数学卷·2018届湖南省湘潭县一中高二下学期第一次模块检测（2017-02） 11页

湘潭县第一中学2016-2017学年高二下学期第一次模块性检测考试 数 学 注意事项： ‎ ‎1.本试卷分第 I 卷（阅读题）和第 II 卷（表达题）两部分。‎ ‎2.考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎3.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4.时量：150 分钟 满分：150 分 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁UA）∩B等于（　 ）‎ A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（　　）‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4.已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为‎2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF‎1F2=2∠MF‎2F1，则离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且 ，则的最大值是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（　　）‎ A． B．‎2015 ‎C．2016 D．2013‎ ‎8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（　 ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.的展开式中项的系数为20，则实数 ．‎ ‎14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．‎ ‎15.已知变量x，y满足，则的取值范围是　 　．‎ ‎16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.在△中，已知，向量，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点在边上，且，，求△的面积．‎ ‎18.某人在自己的经济林场种植了杨树、沙柳等植物．一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为． （1）求n，p的值 （2）若一株沙柳成活，则一年内通过该株沙柳获利100元，若一株沙柳不能成活，一年内通过该株沙柳损失30元，求一年内该人通过种植沙柳获利的期望．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，⊥平面，， ，分别是,的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证：‎ ‎(Ⅱ)求点到平面的距离.‎ P A B C D E F ‎20.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）的值．‎ ‎21.已知椭圆C1：和动圆C2：，直线与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ 参数答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D A A B A A C A D A B ‎13.4‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.3πa2‎ ‎17.试题解析：（1）由题意知， ‎ 又，，所以， ‎ 即，即， ‎ ‎ 又，所以，所以，即． 。。。。。。。 5分 ‎ ‎ （2）设，由，得，‎ 由（1）知，所以，，‎ 在△中，由余弦定理，得， ‎ ‎ 解得，所以， ‎ ‎ 所以． 。。。。。。。。。。。10分 ‎ ‎18.解答：解：（1）由二项分布的结论：Eξ=np，（σξ）2=np（1-p） 可得， 得，从而 答：n，p的值分别为6和．。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）设η为该人通过种植沙柳所获得的利润， 则η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180 所以：Eη=130Eξ-180=210 答：一年内该人通过种植沙柳获利的期望约为210．。。。。。。。。。12分 19.试题解析：证明：(Ⅰ) ,是的中点 ‎ ‎ ‎⊥平面 ‎ ‎ ‎ ‎ 且 平面 平面 ‎ ‎ 平面 。。。。。。。。。。。。。 6分 ‎(Ⅱ)设点到平面的距离为，利用体积法，‎ ‎ 故点到平面的距离为 。。。。。。。。。 12分 ‎20.试题解析： （1）当n = 1时，解出a1 = 3, （a1 = 0舍） ‎ 又4Sn = an2 + 2an－3 ①‎ 当时 4sn－1 = + 2an-1－3 ② ‎ ‎①－② , 即，‎ ‎∴ , ‎ ‎（），‎ 是以3为首项，2为公差的等差数列， ‎ ‎． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ‎ ‎ （2） ③‎ 又 ④‎ ‎④－③ ‎ ‎ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分 ‎21试题解析：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．‎ 由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k‎2m2‎﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，从而m2=1+4k2 ①‎ 由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．‎ 由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k‎2m2‎﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0， ‎ 从而m2=r2（1+k2） ②‎ 由①、②得k2=．‎ 由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．。。。。。。。。。。。。。。。 6分 ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知 x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．‎ ‎|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2‎ ‎=•（4﹣r2）2=，所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．‎ 因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，‎ 所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分 ‎22试题解析：（1）当时，‎ 易得函数的定义域为 当时，，此时在上是减函数；‎ 当时，，此时在上是增函数；‎ 当时，取得极小值。。。。。。。。。。。4分 ‎(2)函数 令，得 设 当时，，此时在上式增函数；‎ 当时，，此时在上式增函数；‎ 当时，取极大值 令，即，解得，或 函数的图像如图所示：‎ 由图知：‎ 当时，函数和函数无交点；‎ ‎②当时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ ‎③当时，函数和函数有两个交点；‎ ‎④时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 对任意恒成立 等价于恒成立 设 在上单调递减 在恒成立 当且仅当当时，‎ 的取值范围是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分