则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=0,
∴(1+k2)•(﹣)+k(﹣)+3=0
∴k=±满足条件.
21.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,且DE=6,AF=2.
(1)试在线段BD上确定一点M的位置,使得AM∥平面BEF;
(2)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)过K作KM⊥BD,交BD于M,则AF⊥平面ABCD,从而AF⊥
BD,四边形FAMK为平行四边形,进而AM∥平面BEF,由此求出M为BD的一个三等分点(靠近点B).
(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值.
【解答】解:(1)取BE的三等分点K(靠近点B),则有,
过K作KM⊥BD,交BD于M,
∵DE⊥平面ABCD,AF∥DE,∴AF⊥平面ABCD,
∴AF⊥BD,∴FA∥KM,且FA=KM,
∴四边形FAMK为平行四边形,∴AM∥FK,
∵AM⊄平面BEF,FK⊂平面BEF,∴AM∥平面BEF,
∵,
∴M为BD的一个三等分点(靠近点B).…
(2)如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(3,0,0),B(3,3,0),E(0,0,6),C(0,3,0),
=(3,3,﹣6),=(0,3,0),=(﹣3,0,0),
设平面AEB的法向量为=(x1,y1,z1),
由,得,取z1=1,得=(2,0,1)…
平面BCE的法向量为=(x2,y2,z2),
由,即,得=(0,2,1),
设二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ,
二面角A﹣BE﹣C为钝二面角,
∴cosθ=﹣=﹣=﹣.
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为﹣.…
22.已知抛物线E:y2=2px(p>0),直线x=my+3与E交于A、B两点,且•=6,其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(﹣3,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,证明+﹣2m2为定值.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)由题意可知:将直线方程代入抛物线方程,由韦达定理可知:y1+y2=2pm,y1•y2=﹣6p, •=x1•x2+y1•y2=+y1•y2,求得9﹣6p=6,求得p的值,即可求得抛物线E的方程;
(2)由直线的斜率公式可知:k1==,k2==, +﹣2m2=(m+)2+(m+)2﹣2m2=2m2+12m×+36×﹣2m2,由(1)可知:y1+y2=2pm=m,y1•y2=﹣6p=﹣3,代入即可求得+﹣2m2=24.
【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
,整理得:y2﹣2pmy﹣6p=0,
由韦达定理可知:y1+y2=2pm,y1•y2=﹣6p,
则x1•x2=
由•=x1•x2+y1•y2=+y1•y2=9﹣6p=6,解得:p=,
∴y2=x;
(2)证明:由直线CA的斜率k1,k1==,
CB的斜率k2,k2==,
∴=m+, =m+,
∴+﹣2m2=(m+)2+(m+)2﹣2m2,
=2m2+12m(+)+36×(+)﹣2m2,
=2m2+12m×+36×﹣2m2,
由(1)可知:y1+y2=2pm=m,y1•y2=﹣6p=﹣3,
∴+﹣2m2=2m2+12m×()+36×﹣2m2=24,
∴+﹣2m2为定值.