2017-2018学年海南省海口四中高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版含部分解析） 14页

‎2017-2018学年度海口四中高二年级第二学期期末考试（理科）(数学)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（    ）‎ A. 30 B. 25 C. 20 D. 15‎ 3. 天气预报，在国庆节甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地至少有一地降雨的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 在二项式的展开式中，的系数为（    ）‎ A. B. 10 C. D. 80‎ 5. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为() ‎ A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8‎ 6. 某老师从10位学生中安排6位参加一项研究性学习活动，其中甲、乙两位学生要么都参加，要么都不参加，则不同的安排方法种数为（）‎ A. 28 B. 70 C. 56 D. 98‎ 7. 已知随机变量X~N（1,9），X在区间（－1,）和（,3）上取值的概率分别为，则（   ）‎ A. B. C. D. 的大小不确定 8. 如下图，该程序框图运行后输出的结果为（）‎ A. 2   　　　 B. 4　　 C. 8   　　　 D. 16‎ 1. 在区间上随机取一个数，使的值介于到之间的概率为（   ）‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎2018年海南岛欢乐节组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 3. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 某篮球运动员投篮命中率为0.8，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，设命中次数为X，得分为Y，则E（X），D（Y）分别为 ( )‎ A. ， B. ，80 C. 4，80 D. 4，‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为______ ．‎ 1. 若5个人站成一排照相，其中甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为_______‎ 2. 已知随机变量X的分布列为 ‎ ‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且，则的值为___________‎ 3. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示).‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 4. 已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC． （1）cosA的值； （2）若b2+c2=4，求△ABC的面积． ‎ 5. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；‎ ‎ ‎ 1. 在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：‎ ‎  ‎ 选修4-1 ‎ 选修4-4 ‎ 选修4-5 ‎ 男生（人）‎ ‎10 ‎ ‎6 ‎ ‎4 ‎ 女生（人）‎ ‎2 ‎ ‎6 ‎ ‎14 ‎ ‎（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为，求得分布列及数学期望.‎ 附：.‎ ‎ ‎ ‎0.15 ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ ‎ ‎ ‎2.072 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ ‎ ‎ 2. 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围． ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋ksin θ)＝－2(k为实数)．‎ 判断曲线与直线l的位置关系，并说明理由；‎ 若曲线和直线l相交于A，B两点，且，求直线l的斜率． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A 【解析】‎ 解：∵复数===， ∴复数对应的点的坐标是（，） ∴复数在复平面内对应的点位于第一象限， 故选A． 先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限． 本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．‎ ‎2.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查统计中分层抽样问题.分层抽样要按照比例抽取即可.‎ ‎【解答】‎ 解：松树苗4000棵占林场树苗30000棵中的，共抽取150个样本，则抽取的样本中松树苗数量为.‎ 故选C.‎ ‎3.【答案】D 【解析】‎ 略 ‎4.【答案】C 【解析】‎ 略 ‎5.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．‎ ‎【解答】‎ 解：由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因＝16.8，所以y＝8.‎ 故选C.‎ ‎6.【答案】D 【解析】‎ 略 ‎7.【答案】B 【解析】‎ 略 ‎8.【答案】D 【解析】‎ 略 ‎9.【答案】A 【解析】‎ 略 ‎10.【答案】A 【解析】‎ 略 ‎11.【答案】B 【解析】‎ 略 ‎12.【答案】C 【解析】‎ 略 ‎13.【答案】480 【解析】‎ 解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1-10×（0.005+0.015）=0.8， 由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480人． 故答案为：480． 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求． 本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．属于基础题．‎ ‎14.【答案】72 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了排列的应用.首先考虑求甲乙两人不相邻的排法.可以联想到用插空法求解，先把除甲乙外的其他三人排好，将甲乙2人插入三人形成的四个空隙中，求出排法相乘即可.‎ ‎【解析】‎ 解：∵求甲乙2人不相邻的排法，可分2步，‎ 第一步，先把除甲乙2人外的其他3人排好，有种排法；‎ 第二步，将甲乙2人插入前3人形成的4个空隙中，有种；‎ ‎∴甲乙不相邻的排法共有.‎ 故答案为72.‎ ‎15.【答案】2 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了随机变量的分布列，以及随机变量的数学期望的应用.‎ ‎【解答】‎ 解：∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故答案为2.‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ ‎【分析】 ‎ 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题． ‎ ‎【解答】 ‎ 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种， 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种， 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为， ‎ 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是， 故答案为. ‎ ‎17.【答案】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC， 由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC ⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA， 又∵0＜A＜π⇒sinA≠0， ∴．…（6分） （2）由， 由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：． 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA⇒bc=b2+c2-a2=4-3=1．…（10分） ∴．…（12分） 【解析】‎ ‎ （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得cosA的值． （2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可得，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎18.【答案】（1）证明：∵AA1C1C为正方形，‎ ‎∴AA1⊥AC, ∵平面ABC⊥平面AA1C1C， 且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 又AA1C1C是边长为4的正方形，AB=3，BC=5． ∴AC=4，‎ ‎∵AC2+AB2=BC2，‎ ‎∴AC⊥AB， 又∵AA1∩AB=A， ∴AA1⊥平面ABC; （2）解：由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB, 由题知AB=3，BC=5，AC=4，‎ ‎∴AB⊥AC, 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，‎ ‎ 则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）, 设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z）， ∵=（0，3，-4），=（4，0，0）， ∴, 令z=3，则x=0，y=4，‎ ‎∴=（0，4，3）, 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为=（3，4，0）, ∴cos＜n，m＞==, ∵由题知二面角A1BC1B1为锐角， ∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力． （1）由正方形性质得AA1⊥AC，由面面垂直得AA1垂直于这两个平面的交线AC，由勾股定理得AC⊥AB，由此能证明AA1⊥平面ABC． ‎ ‎（2）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面A1BC1的法向量和平面B1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A1-BC1-B1的余弦值．‎ ‎19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得2×2列联表：‎ 几何类 非几何类 合计 男生（人）‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎20‎ 女生（人）‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计（人）‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ ‎， ∴根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关； （Ⅱ）∵根据分层抽样得，‎ 在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，‎ ‎∴依题意知X的可能取值为0，1，2， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P（X）‎ 所以.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查分层抽样，考查分布列及数学期望，考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个中档题． （Ⅰ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值 公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论； （Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．‎ ‎20.【答案】解：（1）直线AB的方程是，与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0， ∴， 由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9， ∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x． （2）由p=4，4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0， ∴x1=1，x2=4，由题意，A在第四象限，B在第一象限． 则，，从而A，B（4，4）． 设， 又[2（2λ-1）]2=8（4λ+1），‎ 解得λ=0，或λ=2．‎ ‎ 【解析】‎ 本题主要考查了抛物线的方程与简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力． （1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0，从而，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得； （2）由p=4，4x2-5px+p2=0求得A，B．再设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．‎ ‎21.【答案】解：(1)∵函数的定义域为x∈（0，+∞），‎ ‎∴,‎ ‎∵当a＞0时，对于 x∈（0，+∞）,e​x+ax＞0恒成立,‎ ‎∴若x＞1，＞0，‎ 若0＜x＜1，＜0,‎ ‎∴的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；‎ ‎(2)∵由条件可知 =0，在x∈（）上有三个不同的根,‎ ‎∴ex+ax=0在x∈（）上有两个不同的根，且a≠-e，‎ ‎∵令,‎ 当x∈（）时单调递增，x∈（1，2）时单调递减,‎ ‎∴的最大值为,‎ 而＞0,‎ ‎∴＜a＜-e.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值.‎ ‎(1)对函数求导后，再由当x＞1，＞0和当0＜x＜1，​＜0,以确定函数的单调区间;‎ ‎(2)函数f（x）在（，2）内有三个不同的极值点，结合单调性判断函数最值和0的关系，即可求实数a的取值范围.‎ ‎22.【答案】【小题1】‎ 解：∵由曲线C1的参数方程 ‎∴消参得其普通方程为：,‎ ‎∵由ρ(cos θ＋ksin θ)＝-2,‎ ‎∴可得直线的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0,‎ ‎∵圆心(－1,0)到直线的距离:，‎ ‎∴直线与圆相交或相切，‎ ‎∴当k＝0时，d＝1，直线与曲线C1相切；‎ 当k≠0时，d<1，直线与曲线C1相交．‎ ‎【小题2】‎ 解：∵由曲线C1的参数方程,‎ ‎∴消参得其普通方程为：,‎ ‎∵由ρ(cos θ＋ksin θ)＝-2,‎ ‎∴可得直线的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0,‎ ‎∵曲线C1和直线相交于A，B两点，且|AB|＝，‎ ‎∴圆心到直线l的距离,‎ ‎∴解得k＝±1，‎ ‎∴直线的斜率为±1.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了圆的参数方程，与直线的极坐标方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系，从而得到结果.‎ 本题考查了圆的参数方程，直线的极坐标方程，化为普通方程后，结合直线与圆相交的弦的性质，得到直线的斜率，从而得到结果.‎