2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十利用空间向量求线线角与线面角理北师大版 3页

核心素养测评五十 利用空间向量求线线角与线面角 ‎1.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小.‎ ‎【解析】如图所示,‎ 以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),=(0,0,1).‎ 设=(m,m,1)(m>0),由已知,<,>=60°,‎ 由·=||·||·cos<,>,‎ 可得2m=,解得m=,‎ 所以=,,1,‎ 因为cos<,>==,又因为0°<<,><180°,所以<,>=45°,‎ 即DH与CC′所成的角为45°.‎ ‎2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.‎ ‎(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1,并且交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.‎ ‎(2)若侧面ACC1A1⊥ABB1A1,求直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值.‎ - 3 -‎ ‎【解析】(1)‎ 如图,在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N,连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求直线.‎ ‎(2)连接PC1,AC1,‎ 因为AA1=AC=A1C1=4,∠C1A1A=60°,‎ 所以△AC1A1为正三角形.‎ 因为P为AA1的中点,所以PC1⊥AA1,‎ 又因为侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,且面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1,‎ PC1平面ACC1A1,所以PC1⊥平面ABB1A1,‎ 在平面ABB1A1内过点P作PR⊥AA1交BB1于点R,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,2),C1(0,0,2).‎ 因为Q为AC的中点,所以点Q的坐标为,‎ 所以=(0,-2,2),=(0,-3,).‎ 因为A1B1=AB=2,∠B1A1A=60°,‎ 所以B1(,1,0),所以=(,1,0),‎ - 3 -‎ 设平面PQB1的法向量为m=(x,y,z),‎ 由得,‎ 令x=1,得y=-,z=-3,所以平面PQB1的一个法向量为m=(1,-,-3).‎ 设直线A1C1与平面PQB1的夹角为α,‎ 则sin α===,‎ 即直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值为.‎ - 3 -‎