数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二上学期期中数学试卷 （解析版） 19页

‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 ‎2．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 ‎3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎4．若点A（m，1）在椭圆+=1的内部，则m的取值范围是（　　）‎ A．﹣＜m＜ B．m＜﹣或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．﹣1＜m＜1‎ ‎5．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2‎ ‎6．动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切，则圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=16x D．y2=﹣16x ‎7．抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2分别为C的左右焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=3|F2A|，则cos∠AF2F1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（　　）‎ A．等于1 B．最小值是1 C．等于4 D．最大值是4‎ ‎10．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．2+ D．6‎ ‎11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O：x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则+的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设命题p：若a＞b，则＜；命题q：＜0⇔ab＜0．给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧（￢q）；④（￢p）∨（￢q）．其中真命题的个数有　　个．‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=5的弦，其中最短弦的长为　　．‎ ‎15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为2，则p的值为　　．‎ ‎16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．写出命题“若x2+x﹣2≤0，则|2x+1|＜1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．‎ ‎18．已知命题p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知圆 M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．‎ ‎（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；‎ ‎（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB过x轴上一定点．‎ ‎21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程．‎ ‎（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且•=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；‎ 圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径 R=3．‎ ‎∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．‎ ‎∴R﹣r＜＜R+r．‎ ‎∴两圆相交．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 ‎【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出命题的逆命题，判断真假即可；利用或命题判断真假即可；利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可；利用充要条件的判定方法判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，命题“若am2＜bm2，则a＜b”（ a，b，m∈R）的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”（ a，b，m∈R），由于当m=0时，am2=bm2；故A是假命题；‎ 对于B，命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个是真命题，∴B不正确；‎ 对于C，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”符合命题的否定性质，∴C正确；‎ 对于D，x∈R，则“x＞1”不能说“x＞2”，但是“x＞2”可得“x＞1”，∴D不正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的离心率是，‎ ‎∴e==，即==1+（）2=，‎ 即（）2=﹣1=，则=，‎ 即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．若点A（m，1）在椭圆+=1的内部，则m的取值范围是（　　）‎ A．﹣＜m＜ B．m＜﹣或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．﹣1＜m＜1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件列出不等式，求解即可．‎ ‎【解答】解：点A（m，1）在椭圆+=1的内部，‎ 可得，解得：﹣＜m＜．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．‎ ‎【解答】解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，‎ 又∵l1∥l2，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，‎ 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切，则圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=16x D．y2=﹣16x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的焦点，根据动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切，可得M到（﹣4，0）的距离等于M到直线x=4的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1左焦点为（﹣4，0），则 ‎∵动圆M经过双曲线x2﹣=1左焦点且与直线x=4相切，‎ ‎∴M到（﹣4，0）的距离等于M到直线x=4的距离，‎ ‎∴M的轨迹是以（﹣4，0）为焦点的抛物线，‎ ‎∴圆心M的轨迹方程是y2=﹣16x．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义，根据抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为，可得M的坐标，即可求得△OFM的面积．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为，‎ ‎∴x+=，∴x=2，‎ ‎∴x，2时，y=±2‎ ‎∴△OFM的面积为=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2分别为C的左右焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=3|F2A|，则cos∠AF2F1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由于双曲线的一条渐近线y=x与直线x+2y+1=0垂直，‎ 则一条渐近线的斜率为2，‎ 即有b=2a，c=a，‎ ‎|F1A|=3|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，‎ 解得，|F1A|=3a，|F2A|=a，‎ 又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得 cos∠AF2F1==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知抛物线y2=4x，圆F：（x﹣1）2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（　　）‎ A．等于1 B．最小值是1 C．等于4 D．最大值是4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=xA，同理可得：|CD|=xD，要分l⊥x轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当l⊥x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得．‎ ‎【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=﹣1．‎ 由定义得：|AF|=xA+1，‎ 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA，‎ 同理：|CD|=xD，‎ 当l⊥x轴时，则xD=xA=1，∴|AB|•|CD|=1 ‎ 当l：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴xAxD=1，∴|AB|•|CD|=1‎ 综上所述，|AB|•|CD|=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．2+ D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．‎ ‎【解答】解：如图，由圆x2+（y﹣6）2=2，得圆心坐标为C（0，6），半径为．‎ 设Q（x，y）是椭圆+=1上的点，‎ ‎∴|QC|==，‎ ‎∵﹣≤y≤，‎ ‎∴y=﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为．‎ ‎∴P，Q两点间的距离的最大值为2+．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设A，B，P三点的坐标分别为 （x1，y1），（﹣x1，﹣y1），（x2，y2 ），由 可得 ‎=，①又，，可得 ②，‎ 由①②可得 =，故 e2===，从而得到离心率 e=．‎ ‎【解答】解：设A，B，P三点的坐标分别为 （x1，y1），（﹣x1，﹣y1），（x2，y2 ），‎ 由 可得， •== ①．‎ 又，，∴，‎ ‎②，由①②可得 =，∴e2====，‎ 故 离心率 e==，‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O：x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则+的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的离心率结合隐含条件求得，设A（xA，yA ），B （xB，yB ），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点，求出点M（，0），N（0，），从而得到==（）•=，答案可求．‎ ‎【解答】解：，∴，得．‎ 设A（xA，yA ），B （xB，yB ），则切线PA、PB的方程分别为 xA•x+yA•y=b2，xB•x+yB•y=b2．‎ 由于点P 是切线PA、PB的交点，‎ ‎∴点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PB的方程．‎ ‎∴A，B 是xP•x+yP•y=b2 和圆x2+y2=b2 的交点，故点M（，0），N（0，）．‎ 又，‎ ‎∴==（）•==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设命题p：若a＞b，则＜；命题q：＜0⇔ab＜0．给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧（￢q）；④（￢p）∨（￢q）．其中真命题的个数有　2　个．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：若a＞0＞b，则＞，故命题p为假命题；‎ ‎＜0⇔ab＜0，故命题q为真命题，‎ 故①p∨q为真命题；②p∧q为假命题；③（￢p）∧（￢q）为假命题；‎ ‎④（￢p）∨（￢q）为真命题．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=5的弦，其中最短弦的长为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】弦长m=知，r为定值，当d取最大值时，m取得最小值．故过点（3，1）的弦中，当以（3，1）为弦中点时，弦长最短．‎ ‎【解答】解：由直线和圆位置关系知，弦过点（3，1），当以（3，1）为弦中点时，弦长最短．‎ 记弦长为m，圆心到弦的距离（圆心与弦中点的距离）为d，圆半径为r，‎ 由题知圆心为（2，2），半径r=．‎ 则m===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为2，则p的值为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，F（，0）．|由于AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．利用抛物线的定义可得xA，代入可取yA，再利用S△ACE=，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，F（，0）．|CF|=3p．‎ ‎∵AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，‎ ‎∴|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．‎ ‎∴xA+=，解得xA=p，‎ 代入可取yA=p，‎ ‎∴S△ACE==2，‎ 解得p=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=　2﹣3　．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，‎ ‎∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，‎ 根据双曲线的方程得：‎ a=3，b=2，c=，‎ ‎∴|OF|=，‎ ‎∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，‎ ‎∴Rt△OTF中，|FT|==2，‎ ‎∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，‎ 故答案为：2﹣3．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．写出命题“若x2+x﹣2≤0，则|2x+1|＜1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可写出逆命题、否命题、逆否命题，进而判断其真假．‎ ‎【解答】解：∵x2+x﹣2≤0⇔x∈[﹣2，1]，‎ ‎|2x+1|＜1⇔x∈（﹣1，0），‎ ‎∴原命题“若x2+x﹣2≤0，则|2x+1|＜1”，为假命题 ‎∴逆命题：若|2x+1|＜1，则x2+x﹣2≤0，为真命题 否命题：若x2+x﹣2＞0，则|2x+1|≥1，为真命题 逆否命题：若|2x+1|≥1，则x2+x﹣2＞0，为假命题 ‎　‎ ‎18．已知命题p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先解出命题p，q下的不等式，得：命题p：x＜﹣2，或x＞10，命题q：x＜1﹣m，或x＞1+m，由p是q的充分不必要条件便得：，解该不等式组即得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：解x2﹣8x﹣20＞0得x＜﹣2，或x＞10，解x2﹣2x+1﹣m2＞0得x＜1﹣m，或x＞1+m；‎ ‎∵p是q的充分不必要条件；‎ ‎∴，解得0＜m≤3；‎ ‎∴实数m的取值范围为（0，3]．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆 M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．‎ ‎（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；‎ ‎（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．‎ ‎【分析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．‎ ‎（2）设AB与MQ交于点P，求．出|MP|，利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，设Q（x，0），通过x2+22=9，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，‎ ‎∴，∴m=﹣或m=0，‎ ‎∴切线方程为3x+4y﹣3=0和x=1．‎ ‎（2）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，∵MB⊥BQ，∴|MP|=，‎ 利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，∴|MQ|=3，设Q（x，0），x2+22=9，∴x=，‎ 直线方程为：2x+或2x﹣=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB过x轴上一定点．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；‎ ‎（2）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），‎ 所以=1，所以p=2．‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x．‎ ‎（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（，t），B（，﹣t），‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=48．‎ 所以（12，t），B（12，﹣t），此时直线AB的方程为x=12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）‎ 联立方程，化简得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 根据韦达定理得到yAyB=，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以得到xAxB+3yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 得到+2yAyB=0，‎ 化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又因为yAyB==﹣48，b=﹣12k，‎ 所以y=kx﹣12k，即y=k（x﹣12）．‎ 综上所述，直线AB过定点（12，0）．‎ ‎　‎ ‎21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程．‎ ‎（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且•=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点M（，）代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；‎ ‎（2）利用•=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，∴b=a，双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2．‎ ‎∵点M（，）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为=1．‎ ‎（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0‎ ‎∴（*）‎ x1+x2=，x1x2=，‎ 由•=0得x1x2+y1y2=0，‎ 把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，‎ ‎∴（1+k2）•+km•+m2=0，‎ 化简得m2=6k2+6．‎ ‎|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=24+‎ 当k=0时，|PQ|2=24+≥24成立，且满足（*）‎ 又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2＞24，‎ ‎∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 ‎（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，‎ 可得椭圆C的方程：；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），‎ ‎（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，‎ k==，k′==﹣，‎ ‎==﹣3．为定值；‎ ‎（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，‎ PN的方程为：y=kx+m，‎ 联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，‎ 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0‎ 可得xA=，yA=+m，‎ 同理解得xB=，‎ yB=，‎ xA﹣xB=k﹣=，‎ yA﹣yB=k+m﹣（）=，‎ kAB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，‎ 所以6k+，当且仅当k=时取等号．‎ 此时，即m=，符合题意．‎ 所以，直线AB的斜率的最小值为：．‎ ‎　‎ ‎2017年1月2日