2017-2018学年山东省济南外国语学校高二上学期10月月考数学试题（解析版) 16页

‎2017-2018学年山东省济南外国语学校高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）等差数列{an}中，a2=1，a5=6，则公差d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）已知等比数列的前三项分别是a﹣1，a+1，a+4，则数列的通项公式an为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，若a2=﹣1，a6=﹣5，则S7=（　　）‎ A．﹣21 B．﹣15 C．﹣12 D．﹣17‎ ‎4．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a3=8a6，则的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．5‎ ‎5．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（　　）‎ A．15 B．7 C．8 D．16‎ ‎6．（5分）数列{an}满足a1=，an+1=1﹣，则a2010等于（　　）‎ A． B．﹣1 C．2 D．3‎ ‎7．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an，则a10=（　　）‎ A．511 B．512 C．1023 D．1024‎ ‎8．（5分）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若=，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（　　）‎ A．66 B．55 C．44 D．33‎ ‎10．（5分）设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=（　　）‎ A．6 B．7 C．10 D．9‎ ‎11．（5分）等比数列{an}中，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2=（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．‎ ‎12．（5分）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1，则a6=（　　）‎ A．31 B．32 C．33 D．34‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）计算3+5+7+…+（2n+3）=　 　．‎ ‎14．（5分）在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值=　 　．‎ ‎15．（5分）数列，的前n项之和等于　 　．‎ ‎16．（5分）数列{an}的前n项和Sn=n（2n﹣1）an，并且a1=，则此数列的通项公式an=　 　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知等差数列{an}中，且a3=﹣1，a6=﹣7．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}前n项和Sn=﹣21，求n的值．‎ ‎18．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=，S3=．‎ ‎（1）若a3，m，S3成等比数列，求m值；‎ ‎（2）求a1的值．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和，求其通项公式an．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{1}的前n项和Sn；‎ ‎（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列（要指出首项、公比）；‎ ‎（2）若cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n﹣an，（n=1，2，3，…）‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{an﹣1}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）令bn=（2﹣n）（an﹣1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N*，都有，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省济南外国语学校高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）等差数列{an}中，a2=1，a5=6，则公差d等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式，直接求出公差d的值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a2=1，a5=6，‎ 则公差d=（a5﹣a2）=×（6﹣1）=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知等比数列的前三项分别是a﹣1，a+1，a+4，则数列的通项公式an为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由等比数列中项的性质，解方程可得a的值，即可得到数列的首项和公比，即可得到所求通项公式．‎ ‎【解答】解：等比数列的前三项分别是a﹣1，a+1，a+4，‎ 可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），‎ 解得a=5，‎ 可得等比数列的首项为4，公比为，‎ 即有数列的通项公式为an=4×（）n﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质和通项公式的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，若a2=﹣1，a6=﹣5，则S7=（　　）‎ A．﹣21 B．﹣15 C．﹣12 D．﹣17‎ ‎【分析】由等差数列通项公式及前n项和公式得S7==，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，若a2=﹣1，a6=﹣5，‎ ‎∴S7====﹣21．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等差数列前7项和的求法，是基础题，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a3=8a6，则的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．5‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：a3=8a6，∴a3=8，解得q=．　‎ 则==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（　　）‎ A．15 B．7 C．8 D．16‎ ‎【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，‎ ‎∴4a1+a3=2×2a2，‎ 即4+q2﹣4q=0，‎ 即q2﹣4q+4=0，‎ ‎（q﹣2）2=0，‎ 解得q=2，‎ ‎∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，‎ ‎∴S4=1+2+4+8=15．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）数列{an}满足a1=，an+1=1﹣，则a2010等于（　　）‎ A． B．﹣1 C．2 D．3‎ ‎【分析】根据数列的递推关系，得到数列是周期数列，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵an+1=1﹣，‎ ‎∴a2=1﹣=1﹣2=﹣1，‎ a3=1﹣=1+1=2．‎ a4=1﹣=，‎ 则数列{an}是周期为3的周期数列，‎ ‎∵2010=3×670，‎ ‎∴a2010=a3=2，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查数列项的计算，根据递推数列得到数列是周期数列是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an，则a10=（　　）‎ A．511 B．512 C．1023 D．1024‎ ‎【分析】根据等比数列通项公式，以及数列的递推公式即可求出 ‎【解答】解：∵Sn+1=Sn+2an，‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=2an，‎ 即an+1=2an，‎ ‎∵a1=1，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴an=2n﹣1，‎ ‎∴a10=29﹣1=512，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了等比数列通项公式，以及数列的递推公式，属于基础题 ‎　‎ ‎8．（5分）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若=，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得：=，即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：====．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（　　）‎ A．66 B．55 C．44 D．33‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．‎ 则S11==11×3=33．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=（　　）‎ A．6 B．7 C．10 D．9‎ ‎【分析】由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，‎ ‎∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，‎ 又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，‎ ‎∴当Sn最大时，n=7‎ 故选：B ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值，得出数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）等比数列{an}中，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2=（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．‎ ‎【分析】首先根据a1+a2+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，两式相减即可求出数列{an}的关系式，然后求出数列{an2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2+…+an=2n﹣1…①‎ ‎∴a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，…②，‎ ‎①﹣②得an=2n﹣1，‎ ‎∴an2=22n﹣2，‎ ‎∴数列{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎∴=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{an}的通项公式，本题难度一般．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1，则a6=（　　）‎ A．31 B．32 C．33 D．34‎ ‎【分析】根据题意，将an+1=2an﹣1变形可得an+1﹣1=2（an﹣1），由等比数列的定义分析可得{an﹣1}为首项为a1﹣1=1，公比为2的等比数列，即可得数列{an﹣1}通项公式，变形可得an=2n﹣1+1，将n=6代入计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}满足an+1=2an﹣1，‎ 则an+1﹣1=2（an﹣1），‎ 则数列{an﹣1}为首项为a1﹣1=1，公比为2的等比数列，‎ 则an﹣1=1×2n﹣1=2n﹣1，则an=2n﹣1+1，‎ 则a6=25+1=33；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式，关键分析求出数列{an﹣1}通项公式．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）计算3+5+7+…+（2n+3）=　n2+4n+3　．‎ ‎【分析】直接利用求和公式求解即可．‎ ‎【解答】解：3+5+7+…+（2n+3）==n2+4n+3．‎ 故答案为：n2+4n+3．‎ ‎【点评】本题考查等差数列求和，注意数列的项数，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值=　9　．‎ ‎【分析】设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，求得 a1 和d的值，再由a17+a18+a19+a20=4a1+70d，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，可得 4a1+6d=1，8a1+28d=4．‎ 解得 a1=，d=，‎ ‎∴则a17+a18+a19+a20=4a1+70d=9，‎ 故答案为 9．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，等差数列的通项公式，求得 a1=，d=，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）数列，的前n项之和等于　　．‎ ‎【分析】由数列，得到an=n+2n，所以其前n项和，利用分组求和法，得到Sn=（1+2+3+4+…+n）+（），再由等差数列和等比数列的前n项和公式能够得到结果．‎ ‎【解答】解：数列，的前n项之和 ‎=（1+2+3+4+…+n）+（）‎ ‎=+‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答．关键步骤是找到an=n+2n，利用分组求法进行求解．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）数列{an}的前n项和Sn=n（2n﹣1）an，并且a1=，则此数列的通项公式an=　　．‎ ‎【分析】Sn=n（2n﹣1）an，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：=．利用an=××…×即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Sn=n（2n﹣1）an，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（2n﹣1）an﹣（n﹣1）（2n﹣3）an﹣1，‎ 化为：（2n+1）an=（2n﹣3）an﹣1，即=．‎ ‎∴an=××…×‎ ‎=×…×‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知等差数列{an}中，且a3=﹣1，a6=﹣7．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}前n项和Sn=﹣21，求n的值．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设{an}的公差为d，‎ ‎∴a1+2d=﹣1，a1+5d=﹣7，‎ a1=3，d=﹣2．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．‎ ‎（II）由（I）知．‎ 由Sn=﹣21可得﹣n2+4n=﹣21，即n2﹣4n﹣21=0，解得n=7或n=﹣3，又n∈N*，故n=7．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=，S3=．‎ ‎（1）若a3，m，S3成等比数列，求m值；‎ ‎（2）求a1的值．‎ ‎【分析】（1）由a3，m，S3成等比数列可得m2=a3•S3，代入可得m值；‎ ‎（2）将已知条件，转化为a1，q来表示，解方程组可得到a1的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵a3，m，S3成等比数列，∴m2=a3•S3，‎ 又∵，，∴．‎ ‎∴；‎ ‎（2）设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎①当q=1时，，此时，满足题意； ‎ ‎②当q≠1时，依题意得，‎ 解得，综上可得或a1=6．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式及等比数列的前n项公式，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和，求其通项公式an．‎ ‎【分析】n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1．即可得出．‎ ‎【解答】解：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣2n+3﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+3]=2n﹣3．‎ n=1时，a1=S1=2．‎ ‎∴an=．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{1}的前n项和Sn；‎ ‎（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）将代入，是等差数列，由此求得；‎ ‎（2）化简，利用裂项求和法求得前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）由an=，得，∴，‎ ‎∴是首项为3，公差为6的等差数列．‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn﹣1+bn=．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了裂项求和法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列（要指出首项、公比）；‎ ‎（2）若cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）由已知数列递推式可得Sn=4an﹣1+2（n≥2），与原递推式作差可得an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）（n≥2），即bn=2bn﹣1（n≥2），再求出b1=3≠0，可得数列{bn}是等比数列，首项为3，公比为2；‎ ‎（2）由（1）知，，代入cn=nbn，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】（1）证明：由Sn+1=4an+2，得Sn=4an﹣1+2（n≥2），‎ 两式作差可得：an+1=4an﹣4an﹣1，‎ 即an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）（n≥2），‎ ‎∵bn=an+1﹣2an，‎ ‎∴bn=2bn﹣1（n≥2），‎ ‎∵a1=1，Sn+1=4an+2，‎ ‎∴a1+a2=4a1+2，解得a2=5．‎ ‎∴a2﹣2a1=3．‎ 即b1=3≠0，‎ ‎∴数列{bn}是等比数列，首项为3，公比为2；‎ ‎（2）解：由（1）知，，‎ ‎∴cn=nbn=3n•2n﹣1，‎ 则+…+3（n﹣1）•2n﹣2+3n•2n﹣1．‎ ‎∴+…+3•（n﹣1）•2n﹣1+3n•2n．‎ 两式作差得：=．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n﹣an，（n=1，2，3，…）‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{an﹣1}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）令bn=（2﹣n）（an﹣1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N*，都有，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（I）利用条件a1+a2+a3+…+an=n﹣an，n=1，2，3可求；‎ ‎（Ⅱ）再写一式a1+a2+a3++an+an+1=n+1﹣an+1与已知条件相减可得2an+1﹣an=1，即2an+1=an+1，从而有，所以可证数列{an﹣1}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）由（II）可得，进而可得数列{bn}的通项．考查其单调性，从而求得最大值，故可求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）..（3分）‎ ‎（II）由题可知：a1+a2+a3++an﹣1+an=n﹣an①a1+a2+a3++an+an+1=n+1﹣an+1②‎ ‎②﹣①可得2an+1﹣an=1..（5分）‎ 即：，又..（7分）‎ 所以数列{an﹣1}是以为首项，以为公比的等比数列（8分）‎ ‎（Ⅲ）由（II）可得，（9分）‎ ‎（10分）‎ 由可得n＜3‎ 由bn+1﹣bn＜0可得n＞3（11分）‎ 所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞bn＞‎ 故{bn}有最大值 所以，对任意n∈N*，有（12分）‎ 如果对任意n∈N*，都有，即成立，‎ 则，故有：，（13分）‎ 解得或 所以，实数t的取值范围是（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查递推关系式的运用，考查利用构造法证明数列是等比数列，在（Ⅲ）中，要通过研究数列{bn}的通项，考查其单调性，从而利用最值法解决恒成立问题，这也是一种常用方法．‎ ‎　‎