2018高考数学（文理通用版）一轮综合过关规范限时检测：第10章-计数原理概率随机变量及其分布(理) 10页

第十章　综合过关规范限时检测(理)‎ ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．(2016·辽宁大边二模)有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法种数为(　B　)‎ A．A·A B．C·C C．C－C·C D．A－A·A ‎[解析]　由题意，得到选法种数为C·C，故选B．‎ ‎2．(2017·辽宁省锦州市高三质量检测(二)数学试题)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具， 且A、B两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有(　B　)‎ A．36种 B．30种 C．24种 D．18种 ‎[解析]　由题意A、B两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C(C－1)A＝3×5×2＝30.‎ ‎[点拨]　求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．‎ ‎3．(2017·河北省保定三中上学期1月月考数学试题)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　D　)‎ A．－4 B．－3 C．－2 D．－1‎ ‎[解析]　由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，由此解得a的值．‎ 解：已知(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋ax)(1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5) 展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，解得a＝－1，故选D．‎ ‎[点拨]　本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎4．(2016·湖北黄冈模拟)设a＝∫20(3x2－2x)dx，则二项式(ax2－)6展开式中的第4项为(　A　)‎ A．－1 280x3 B．－1 280 C．240 D．－240‎ ‎[解析]　由微积分基本定理知a＝4，(4x2－)6展开式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)3(－)3＝－1‎ ‎ 280x3.故选A．‎ ‎5．(2016·重庆巴蜀中学模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　D　)‎ A． B． C． D． ‎[解析]　方法一：(直接法)所取3个球中至少有1个白球的取法有两种情况：2红1白有C·C＝6种取法；1红2白有C·C＝3种取法．而从5个球中任取3个球的取法共有C＝10种，所以所求概率为.‎ 方法二：(间接法)至少有1个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，所求概率为1－＝.故选D．‎ ‎6．(2016·广东汕头二模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(Xk)＝P(X3)＝0.023，则P(－3≤ξ≤3)＝(　C　)‎ A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977‎ ‎[解析]　因为P(ξ>3)＝0.023，所以P(ξ<－3)＝0.023，所以P(－3≤ξ≤3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2×0.023＝0.954.故选C．‎ ‎[易错提示]　由随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，可知正态密度曲线关于y轴对称 ‎11．(2016·辽宁大连第23中学模拟)设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝，则n与p的值分别为(　B　)‎ A．60， B．60， C．50， D．50， ‎[解析]　由ξ～B(n，p)，得E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60.‎ ‎12．(2017·海南省嘉积中学教学质量监测(二)理科数)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝(　C　)‎ A． B． C． D． ‎[解析]　ξ＝1时，P1＝C()4()0＝，‎ ξ＝2时，P2＝C()3·＝，‎ ξ＝3时，P3＝C·()2·()2＝，‎ ξ＝4时，P4＝C()·()3＝，‎ ξ＝5时，P5＝C()4＝，‎ E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2017·江苏省连云港市东海二中期中数学试题)将编号为1、2、3、4、5的五名同学全部安排到A、B、C、D四个班级上课，每个班级至少安排一名同学，其中1号同学不能安排到A班，那么不同的安排方案共有_72__种. ‎[解析]　根据题意，首先分析1号，易得1号可以放B、C、D班，有A种方法，再分两种情况讨论其他4名同学，由分类计数原理计算可得答案．‎ 解：1号同学不能安排到A班，则1号可以放在B、C、D班，有A种方法，‎ 另外四个同学有2种情况，‎ ‎①四人中，有1个人与1号共同分配一个班，即A、B、C、D每班一人，即在三个班级全排列A，‎ ‎②四人中，没有人与1号共同参加一个班，这四人都被分配到1号没有分配的3个班，‎ 则这四人中两个班1人，另一个班2人，可以从4人中选2个为一组，与另2人对应2个班，进行全排列，‎ 有CA种情况，‎ 另外三个同学有A＋CA＝72种安排方法，‎ ‎∴不同的分配方案有A(A＋CA)＝24，‎ 故答案为72.‎ ‎14．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E(ξ)的值为 　. ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b ‎[解析]　a＝××＋××＋××＝，b＝1－－－a＝，‎ 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎[点拨]　本题是独立事件的概率问题，分的情况较多，概率容易计算错误，为了避免出错，算出概率以后，利用概率和为1的性质进行验证．‎ ‎15．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)＝ 　，P(B|A)＝ 　. ‎[解析]　P(A)＝＝，‎ P(B)＝1－＝，‎ P(AB)＝＝，‎ P(A|B)＝＝＝，‎ P(B|A)＝＝＝.‎ ‎16．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_10__. ‎[解析]　由题意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)安排5名歌手的演出顺序时. ‎(1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？‎ ‎(2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？‎ ‎[答案]　(1)96　(2)78‎ ‎[解析]　(1)CA＝96种．‎ ‎(2)方法一：A－2A＋A＝78种．‎ 方法二：分两步完成任务：‎ 第一步：先排两名特殊歌手有4＋3＋3＋3＝13种；‎ 第二步：排另外三人有A＝6种，故排法种数共有：13×6＝78种．‎ ‎18．(本小题满分12分)(2016·湖北武汉模拟)已知(＋2x)n. ‎(1)若展开式中第5项，第6顶与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎[解析]　(1)由题意，得C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0.‎ 解得n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4，T5，‎ 所以T4的系数为C·()4·23＝，‎ T5的系数为C·()3·24＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，‎ 所以T8的系数为C·()7·27＝3 432.‎ ‎(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.‎ 解得n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，‎ 因为(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，‎ 所以 所以9.4≤k≤10.4，所以k＝10.‎ 所以展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·()2·210·x10＝16 896x10.‎ ‎19．(本小题满分12分)(2017·江苏省淮安市新马高中数学一模数学试题)已知一口袋中共有4只白球和2只红球 ‎(1)从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；‎ ‎(2)从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．‎ ‎[解析]　(1)根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．‎ ‎(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．‎ 解：(1)根据题意可得：X的可能取值为4、5、6.‎ 所以P(X＝4)＝＝ P(X＝5)＝＝ P(X＝6)＝＝ 属于X的分布列为：‎ P ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ X 属于X的数学期望为：E(X)＝4×＋5×＋6×＝ ‎(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A ‎ 则P(A)＝[()3＋××＋C()2×]×××＝.‎ ‎∴6次取球后恰好被停止的概率为.‎ ‎20．(本小题满分12分)(2016·沧州七校联考)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100). ‎(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？‎ ‎(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？‎ ‎[答案]　(1)0.954 4　(2)1 365‎ ‎[解析]　∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.‎ ‎(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.‎ ‎(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.‎ 由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365人．‎ ‎21．(本小题满分12分)人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示： 幸福感指数 ‎[0,2)‎ ‎[2,4)‎ ‎[4,6)‎ ‎[6,8)‎ ‎[8,10]‎ 男居民人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎220‎ ‎125‎ ‎125‎ 女居民人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎180‎ ‎175‎ ‎125‎ ‎(1)在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；‎ ‎(2)若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．‎ ‎[答案]　(1)6.46　(2)E(X)＝1.2‎ ‎[解析]　(1)频率分布直方图如图所示．所求的平均值为0.01×2×1＋0.015×2×3＋0.2×2×5＋0.15×2×7＋0.125×2×9＝6.46.‎ ‎(2)男居民幸福的概率为＝0.5，‎ 女居民幸福的概率为＝0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6＝0.3.‎ 因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X～B(4,0.3)，‎ 于是P(X＝k)＝C×0.3k(1－0.3)4－k(k＝0,1,2,3,4)，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.240 1‎ ‎0.411 6‎ ‎0.264 6‎ ‎0.075 6‎ ‎0.008 1‎ ‎∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2.‎ ‎22．(本小题满分12分)(2016·江西五校联考)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人) 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．‎ ‎(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 附表及公式 P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝ ‎[解析]　(1)由表中数据得K2的观测值k＝＝≈5.556>5. 024，‎ 所以有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．‎ ‎(2)设甲、乙解答一道几何题所用的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)．‎ 设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x>y.‎ P(A)＝＝，即乙比甲先解答 完的概率为.‎ ‎(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C＝28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C＝15种；恰有一人被抽到有C·C＝12种；‎ 两人都被抽到有C＝1种．‎ ‎∴X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝，‎ P(x＝1)＝＝，P(X＝2)＝.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎