- 256.00 KB
- 2021-07-02 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016-2017学年江苏省连云港市灌南华侨高中高二(上)期中数学试卷
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.
1.命题:“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 .
2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=7,则{an}的前5项和S5= .
3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,3,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为 .
4.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为2,M是线段PF1的中点,O为原点,则|OM|等于 .
5.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 .
6.若a<0,则不等式(x﹣1)(ax﹣4)<0的解集是 .
7.在等比数列{an}中,若a7•a9=4,a4=1,则a12的值是 .
8.“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
9.下列说法中,正确说法的序号是 .
①若x≠0,则x+≥2;②若xy>0,则+≥2;
③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2;④若x+y=0,则2x+2y≥2.
10.等差数列{an}中,已知a3=3,a5=6,且a3,a5,am成等比数列,则m= .
11.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),则不等式cx2﹣bx+a<0的解集是 .
12.在等差数列{an}中,<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的最大正整数n的值为 .
13.若关于x不等式|3x+t|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则t的取值范围 .
14.已知a,b∈R,且a2+ab+b2=6,设a2﹣ab+b2的最大值和最小值分别为M,m,则M﹣m的值为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a=6,e=;
(2)焦点在y轴上,c=3,e=.
16.已知命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.
17.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a3=17,a1a3=16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=logan+11,Tn为数列{bn}前n项的绝对值之和,求Tn.
18.为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米气体费用1千元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元.
(1)求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;
(2)求博物馆支付总费用的最小值;
(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状,高规定为2米,当博物馆需支付的总费用不超过9.5千元时,求保护罩底面积的最大值.
19.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足a1=23,a2=﹣9,an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求当Sn最大时n的值.
20.已知关于x的函数f(x)=x2+bx+b+a.a,b为实数.
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),且不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求实数c值;
(2)若任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,求a的取值范围;
(3)当b=1时,解不等式f(x)<a(x2+1)
2016-2017学年江苏省连云港市灌南华侨高中高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.
1.命题:“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 若ab≠0,则a≠0 .
【考点】四种命题.
【分析】根据命题的逆否命题 书写即可
【解答】解:∵:“若a=0,则ab=0”
∴逆否命题:若ab≠0,则a≠0
故答案为:若ab≠0,则a≠0
2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=7,则{an}的前5项和S5= 20 .
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列{an}的性质可得:a1+a5=a2+a4,再利用求和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列{an}的性质可得:a1+a5=a2+a4,
∴S5===20.
故答案为:20.
3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,3,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为 .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】古典概型,可用列举法列举出所有可能,然后找出数字之和为5的或者去掉数字之和不是5的事件.
【解答】解:一共投掷可能性有6×6=36种.和为5的必须一次为2,一次为3,共有2=12种,则概率P==.
故答案为:.
4.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为2,M是线段PF1的中点,O为原点,则|OM|等于 4 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,利用椭圆定义求得|PF2|,再由三角形中位线定理得答案.
【解答】解:如图,由椭圆+=1,得a=5,则2a=10,
∵|PF1|=2,∴|PF2|=8,
又M是线段PF1的中点,
∴|OM|=.
故答案为:4.
5.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 7 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移,可得当x=1且y=2时,z取得最大值.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的三角形及其内部,由
可得A(1,2),z=x+3y,将直线进行平移,
当l经过点A时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=1+2×3=7.
故答案为:7
6.若a<0,则不等式(x﹣1)(ax﹣4)<0的解集是 .
【考点】其他不等式的解法.
【分析】将(x﹣1)(ax﹣4)<0的最高次项的系数变成正数,得(x﹣1)(﹣ax+4)>0,求不等式的解集即可.
【解答】解:由于a<0,可将(x﹣1)(ax﹣4)<0的最高次项的系数变成正数,
得(x﹣1)(﹣ax+4)>0,
故答案为:.
7.在等比数列{an}中,若a7•a9=4,a4=1,则a12的值是 4 .
【考点】等比数列的性质.
【分析】在等比数列中,若m+n=p+q,m,n,p,q∈Z+,则aman=apaq.本题中7+9=4+12,所以a7•a9=a4•a12,由此可求出a12的值.
【解答】解:∵a7•a9=4,a4=1,a7•a9=a4•a12,
∴a12=4.
故答案:4.
8.“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 a<1 .
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【解答】解:若“x>1”是“x>a”的充分不必要条件,
则a<1,
故答案为:a<1.
9.下列说法中,正确说法的序号是 ②④ .
①若x≠0,则x+≥2;②若xy>0,则+≥2;
③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2;④若x+y=0,则2x+2y≥2.
【考点】基本不等式.
【分析】根据基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:①若x≠0,当x>0时,则x+≥2;当x<0,则x+≤﹣2.①不对;
②若xy>0,x,y是同号,则+≥2成立.②对;
③若θ为锐角,则sinθ+最小值为2,当且仅当sinθ=1时取等号,此时θ=.与题设不符.③不对;
④若x+y=0,则2x+2y≥2=2.当且仅当x=y=0时取等号.④对;
故答案为:②④.
10.等差数列{an}中,已知a3=3,a5=6,且a3,a5,am成等比数列,则m= 9 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列的通项公式可得an,再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3=3,a5=6,∴a1+2d=3,a1+4d=6,联立解得a1=0,d=.
∵a3,a5,am成等比数列,∴62=3am,解得am=12.
∴=12,解得m=9.
故答案为:9.
11.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),则不等式cx2﹣bx+a<0的解集是 (﹣∞,﹣1)∪(,+∞) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】由已知可得函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口朝下,且有两个零点﹣2和1,由韦达定理,可得a,b,c之间的关系,进而可将不等式cx2﹣bx+a<0化为:2x2+x﹣1>0,解得答案.
【解答】解:若不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣2,1),
则函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口朝下,且有两个零点﹣2和1,
故=﹣1, =﹣2,即b=a,c=﹣2a
故不等式cx2﹣bx+a<0可化为:﹣2ax2﹣ax+a<0,
即2x2+x﹣1>0,
解得:x∈(﹣∞,﹣1)∪(,+∞),
故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)
12.在等差数列{an}中,<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的最大正整数n的值为 2018 .
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,可得等差数列{an}是单调递减数列,d<0,a1010<0,a1009>0,a1010+a1009>0,再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出.
【解答】解:∵<﹣1,若它的前n项和Sn有最大值,
∴等差数列{an}是单调递减数列,d<0,a1010<0,a1009>0,a1010+a1009>0,
∴S2018==1009(a1010+a1009)>0,
S2019==2019a1010<0,
∴使Sn>0的最大正整数n的值为2018.
故答案为:2018.
13.若关于x不等式|3x+t|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则t的取值范围 (﹣7,﹣5) .
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】首先分析题目已知不等式|3x﹣b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,求t的取值范围,考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|<4含有参数t的解,使得解中只有整数1,2,3,即限定左边大于或等于0小于1,右边大于3小于或等于4.即可得到答案.
【解答】解:∵|3x+t|<4,等价于﹣4<3x+t<4,
等价于﹣4﹣t<3x<4﹣t,即<x<.
∵解集中的整数有且仅有1,2,3,则,求得﹣7<t<﹣5,
故答案为:(﹣7,﹣5).
14.已知a,b∈R,且a2+ab+b2=6,设a2﹣ab+b2的最大值和最小值分别为M,m,则M﹣m的值为 8 .
【考点】基本不等式.
【分析】令t=a2﹣ab+b2,由a2+ab+b2=3可得a2+b2=3﹣ab,结合基本不等式的性质,进而可得ab﹣3≤2ab≤3﹣ab,解可得ab的范围,又由a2+b2=3﹣ab,则t可变形为3﹣2ab,由ab的范围,可得M、m的值,代入可得答案.
【解答】解:令t=a2﹣ab+b2,
由a2+ab+b2=3,可得a2+b2=3﹣ab,
由基本不等式的性质,﹣(a2+b2)≤2ab≤a2+b2,
进而可得:ab﹣3≤2ab≤3﹣ab,
解可得,﹣3≤ab≤1,
t=a2﹣ab+b2=3﹣ab﹣ab=3﹣2ab,
故:1≤t≤9,
则M=9,m=1,
M﹣m=8,
故答案为:8.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a=6,e=;
(2)焦点在y轴上,c=3,e=.
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】(1)由离心率公式,求得c,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程;
(2)由离心率公式,求得a,再由a,b,c的关系,求得b,即可得到椭圆方程.
【解答】解:(1)a=6,e=,即,解得c=2,b2=a2﹣c2=32,
则椭圆的标准方程为: =1;
(2)c=3,e=,即,解得,a=5,b2=a2﹣c2=25﹣9=16.
则椭圆的标准方程为: =1.
16.已知命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R;命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,若p或q为真命题,p且q为假命题.求实数a的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;函数恒成立问题.
【分析】若p或q为真命题,p且q为假命题,则命题p命题q一真一假,进而可得实数a的取值范围.
【解答】(本小题分14分)
解:命题p:关于x的函数y=loga(x2﹣2ax+7a﹣6)的定义域为R,
则x2﹣2ax+7a﹣6>0恒成立,
则△=4a2﹣4(7a﹣6)<0,
解得:a∈(1,6)…
命题q:存在x∈R,使得关于x的不等式x2﹣ax+4<0成立,
则△=a2﹣16>0,
解得:a∈(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)…
∵p或q为真命题,p且q为假命题;
∴命题p命题q一真一假;…
当p真q假时,a∈(1,4],…
当p假q真时,a∈(﹣∞,﹣4)∪[6,+∞)…(…
∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣4)∪(1,4]∪[6,+∞)…
17.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a3=17,a1a3=16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=logan+11,Tn为数列{bn}前n项的绝对值之和,求Tn.
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【分析】(1)根据等比数列的定义即可求出,
(2)先化简bn,当1≤n≤6时,bn>0;当n≥7时,bn<0.分类计算即可.
【解答】解:(1)由a1+a3=17,a1a3=16,解得a1=1,a3=16,或a1=16,a3=1,
∵数列{an}是递增的等比数列,
∴a1=1,a3=16,
∴q2==16,解得q=4
∴an=4n﹣1,
(2)bn=logan+11=13﹣2n,
由bn=13﹣2n≥0,得n≤,
∴当1≤n≤6时,bn>0;当n≥7时,bn<0.
当1≤n≤6时,Tn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+bn=12n﹣n2,
当n≥7时,Tn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+b6﹣(b7+b8+b9+…+bn)=2S6﹣Sn=n2﹣12n+72,
综上可知:Tn=
18.为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米气体费用1千元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元.
(1)求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;
(2)求博物馆支付总费用的最小值;
(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状,高规定为2米,当博物馆需支付的总费用不超过9.5千元时,求保护罩底面积的最大值.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)由需要支付的总费用由两部分组成,当容积为2立方米时,支付的保险费用为8千元,可求比例系数,从而可求支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式;
(2)由(1)得:y=1000V+﹣500利用基本不等式可求出当且仅当1000V=,博物馆支付总费用的最小值;
(3)由题意得不等式:1000V+﹣500≤9500,V=2S,代入整理得:S2﹣5S+4≤0,即可求保护罩底面积的最大值.
【解答】解:(1)依据题意,当保护罩体积等于V时,保险费用为(其中k为比例系数,k>0)
且当V=2时, =8000,∴k=16000,…
∴y=1000(V﹣0.5)+=1000V+﹣500(V>0.5).(单位:元)…
(2)y=1000V+﹣500≥7500
当且仅当1000V=,即V=4立方米时不等式取得等号.
所以,博物馆支付总费用的最小值为750元.
(3)由题意得不等式:1000V+﹣500≤9500,V=2S,
代入整理得:S2﹣5S+4≤0,解得1≤S≤4. …
所以面正方形的面积最大可取4平方米. …
19.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足a1=23,a2=﹣9,an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求当Sn最大时n的值.
【考点】数列的求和.
【分析】(1)由题意可知:当n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=4,数列{an}中的奇项构成首项为23,公等于4的等差数列;当n=2k时,a2k+2﹣a2k=﹣8,偶数项构成首项为﹣9,公差等于﹣8的等差数列,根据等差数列通项公式,即可求得数列{an}的通项公式;
(2)由(1)可知:a2k﹣1+a2k=﹣4k+18,因此数列{a2k﹣1+a2k}是以14为首项,以﹣4为公差的等差数列,S2k==﹣2k2+16k=﹣2(k﹣4)2+32,
当k=4时,S8取得最大值32,即S8取得最大值32,S2k﹣1=S2k﹣a2k=﹣2k2+24k+1=﹣2(k﹣6)2+73,则k=6时,S11取得最大值73,因此当Sn最大时,n的值为11.
【解答】解:(1)由an+2=an+6×(﹣1)n+1﹣2.n∈N*,
当n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=4,
当n=2k时,a2k+2﹣a2k=﹣8…
数列{an}中的奇项构成首项为23,公等于4的等差数列;
偶数项构成首项为﹣9,公差等于﹣8的等差数列.
a2k﹣1=23+(k﹣1)×4=4k+19,
当n为奇数时an=2n+21…
a2k=﹣9+(k﹣1)×(﹣8)=﹣8k﹣1,
当n为偶数时,an=﹣4n﹣1,…
∴an=;…
(2)由(1)知:a2k﹣1+a2k=﹣4k+18,
当k=1时,a1+a2=14,
∴{a2k﹣1+a2k}是以14为首项,以﹣4为公差的等差数列,
S2k==﹣2k2+16k=﹣2(k﹣4)2+32,
当k=4时,S8取得最大值32.…
S2k﹣1=S2k﹣a2k=﹣2k2+24k+1=﹣2(k﹣6)2+73,
当k=6时,S11取得最大值73,…
∴当Sn最大时,n的值为11.…
20.已知关于x的函数f(x)=x2+bx+b+a.a,b为实数.
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),且不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求实数c值;
(2)若任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,求a的取值范围;
(3)当b=1时,解不等式f(x)<a(x2+1)
【考点】函数的值域.
【分析】(1)根据二次函数的值域为[0,+∞),可得△=0,不等式f(x)<c的解集为(t,t+2),求解c是值.
(2)任意b∈R,总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,即△>0,分离参数,转化为二次函数问题求解.
(3)当b=1时,化简f(x),解不等式f(x)<a(x2+1),对a进行讨论可得答案.
【解答】解:(1)由题意:函数f(x)的值域为[0,+∞),可得△=0,即a+b=,那么a=﹣b.
∴f(x)=x2+bx+=(x+)2
∵f(x)<c,即,
解得:﹣c﹣<x<c﹣
又∵解集为(t,t+2),
可得:,
∴c=1.
(2)总存在x1∈r,使得f(x1)<0成立,
∴△>0,即b2﹣4(a+b)>0任意b∈R都成立,
∴a<恒成立,
故得:a<﹣1.
(3)当b=1时,函数f(x)=x2+x+1+a
解不等式f(x)<a(x2+1)可化为:x2+x+1+a<a(x2+1),
整理可得:(a﹣1)x2﹣x﹣1>0.
,若a=1,则x<﹣1,不等式解集为(﹣∞,﹣1);
若a≠1,则△=4a﹣3,
当△=4a﹣3≤0,即时,不等式解集为:∅;
当△=4a﹣3>0,且a<1,即时,不等式解集为(,);
当△=4a﹣3>0,且a>1,即a>1时,不等式解集为(﹣∞,)∪(,+∞);
综上可知:当时,解集为∅;
当时,不等式解集为(,);
当a=1时,不等式解集为(﹣∞,﹣1);
当a>1时,不等式解集为(﹣∞,)∪(,+∞);