湖南省邵阳市第六中学2020届高三综合质量检测数学（理）试卷 315页

湖南省邵阳市第六中学2020届 高三第二次综合质量检测数学（理）试卷 本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A．　　　　 B．　　　 　C．　　 　 D． ‎ ‎2．的展开式中的系数为 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知向量,，则的面积为 A．5 B．10 C．25 D．50‎ ‎4．平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 A． B． C． D． ‎ ‎5．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”‎ 经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得 A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 ‎ C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 ‎6．函数的图象不可能是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A．　　　 B．　　　　‎ C．　　　 D．‎ ‎9．每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I，II两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I，II两类渔船的台风遭损率分别为和．‎ ‎2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I类渔船中的进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是 A．2019年投保的渔船的台风遭损率为 B．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过 C．预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍 D．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量 ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．点在的渐近线上，，，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎11．若，函数（）的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．以为顶点的多面体中，，，，，，则该多面体的体积的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．在复平面中，复数对应的点分别为．设的共轭复数为，则_______． ‎ ‎14．已知点，，过的直线与抛物线相交于两点．若为中点，则_______． ‎ ‎15．中，角所对的边分别为，，．若点在边上，且，则的最大值是_______．‎ ‎16．若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_______．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 记为数列的前项和，且，． ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明：．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，四棱锥的底面为菱形，，．平面平面，，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 已知圆，直线与圆相切于点，直线垂直轴于点，且． ‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与相交于两点，若的面积是的面积的两倍，求直线的方程． ‎ ‎20．（12分）‎ ‎“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A,B两套测试方案，现各抽取名员工参加A,B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分分），得到如下频率分布表．‎ ‎ 成绩频率 方案A 方案B ‎（1）从预测试成绩在的员工中随机抽取人，记参加方案A的人数为，求的最有可能的取值；‎ ‎（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：‎ 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，，．‎ ‎（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？‎ ‎（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率为多少？‎ 参考公式与数据：（1），，．‎ ‎（2）线性回归方程中，，．‎ ‎（3）若随机变量，则，，．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎ （1）若在单调递增，求的值；‎ ‎ （2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域．‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）‎ 直角坐标系中，圆（为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设与两坐标轴分别相交于两点，点在上,求的面积的最大值．‎ ‎23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ ‎ 高中毕业班第二次质量检查 理科数学试题答案及评分参考 评分说明：‎ 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则．‎ 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解 答有较严重的错误，就不再给分．‎ 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C ‎7．B 8．B 9．D 10．B 11．D 12．C ‎2‎ ‎1．【解析】解法一：集合 A = {x -x + 1≥0} = (-¥,1] ， B = {x 2x2 - x -1≤0}= [- 1 ,1] ，‎ 则 A U B = (-¥,1] ．故选 A．‎ 解法二：如图，分别作出函数 y = -x + 1， y = 2x2 - x -1 的图象， 由图可知， A U B = ‎ (-¥,1] ．故选 A．‎ ‎7 7 7 7‎ ‎2．【解析】将(x - 2)7 展开，得C 0 x7 (-2)0 + C1 x6 (-2)1 + C 2 x5 (-2)2 + × × × + C 7 x0 (-2)7 ，‎ ‎5‎ ‎7 7‎ 则原展开式中含 x6 的项为(-1) × C1 x6 (-2)1 + x × C 2 x5 (-2)2 ，整理可知其系数为98 ．故选 B．‎ ‎5‎ 3. ‎【解析】因为 AB = ‎‎ ‎5，AC = 2‎ ‎‎ ‎，又因为 AB × AC = 0 ，所以ÐBAC = 90o ，‎ 所以 S ‎‎ DABC ‎‎ = 1 ´ ‎2‎ ‎‎ ‎5 ´ 2‎ ‎‎ = 5 ．故选 A．‎ 3. ‎【解析】由题意，角a 的终边过点 M (-3,4) ，求得 OM = ‎（- 3）2 + 42‎ 由三角函数的定义得cos a = - 3 ， sin a = 4 ，‎ ‎‎ = 5 ，‎ ‎5 5‎ 所以sin(p - 2a) = sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ´ 4 ´ (- 3) = - 24 ．故选 D．‎ ‎5 5 25‎ ‎3‎ 3. ‎【解析】设“宫”的频率为 a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是 a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”‎ ‎2‎ 的频率是 9 a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是 27 a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频 率是 81 a ‎64‎ ‎‎ ‎8‎ ‎，由于 a, 9‎ ‎8‎ ‎‎ a, 81‎ ‎64‎ ‎‎ ‎16‎ a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选 A．‎ 3. ‎【解析】因为 A、B 选项中，图像关于原点对称，所以 f ( x ) 为奇函数， f ( x ) + f (-x ) = 0 ，‎ x2 +1‎ 即ln（‎ ‎‎- kx）+ ln（‎ ‎‎ x2 +1 + kx）= 0 ， ln（x2 +1 - k 2 x2）= ln 1， (1- k 2 ) x2 =0 ，‎ 所以 k = ±1 ．当 k = 1 ， f ( x ) 的图像为选项 A；当 k = -1 ， f ( x ) 的图像为选项 B． 而 C、D 选项中，图像关于 y 轴对称，所以 f ( x ) 为偶函数， f ( x ) = f (-x ) ，‎ x2 +1‎ 即ln（‎ ‎‎- kx）=ln（‎ ‎‎ x2 +1 + kx）， kx=0 ，所以 k = 0 ．‎ 当 k = 0 ， f ( x ) ³ 0 ，故 f ( x ) 的图像为选项 D，故 f ( x ) 的图像不可能为 C．故选 C．‎ ‎7．【解析】因为 π < 2 < 3π ，所以 2 < sin 2 < 1 ，故0 < a < 1， b > 1， 0 < c < 1．‎ ‎2 4 2‎ æ 2 ö2 1 2 1‎ 又 a = (sin 2)2 > ç ÷ = ， c = log (sin 2) < log ( ) = ，所以b > a > c ．故选 B．‎ ‎1 1‎ è 2 ø 2‎ ‎‎ ‎2 2 2 2‎ 8. ‎【解析】解法一：由三视图可得该几何体为四棱锥 B - ACDE ，平面 ABC ^ 平面 ACDE ．‎ 设等边DABC 的外接圆圆心为O1 ，正方形 ACDE 的外接圆圆心为O2 ，过O1 作直线l1 垂直平面 ABC ，过O2 作直线l2 垂直平面 ACDE ，设l1 I l2 = O ，则O 为该几何体外接球的球心．‎ 取 AC 中点 M ，易得四边形OO1MO2 为矩形， OO1 = O2 M = 1 ，‎ r = O B = 2 ´ ‎3 ´ 2 = 2‎ ‎‎ ‎，设所求外接球的半径为 R ，在 RtDOO B ‎3‎ ‎1 2 3 3 1‎ 中， R2 = r 2 + OO2 = 7 ， S = 4pR2 = 28p ．故选 B．‎ ‎ ‎ ‎1 3 3‎ 解法二：由三视图可得该几何体为四棱锥 B - ACDE ，平面 ABC ^ 平面 ACDE ，该几何体可补形为棱长均为 2 的正三棱柱 ABC - EPD ，设等边 DABC 的外接圆圆心为O1 ，几何体外接球球心为O ，易得OO1 = 1 ，同解法一，可求得 S = 4pR2 = 28p ．故选 B．‎ ‎3‎ 8. ‎【解析】设全体投保的渔船为t 艘．‎ ‎2019 年投保的渔船的台风遭损率为60% ×15%+40% × 5%=11% ，故 A 错；‎ ‎60% ×15%‎ ‎2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为 ‎‎ ‎= 9 > 8 ， 故 ‎ ‎ B 错；‎ ‎60% ×15%+40% ×5% 11 10‎ 预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率 20% × 3%+80% ×15%=12.6%>2（× ‎‎ ‎5%），故 C 错；‎ 预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量t × 60% × 20% × 3% 少于 II 类渔船因台风遭损的数量t × 40% × 5% ．故选 D．‎ 8. ‎【解析】不妨设 P 是渐近线在第一象限上的点，‎ 因为 PF × PF ‎‎ = 0 ，所以ÐF PF ‎‎ = 90o ,‎ ‎‎ PO‎ = OF2‎ ‎‎ = c ．‎ ‎1 2 1 2‎ 又 P 在渐近线 y = b x 上，所以可得 P 点的坐标是(a, b)，所以 PN ^ F F a 1 2‎ 在直角三角形 PNM 中， ÐMPN = p，‎ ‎3‎ 所以 MN = ‎‎ ‎3 PN ‎‎ ‎，即 2a = ‎‎ ‎3b, b = 2 ．‎ a 3‎ b2‎ ‎1+ a2‎ 所以e = ‎‎ = = = ‎‎ ‎21‎ ‎．故选 B．‎ ‎3‎ ‎1+ 4‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎11．【解析】因为 f (x) = 5sin (wx +j) （其中sinj= 4，cosj= 3 ， 0 0 ， 0≤x≤ p ，所以j≤t≤ πw+j．‎ ‎3 3‎ 因为 g(j) = 4 ，且0 = = = = ,‎ ‎3 + 25 ´ ‎‎ ‎7 ´ 31 31‎ ‎4‎ 直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2‎ ‎‎ ‎4‎ ‎93‎ ‎................................................................................. 12 分 ‎31‎ 解法二：（1）取 AD 中点 N ，连接 NE, NF ， 1 分 Q N, F 分别是 AD, PD 的中点， NF // PA ，‎ 又 NF Ë 平面 PAB ， PA Ì 平面 PAB ， NF //平面 PAB ． 2 分 Q N , E 分别是 AD, BC 的中点， AN // BE 且 AN = BE ，‎ 四边形 ABEN 是平行四边形， NE // AB ，‎ 又 NE Ë 平面 PAB ， AB Ì 平面 PAB ， NE //平面 PAB ； 3 分 Q NE I NF = N, NE Ì 平面 NEF ， NF Ì 平面 NEF ，‎ 平面 NEF // 平面 PAB ， 4 分 又Q EF Ì 平面 NEF ， EF // 平面 PAB ． 5 分 ‎（2）取CD 中点O ，连接 PO ， BO ，‎ Q PC = PD ， PO ^ CD ,‎ Q平面 PCD ^ 平面 ABCD ，平面 PCD I 平面 ABCD = CD , PO Ì 平面 PCD ,‎ PO ^ 平面 ABCD 6 分 则ÐPBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即ÐPBO = 45° .‎ 在DBCO 中， BC = 2, CO = 1, ÐBCO = 120° ，‎ ‎7‎ ‎.‎ BO2 = 22 +12 - 2´1´ 2´cos120° = 7 ， BO = RtDPOB 中，‎ ‎7‎ PO = tan 45° = 1， PO = BO ‎‎ ‎...............................................................................................................7 分 连接 AC, BD ，设 AC I BD = G ，分别以GB ， GC ， OP 所在方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系G - xyz ，‎ 则 B(‎ ‎‎ ‎3,0,0) ， C(0,1,0) ， D(- ‎‎ ‎3,0,0) ，‎ ‎‎ P(- ‎3‎ ‎, 1 , 7 )‎ ‎2 2‎ ‎‎ ‎， E(‎ ‎2‎ ‎‎ ‎, 1 ,0),‎ ‎3‎ ‎2‎ CB = (‎ ‎‎ ‎3 ,-1,0) ， CP = (- ‎‎ ‎,- 1 ,‎ ‎3‎ ‎2 2‎ ‎‎ ‎7 ), DE = (‎ ‎2‎ ‎‎ ‎, 1 ,0) 8 分 ‎3 3‎ ‎2‎ 设平面 PBC 的一个法向量 n = (x, y, z) ，‎ ì uuur r ïCB × n = 0,‎ ‎‎ ì 3x - y = 0,‎ ï 由íuuur r 得í- ‎‎ ‎3 x - 1 y + ‎‎ ‎7 z = 0,‎ ïîCP × n = 0,‎ ‎‎ îï 2 2‎ 令 x = ‎‎ ‎7‎ ‎， n = ( 7 ,‎ ‎‎ ‎21,‎ ‎‎ ‎3) ， 10 分 设 DE 与平面 PBC 所成角为a，‎ ‎2 21‎ ‎ ‎ DE × n DE ´ n ‎7 + 21+ 3‎ ‎2 93‎ ‎3 21 + 21 + 0‎ ‎2 2‎ sina= cos < DE, n > = = = = ，‎ ‎27 + 1 ´ ‎‎ ‎7 ´ 31 31‎ ‎4‎ 直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2‎ ‎‎ ‎4‎ ‎93‎ ‎.............................................................................12 分 ‎31‎ 14. 本小题主要考查椭圆标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能 力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等 核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分 12 分．‎ 解法一：（1）设 P ( x, y ) ，则 PA 2 = ‎‎ PO 2 - 3 = x2 + y2 - 3 ， 2 分 PB 2 = x2 ， 3 分 由 PB ‎‎ = 2 PA 得， PB 2 = 4 PA 2 ，所以 x2 = 4(x2 + y2 - 3)， 4 分 ‎2‎ 化简得 x ‎‎ ‎2 2‎ y x + = 1． 故点 P 的轨迹 E 的方程为 ‎‎ ‎2‎ y + = 1（ x ¹ 0 ）．‎ ‎4 3 4 3‎ ‎（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分 ‎3‎ 设直线 PA : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．‎ m k 2 +1‎ 由直线 PA 与圆O 相切，可得 ì x2 + y2 = ‎ ‎ ‎‎ = ， m2 = 3(k 2 +1)． 6 分 ï 由í 4 3‎ ‎‎ ‎1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分 ïî y = kx + m,‎ ìx + x = ‎‎ -8km ,‎ ï 所以í ‎‎ ‎1 2 3 + 4k 2‎ ‎4m2 -12‎ ‎‎ ‎........................................................................................................................8 分 ï x x = .‎ îï 1 2‎ 由 S = 2S ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎2‎ è ø 得， 1 ´ 3 ´ PA = 2 æ 1 ´ 3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ， x = 2 x ．‎ ‎ ‎ ‎△POA ‎‎ ‎△QOA 2 ç ÷ 1 2‎ ‎4m2 -12 12k 2‎ ‎‎ x = 2x 因为 x1x2 = ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎‎ = 3 + 4k 2 > 0 ，所以 1 2 ． 10 分 æ -8km ö2‎ ( x + x )2‎ ‎‎ ç 3 + 4k 2 ÷ ‎‎ ‎16k 2m2‎ ‎‎ ‎16 (k 2 +1) 因为 1 2 = è ø = ‎‎ ‎2 2 = ，‎ x1x2‎ ‎‎ ‎4m2 -12‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎‎ (3 + 4k ‎‎ )(m ‎‎ - 3) ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ( x + x )2‎ ‎‎ (2x + x )2 9‎ ‎1 2 = x x ‎‎ ‎2 2 = ，‎ ‎2x 2 2‎ ‎1 2 2‎ ( ) ‎16 k 2 +1‎ 所以 ‎‎ = 9 ， k = ± ， m = ± ．‎ ‎5‎ ‎3 3‎ ‎3 + 4k 2 2 2 2‎ 故直线 PA 的方程为 y = ± ‎‎ ‎5 x + 3 3 或 y = ± ‎2 2‎ ‎‎ ‎5 x - 3 3 ． 12 分 ‎2 2‎ 解法二：（1）同解法一． 4 分 ‎（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分 ‎3‎ 设直线 PA : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．‎ m k 2 +1‎ 由直线 PA 与圆O 相切，可得 ‎‎ = ， m2 = 3(k 2 +1)． 6 分 ï ì x2 + y2 = 由í 4 3‎ ‎‎ ‎1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分 ïî y = kx + m,‎ ìx + x = ‎‎ -8km ,‎ ï 所以í ‎‎ ‎1 2 3 + 4k 2‎ ‎4m2 -12‎ ‎‎ ‎....................................................................................................................8 分 ï x x = .‎ îï 1 2‎ 由 S = 2S ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎2‎ 得， 1 ´ ‎‎ ‎3 ´ PA = 2 æ 1 ´ ‎‎ 3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ，‎ ‎△POA 又 PA = ‎‎ ‎△QOA ‎‎ ç ÷ ‎2‎ è ø OP 2 - 3‎ OQ 2 - 3‎ ‎， QA = ，‎ ‎1 1 2 2‎ 所以 4 OQ 2 - OP 2 = 9 ， 4 ( x2 + y2 ) - (x2 + y2 ) = 9 ，‎ ‎4 ( x2 + y2 ) - (x2 + y2 ) = 9 ， x ‎‎ = 2 x ．‎ ‎1 1 2 2 1‎ ‎4m2 -12 12k 2‎ ‎ ‎ ‎‎ ‎2‎ x = 2x 因为 x1x2 = ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎‎ = 3 + 4k 2 > 0 ，所以 1 2 ． 10 分 æ -8km ö2‎ ( x + x )2‎ ‎‎ ç 3 + 4k 2 ÷ ‎‎ ‎16k 2m2‎ ‎‎ ‎16 (k 2 +1) 因为 1 2 = è ø = ‎‎ ‎2 2 = ，‎ x1x2‎ ‎‎ ‎4m2 -12‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎‎ (3 + 4k ‎‎ )(m ‎‎ - 3) ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ( x + x )2‎ ‎‎ (2x + x )2 9‎ ‎1 2 = x x ‎‎ ‎2 2 = ，‎ ‎2x 2 2‎ ‎1 2 2‎ ( ) ‎16 k 2 +1‎ 所以 ‎‎ = 9 ， k = ± ， m = ± ．‎ ‎5‎ ‎3 3‎ ‎3 + 4k 2 2 2 2‎ 故直线 PA 的方程为 y = ± ‎‎ ‎5 x + 3 3 或 y = ± ‎2 2‎ ‎‎ ‎5 x - 3 3 ． 12 分 ‎2 2‎ 解法三：（1）同解法一． 4 分 ‎（2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足题意． 5 分 设直线 PA : y = kx + m ， A( x0 , y0 ) ， P ( x1 , y1 ),Q (x2 , y2 ) ．‎ ìx2 + y2 = 3,‎ î 由í y = kx + m,‎ ‎‎ 得(1+ k 2 ) x2 + 2kmx + (m2 - 3 ) = 0 ，‎ 由△ = 0 得， (2km)2 - 4 (1 + k 2 )(m2 - 3 ) = 0 ， m2 = 3(k 2 +1)……①． 6 分 且 x0‎ ‎‎ = -km 。‎ ‎1+ k 2‎ ï ì x2 + y2 = 由í 4 3‎ ‎‎ ‎1, 得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + (4m2 -12 )= 0 ， 7 分 ïî y = kx + m,‎ ìx + x = ‎‎ -8km ,‎ ï 所以í ‎‎ ‎1 2 3 + 4k 2‎ ‎4m2 -12‎ ‎‎ ‎……② 8 分 ï x x = .‎ îï 1 2‎ 由 S = 2S ‎‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎2‎ è ø 得， 1 ´ 3 ´ PA = 2 æ 1 ´ 3 ´ QA ö ， PA = 2 QA ，‎ ‎ ‎ ‎△POA ‎‎ ‎△QOA 2 ç ÷ 所以 x1 - x0 = 2 (x0 - x2 ) ，‎ x + 2x ‎‎ = 3x ‎‎ ‎， x + 2x ‎‎ -24km = ……③。 10 分 ‎1 2 0‎ ‎‎ ‎1 2 1+ k 2‎ 由①②③，解得 k = ± ‎‎ ‎5 ， m = ± 3 3 ．‎ ‎2‎ 故直线 PA 的方程为 y = ± ‎‎ ‎2‎ ‎5 x + 3 3 或 y = ± ‎2 2‎ ‎‎ ‎5 x - 3 3 ． 12 分 ‎2 2‎ 14. 本小题主要考查超几何分布、不等式、回归分析、正态分布等基础知识；考查抽象概括能力、数据处 理能力、运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想；考查数 学运算素养、数学建模素养、数据分析素养，体现基础性、综合性、创新性与应用性．‎ 解法一：（1）预测试成绩在[25, 35) U[85, 95] 的员工中，接受方案 A 测试的有100 ´(0.02 + 0.03) = 5 人； 接受方案 B 测试的有100 ´(0.16 + 0.04) = 20 人． 1 分 依题意，随机变量 X 服从超几何分布，记这6 人中接受方案 A 预测试的人数为k ，‎ Ck ×C 6-k C 则 P( X = k ) = 5 20 ，其中 k Î{0,1, 2, 3, 4, 5} ． 3 分 ‎25‎ C1 ×C5 > C 2 ×C 4 > C 0 ×C 6 > C3 ×C3 > C 4 ×C 2 > C5 ×C1 ，‎ ‎5 20 5 20 5 20 5 20 5 20 5 20‎ 得 P(x = k )max = P(x = 1) ，即 X = 1 的可能性最大，故 X 最有可能的取值为1． 4 分 ‎（2）（ⅰ）依题意， y = l× emx 两边取对数，得ln y = mx + ln l，即 z = mx + lnl． 5 分 其中 x = 63 ， 6 分 由提供的参考数据，可知m= 0.02 ，又-0.642 = 0.02 ´ 63 + ln l，故ln l» -1.9 ，‎ 由提供的参考数据，可得l» 0.15 7 分 故 yˆ = 0.15× e0.02 x ，当 x = 60 时， yˆ » 0.498 ． 8 分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知， m» x = 63 ，s » s » 20 ．‎ y ³ 0.78 ，即0.15 × e0.02 x ³ 0.78 ，可得0.02x ³ ln 5.2 ，即 x ³ 83 ． 9 分 又m+s = 83 ，且 P(m-s< X < m+s) = 0.6826 ， 11 分 由正态分布的性质，得 P(x ³ 83) = 1 [1- P(m-s< x < m+ s)] = 0.1587 ，‎ ‎2‎ 记“绩效等级优秀率不低于0.78 ”为事件 A ，则 P( A) = P(x ³ 83) = 0.1587 ，‎ 所以绩效等级优秀率不低于0.78 的概率等于0.1587 ． 12 分 解法二：（1）预测试成绩在[25, 35) U[85, 95] 的员工中，接受方案 A 测试的有100 ´(0.02 + 0.03) = 5 人； 接受方案 B 测试的有100 ´(0.16 + 0.04) = 20 人． 1 分 依题意，随机变量 X 服从超几何分布，记这6 人中接受方案 A 预测试的人数为k ，‎ Ck ×C 6-k C 则 P( X = k ) = 5 20 ，其中 k Î{0,1, 2, 3, 4, 5} ． 3 分 ‎25‎ ìCk ×C 6-k Ck -1 ×C 7-k ï 5 20 ³ 5 20 ,‎ ìP( X = k ) ³ P( X = k -1),‎ ‎‎ ï C 6‎ ‎‎ C 6 ìCk ×C 6-k ³ Ck -1 ×C 7-k ,‎ 由í 得í ‎‎ ‎25 25‎ ‎‎ 即í 5 20 5 20‎ îP( X = k ) ³ P( X = k +1),‎ ‎‎ Ck ×C 6-k Ck +1 ×C 5-k ‎‎ Ck ×C 6-k ³ Ck +1 ×C 5-k ,‎ ï 5 20 ³ 5 20 ,‎ ‎‎ î 5 20 5 20‎ ï C 6 C 6‎ î 25 25‎ ì 1 ³ 1 ,‎ ‎ ‎ ï k × (14 + k ) (6 - k ) × (7 - k )‎ ‎15 14‎ 即í 求得 £ k £ ，‎ ‎1 1 27 9‎ ï ï ³ ,‎ î(5 - k) × (6 - k) (k +1) × (15 + k)‎ 故 X 最有可能的取值为1． 4 分 ‎（2）同解法 1．‎ 14. 本小题主要考查函数的单调性与极值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合等思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分．‎ 解析：（1） f ¢(x) = (x - a) ln x ． 1 分 因为 f (x) 在(0, +¥) 单调递增，所以 f ¢(x) ³ 0 ，即(x - a) ln x ³ 0 ． 2 分 （i） 当 x > 1 时， ln x > 0 ，则需 x - a ³ 0 ，故 a £ xmin ，即 a £ 1 ； 3 分 （ii） 当 x = 1 时， ln x = 0 ，则 a Î R ； 4 分 （iii） 当0 < x < 1 时， ln x < 0 ，则需 x - a £ 0 ，故 a ³ xmax ，即 a ³ 1 ．‎ 综上述， a = 1 ． 5 分 ‎（2） g(x) = ‎‎ f (x) = 1‎ ‎ ‎ ‎‎ - a) ln x - 1 x + a ， g¢(x) = 1 ln x - a + 1 ， g ¢(x) =  ‎‎ ‎1 + a ．‎ ‎( x x 2 4‎ ‎‎ ‎2 x 4‎ ‎‎ ‎2x x2‎ 因为 1 < a < 3 e ，所以 g ¢(x) > 0 ，所以 g¢(x) 在(0, +¥) 单调递增． 6 分 ‎4 4‎ 又因为 g¢(1) = -a + 1 < 0 ， g¢(e) = - a + 3 > 0 ，‎ ‎4 e 4‎ 所以存在 x0 Î(1, e) ，使 g¢(x0 ) = 0 ， 7 分 且当 x Î(0, x0 ) 时， g¢(x) < 0 ，函数 g(x) 单调递减； 当 x Î(x0 , +¥) 时， g¢(x) > 0 ，函数 g(x) 单调递增．‎ 故 g(x) 最小值为 g(x ) = ( 1 x - a) ln x - 1 x ‎ ‎ ‎‎ + a = h(a) ． 8 分 ‎0 2 0 0 4 0‎ 由 g¢(x ) = 0 ，得 a = 1 x ln x + 1 x ‎ ‎ ‎‎ ‎，因此 h(a) = 3 - 1 x ‎ ‎ ‎‎ ln x ) ln x ‎‎ ‎． 9 分 ‎( x ‎0 2 0 0 4 0‎ ‎‎ ‎4 0 2‎ ‎‎ ‎0 0 0‎ 令t( x) = 1 x ln x + 1 x ， x Î(1, e) ，则t¢( x) = 1 ln x + 3 > 0 ，‎ ‎2 4 2 4‎ 所以t( x) 在区间(1, e) 上单调递增．‎ 又因为 1 < a < 3 e ，且t(1) = 1 ,t(e) = 3 e ，‎ ‎4 4 4 4‎ 所以1 < x0 < e ，即 x0 取遍(1, e) 的每一个值． 10 分 令j(x) = ( 3 x - 1 x ln x) ln x （1 < x < e ），‎ ‎4 2‎ 则j¢(x) = - 1 ln 2 x - 1 ln x + 3‎ ‎2 4 4‎ ‎‎ = - 1 (2 ln x + 3)(ln x -1) > 0 ，‎ ‎4‎ 故函数j(x) 在(1, e) 单调递增． 11 分 又j(1) = 0 ，j(e) = e ，所以0 < j( x) < e ，故函数 h(a) 的值域为æ 0, e ö ． 12 分 ‎4 4 ç 4 ÷ è ø ‎（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 14. 选修4 - 4 ：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，曲线的伸缩变换等基础知 识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合 性，满分 10 分．‎ ‎4‎ 解法一：（1）由r= 2 sinq- cosq得 2rsinq- rcosq= 4 ．‎ 把 x = rcosq, y = rsinq代入上式可得直线l 的直角坐标方程为 x - 2 y + 4 = 0 ． 2 分 C ìx = 2 cosq，( 为参数) î 因为圆 1 的参数方程为í y = 2 sinq q ‎． 3 分 ìx = x0 ,‎ 设(x , y )为圆C 上任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x, y)，则有ï ‎‎ ‎........ 4 分 ‎0 0 1‎ ‎‎ ‎2 í y = 1 y ,‎ 因为ìx0 = 2 cosq,(q为参数)，所以ìx = 2 cosq ，‎ ‎‎ îï 2 0‎ y î î 0‎ í = 2 sinq í2 y = 2 sinq ìx = 2 cosq,‎ î 曲线C2 的参数方程为í y = sinq (q为参数)．‎ 可得普通方程为 ‎‎ x2 + 2‎ y ‎4‎ ‎‎ = 1． 5 分 ‎42 + 22‎ ‎（2）不妨设 A(- 4,0), B(0,2)，所以 AB = ‎‎ = 2 ．‎ ‎5‎ 设Q(2 cosq, sinq)，令Q 点到直线l 的距离为 d ，‎ 则△QAB 的面积 S = 1 ´ AB ´ d ， 6 分 ‎2‎ ‎2 2 cosæq+ pö + 4‎ ‎2 cosq- 2 sinq+ 4‎ ‎ ‎ ‎5‎ ç 4 ÷ ‎5‎ d = = è ø 7 分 p 当且仅当cos(q+ ) = 1 ，即q= ‎4‎ ‎2 2 + 4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎‎ ‎7p 3 时， dmax = ‎‎ ‎2 2 + 4‎ ‎5‎ ‎， 8 分 所以 Smax = 2 ´ 2 5 ´ ‎‎ = 4 + 2‎ ‎， 9 分 ‎2‎ æ 2 ö ‎2‎ 所以DQAB 面积的最大值 4 + 2‎ ‎‎ ‎，相应Q 点的坐标为ç è ‎‎ ‎2，- ‎2‎ ‎‎ ÷ ． 10 分 ø ‎4‎ 解法二：（1）由r= 2 sinq- cosq得 2rsinq- rcosq= 4 ．‎ 把 x = rcosq, y = rsinq代入上式可得直线l 的直角坐标方程为 x - 2 y + 4 = 0 ． 2 分 把圆C : ìx = 2 cosa, （a为参数）化为普通方程为 x2 + y2 = 4 ． 3 分 î ‎1 í y = 2 sina 设(x0 , y0 )为圆C1 上任意一点，在已知的变换下变为C2 上的点(x, y)，‎ ìx = x ï 则有í y = 1 y ‎‎ ìx0‎ ‎，即í y ‎‎ = x = 2 y ． 4 分 ïî 2 0 î 0‎ ‎2 2 2 2‎ ‎‎ x2 2‎ 又 x0 + y0 = 4 ，所以 x ‎‎ + (2 y)‎ ‎‎ = 4 ，曲线C2 的普通方程为 4 + y ‎‎ = 1 ． 5 分 ‎（2）同解法一．‎ 14. 选修 4 - 5 ：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分 类与整合思想、数形结合思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 10 分．‎ 解法一：（1）当 m = 1时， f (x) = ‎‎ x + 2 + x - 3 + x ，‎ ì3x -1, x≥3,‎ ï 所以 f (x) = ‎‎ x + 2 + x - 3 + x = íx + 5, -2≤x < 3, 且 f (3) = 8 ， f (-2) = 3 ， 2 分 î ï-2x +1, x < -2,‎ 作出函数 f (x) 的图象，如图，‎ ‎...........................................................................................................................3 分 ‎7‎ 令-2x +1 = 8 ，解得 x = - ， 4 分 ‎2‎ 由图可知 f (x)≤8 的解集为[- 7 , 3] ． 5 分 ‎2‎ ‎（2）因为 x + 2 + x - 3 ≥ (x + 2) - (x - 3) = 5 ， 7 分 当且仅当(x + 2)(x - 3)≤0 即-2≤x≤3 时等号成立， 所以 f (x)≥mx + 5 ．‎ 又 x Î[-2, 3] 时， mx + 5≥ - 2m + 5≥3 ， 9 分 所以 f (x)≥3 ． 10 分 解法二：（1）同解法一； 5 分 ì(2 + m) x -1, x≥3,‎ ï ‎（2） f (x) = ‎‎ x + 2 + x - 3 + mx = ímx + 5, -2≤x < 3,‎ î ï(m - 2)x +1, x < -2,‎ ‎‎ ‎........................................................................7 分 当 x≥3 时， (m + 2)x -1≥3m + 5 ； 当-2≤x < 3 时， mx + 5≥ - 2m + 5 ；‎ 当 x < -2 时， (m - 2)x +1 > -2m + 5 ，‎ 由上，可得 f (x)≥ - 2m + 5 ， 9 分 又 m Î(0,1] ，所以-2m + 5≥ - 2 + 5 = 3 ，‎ 故 f (x)≥3 ． 10 分