数学卷·2018届福建师大附中高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版） 24页

福建师大附中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（　　）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎3．方程（t为参数）表示的曲线是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 ‎4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎6．下列命题：其中正确命题的个数是（　　）‎ ‎（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题；‎ ‎（2）“全等三角形面积相等”的否命题；‎ ‎（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎（4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.‎ ‎13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是　　．‎ ‎14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=　　．‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　　．‎ ‎17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19．（12分）已知命题p：方程 ‎=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎21．（14分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足=2，点P的轨迹为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）求C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ） 设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（12分）已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（　　）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：抛物线方程化为，‎ ‎∴，‎ ‎∴焦点到准线距离为，‎ ‎∴，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．‎ ‎【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=±x 所以焦点到其渐近线的距离d==2．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．方程（t为参数）表示的曲线是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】方程（t为参数），消去参数，即可得出表示的曲线．‎ ‎【解答】解：（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，‎ ‎∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0），‎ ‎∴方程（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣‎ ‎=1的（　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．‎ ‎【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，‎ 双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，‎ 故它们的离心率相同．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数x，y满足xy2=4，∴x=．‎ 则x+2y=+2y=+y+y=，当且仅当y=，x=2时取等号．‎ ‎∴x+2y的最小值是，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．下列命题：其中正确命题的个数是（　　）‎ ‎（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题；‎ ‎（2）“全等三角形面积相等”的否命题；‎ ‎（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎（4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）原命题的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；‎ ‎（2）原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；‎ ‎（3）由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；‎ ‎（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真，即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；‎ ‎（2）“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；‎ ‎（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；‎ ‎（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真．∴“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”，正确．‎ 综上可知：正确的命题只有（3）（4）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣‎ 上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．‎ ‎【解答】解：设交x轴于点M，‎ ‎∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形 ‎∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．‎ ‎∵P为直线上一点，‎ ‎∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c ‎∴椭圆E的离心率为e==‎ 故选：C ‎【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得 ‎．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程得，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．‎ ‎∴，‎ 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意， =（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，‎ 所以﹣＜y0＜．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，‎ ‎|DE|=2，|DN|=，|ON|=，‎ xA==，‎ ‎|OD|=|OA|，‎ ‎=+5，‎ 解得：p=4．‎ C的焦点到准线的距离为：4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】作出简图，则＞，则e=．‎ ‎【解答】解：由题意，如图 若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，‎ 由∠APO＞45°，‎ 即sin∠APO＞sin45°，‎ 即＞，‎ 则e=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.‎ ‎13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是　¬p：∃x∈A，2x∉B　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：¬p：∃x∈A，2x∉B；‎ 故答案为：¬p：∃x∈A，2x∉B；‎ ‎【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎　‎ ‎14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=　12　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用线段AB中点M的纵坐标为4，通过y1+y2+p求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=8y焦点F（0，2），过抛物线x2‎ ‎=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，可得y1+y2=8．‎ 则|AB|=y1+y2+p=8+4=12，‎ 故答案为：12；‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．‎ ‎【解答】解：∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．‎ ‎∵双曲线方程为x2﹣y2=1，‎ ‎∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8‎ 又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4‎ 因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为：‎ ‎【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　9　．‎ ‎【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．‎ ‎【分析】‎ 根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．‎ ‎【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），‎ ‎∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4‎ 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5‎ 两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．‎ 故答案为9．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．‎ ‎　‎ ‎18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是　﹣=1（x＞3）　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．‎ ‎【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，‎ 则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，‎ 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．‎ 故答案为：﹣=1（x＞3）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19．（12分）（2008秋•泰州期末）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分 q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），‎ 即＜m＜5…4分 若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．‎ ‎①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分 ‎②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分 故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分 ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2016秋•马尾区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）由+=，得，即可求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，利用韦达定理，即可求△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则kOP=，kOQ=2，kPQ=，‎ 由+=，得．‎ 整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠2）；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），‎ 与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣4，‎ ‎∴S==．‎ ‎【点评】本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2016秋•马尾区校级期末）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点；‎ 当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或，然后分类求得直线MN的方程得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：，‎ 解得：，‎ 故椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，‎ ‎△MNA为等腰直角三角形，‎ ‎∴|y1|=|2﹣x1|，‎ 又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；‎ 当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，‎ 由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，‎ ‎．‎ 由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 即，‎ 整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．‎ 当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．‎ 当时，直线l的方程，过定点，‎ 故直线过定点，且定点是．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（12分）（2016秋•马尾区校级期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足=2，点P的轨迹为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）求C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ） 设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点的坐标为p（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C1上的动点，代入求出C2的参数方程即可；‎ ‎（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ）即可，‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则由条件知M（）．由于M点在C1上，所以，即，消去参数α得 即C2的普通方程为 ‎（Ⅱ） 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，‎ 则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ），‎ 其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（12分）（2016•福建模拟）已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．‎ ‎【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，‎ ‎∴①，或②，或③．‎ 解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．‎ 故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．‎ ‎（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，‎ 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．‎ ‎∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|‎ ‎=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|‎ ‎=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，‎ 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．‎ ‎　‎