湖南省岳阳市2021届新高考模拟化学试题(市模拟卷)含解析 21页

湖南省岳阳市 2021 届新高考模拟化学试题（市模拟卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满 分为 100 分，分值高者为优） ，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确 的是（ ） A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据所给的雷达图逐个选项分析即可 . 【详解】 对于 A，甲的数据分析素养为 100 分，乙的数据分析素养为 80 分， 故甲的数据分析素养优于乙，故 A 正确； 对于 B，乙的数据分析素养为 80 分，数学建模素养为 60 分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故 B 正确； 对于 C，甲的六大素养整体水平平均得分为 100 80 100 80 100 80 310 6 3 ， 乙的六大素养整体水平均得分为 80 60 80 60 60 100 250 6 3 ，故 C 正确； 对于 D，甲的六大素养中数学运算为 80 分，不是最强的，故 D 错误； 故选： D 【点睛】 本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题 . 2．阿波罗尼斯 （约公元前 262~190 年）证明过这样的命题： 平面内到两定点距离之比为常数 0, 1k k k 的点的轨迹是圆 .后人将这个圆称为阿氏圆 .若平面内两定点 A ， B 间的距离为 2，动点 P 与 A， B 的距离 之比为 2 2 ，当 P ， A ， B 不共线时， PAB的面积的最大值是（ ） A． 2 2 B． 2 C． 2 2 3 D． 2 3 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据平面内两定点 A ， B 间的距离为 2，动点 P 与 A， B 的距离之比为 2 2 ，利用直接法求得轨迹，然后 利用数形结合求解 . 【详解】 如图所示： 设 1,0A ， 10B , ， ,P x y ，则 2 2 2 2 1 2 21 x y x y ， 化简得 2 23 8x y ， 当点 P 到 AB （ x 轴）距离最大时， PAB的面积最大， ∴ PAB面积的最大值是 1 2 2 2 2 2 2 . 故选： A. 【点睛】 本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题 . 3．在 ABC 中， AB AC AB AC uuuv uuuv uuuv uuuv ， 4AB ， 3AC ，则 BC uuuv 在 CA uuuv 方向上的投影是（ ） A． 4 B．3 C．-4 D． -3 【答案】 D 【解析】 分析：根据平面向量的数量积可得 AB AC uuur uuur ，再结合图形求出 BC uuur 与 CA uuur 方向上的投影即可 . 详解：如图所示： Q AB AC AB AC uuuv uuuv uuuv uuuv ， 0AB AC uuur uuur ， AB AC uuur uuur ， 又 4AB ， 3AC ， BC uuur 在 CA uuur 方向上的投影是： cos , cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv ， 故选 D. 点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题 . 4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾 股圆方图 ”，亦称 “赵爽弦图 ”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小 正方形组成的） .类比 “赵爽弦图 ”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一 个小等边三角形拼成一个大等边三角形 .设 2 2DF AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取 自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ） A． 4 13 B． 2 13 13 C． 9 26 D． 3 13 26 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】 在 ABD 中， 3AD ， 1BD ， 120ADB ，由余弦定理，得 2 2 2 cos120 13AB AD BD AD BD ， 所以 2 13 DF AB . 所以所求概率为 2 2 4= 1313 DEF ABC S S . 故选 A. 【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． 11 12 B．6 C． 11 2 D． 22 3 【答案】 D 【解析】 【分析】 用列举法，通过循环过程直接得出 S 与 n 的值，得到 8n＝ 时退出循环 ,即可求得 . 【详解】 执行程序框图，可得 0S ， 2n ，满足条件， 1 2 S ， 4n＝ ，满足条件， 1 1 3 2 4 4 S ， 6n ，满 足条件， 1 1 1 11 2 4 6 12 S ， 8n＝ ，由题意， 此时应该不满足条件， 退出循环， 输出 S 的值为 11 228 12 3 . 故选 D． 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用 ,正确依次写出每次循环得到的 S 与 n 的值是解题的关键 ,难度 较易 . 6．设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 “ 1 0a ”是 “ 2021 0S ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据等比数列的前 n 项和公式，判断出正确选项 . 【详解】 由于数列 na 是等比数列，所以 2021 2021 1 1 1 qS a q ，由于 20211 0 1 q q ，所以 1 20210 0a S ，故 “ 1 0a ”是 “ 2021 0S ”的充分必要条件 . 故选： C 【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前 n 项和公式，属于基础题 . 7．已知实数 ,x y 满足约束条件 1 1 2 2 0 2 2 0 x y x y x y ，则 2 3x y 的最小值是 A． 2 B． 7 2 C．1 D． 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 【详解】 作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设 2 3z x y ，则 2 1 3 3 y x z ，易知当直线 2 1 3 3 y x z 经过点 D 时， z 取得最小值， 由 1 2 2 0 x x y ，解得 1 1 2 x y ，所以 1( 1, ) 2 D ，所以 min 1 72 ( 1) 3 2 2 z ，故选 B． 8．两圆 2 2 4x a y 和 22 1x y b 相外切，且 0ab ，则 2 2 2 2 a b a b 的最大值为（ ） A． 9 4 B．9 C． 1 3 D． 1 【答案】 A 【解析】 【分析】 由两圆相外切，得出 2 2 9a b ，结合二次函数的性质，即可得出答案 . 【详解】 因为两圆 2 2 4x a y 和 22 1x y b 相外切 所以 2 2 3a b ，即 2 2 9a b 2 2 2 22 2 2 2 9 81 9 2 4 9 9 aa aa b a b 当 2 9 2 a 时， 2 2 2 2 a b a b 取最大值 81 1 9 4 9 4 故选： A 【点睛】 本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题 . 9．已知命题 p ： ,x R 使 1sin 2 x x成立． 则 p 为（ ） A． ,x R 1sin 2 x x 均成立 B． ,x R 1sin 2 x x 均成立 C． ,x R 使 1sin 2 x x 成立 D． ,x R 使 1sin 2 x x= 成立 【答案】 A 【解析】 试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即 :p ,sin 2 xx xR ． 考点：全称命题 . 10．在等差数列 na 中， 2 5a ， 5 6 7 9a a a ，若 3 n n b a （ n N ），则数列 nb 的最大值是 （ ） A． 3 B． 1 3 C． 1 D．3 【答案】 D 【解析】 【分析】 在等差数列 na 中 ,利用已知可求得通项公式 2 9na n ,进而 3 2 9 3 n n b a n ,借助 3 2 9 f x x 函数 的的单调性可知 ,当 5n 时 , nb 取最大即可求得结果 . 【详解】 因为 5 6 7 9a a a ，所以 63 9a ，即 6 3a ，又 2 5a ，所以公差 2d ，所以 2 9na n ，即 3 2 9nb n ，因为函数 3 2 9 f x x ，在 4.5x 时，单调递减，且 0f x ；在 4.5x 时，单调递 减，且 0f x .所以数列 nb 的最大值是 5b ，且 5 3 3 1 b ，所以数列 nb 的最大值是 3. 故选 :D. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式 ,考查数列与函数的关系 ,借助函数单调性研究数列最值问题 ,难度较易 . 11．已知抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，抛物线上任意一点 P，且 PQ⊥ y 轴交 y 轴于点 Q，则 PQ PF uuur uuur 的最 小值为（ ） A． - 1 4 B． - 1 2 C． - l D． 1 【答案】 A 【解析】 【分析】 设点 2 , 4 yP y ，则点 0,Q y ， 1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得 221 12 16 4 PQ PF y uuur uuur ， 利用二次函数的性质可得最值 . 【详解】 解：设点 2 , 4 yP y ，则点 0,Q y ， 1,0F ， 2 2 ,0 , 1 , 4 4 PQ Py F y y uuur uuur ， 2 2 4 2 221 1,0 1 , 2 4 4 16 4 16 4 PQ P y y yy yF yuuur uuur ， 当 2 2y 时， PQ PF uuur uuur 取最小值，最小值为 1 4 . 故选： A. 【点睛】 本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题 . 12．我国古代数学名著《数书九章》中有 “天池盆测雨 ”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水 .天 池盆盆口直径为二尺八寸， 盆底直径为一尺二寸， 盆深一尺八寸 .若盆中积水深九寸， 则平地降雨量是 （注： ①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式 1 ( ) 3 V S S S S h下 下上 上 ? ）. A． 2 寸 B．3 寸 C．4 寸 D． 5 寸 【答案】 B 【解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量 2 2 2 2 2 1 9 (10 10 6 6 ) 3 3 14 ，故选 B. 考点： 1.实际应用问题； 2.圆台的体积 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数 4 1f x x x x 的值域为 _____. 【答案】 3, 【解析】 【分析】 利用配方法化简式子，可得 2 2 1 3f x x ，然后根据观察法，可得结果 . 【详解】 函数的定义域为 0, 4 1 2 4 1f x x x x x x 2 2 1 3 3f x x 所以函数的值域为 3, 故答案为： 3, 【点睛】 本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。 14．已知复数 2 2z i （ i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数是 _____， z _____． 【答案】 3 4i 5 【解析】 【分析】 直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数 z 的共轭复数和 z 的模． 【详解】 2 22 4 4 3 4z i i i iQ ，则复数 z 的共轭复数为 3 4i ，且 223 4 5z . 故答案为： 3 4i ； 5 . 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 15．已知双曲线 2 2 2 1 9 x y b 的左、右焦点分别为 1 2F F P， ， 为双曲线上任一点，且 1 2PF PF uuur uuuur 的最小值为 7 ，则该双曲线的离心率是 __________. 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，设 1 ,0F c , 2 ,0F c 及 P m n, ，将 P m n, 代入双曲线方程并化简可得 2 2 29 1 nm b ，由题意 1 2PF PF uuuv uuuuv 的最小值为 7 ，结合平面向量数量积的坐标运算化简， 即可求得 c 的 值，进而求得离心率即可 . 【详解】 设点 1 0F c， , 2 0 , 0F c c， ， P m n, ， 则 2 2 2 1 9 m n b ，即 2 2 29 1 nm b ， ∵ 1PF c m n uuur ， ， 2PF c m n uuuur ， ， 2 2 2 2 2 2 1 2 29 1 nPF PF m c n n c b uuur uuuur 2 2 2 2 91 9 9n c c b ， 当 0n 时，等号成立， ∴ 29 7c ， ∴ 4c ， ∴ 4 3 ce a . 故答案为： 4 3 . 【点睛】 本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题 . 16．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 ,M N 两点， 2 MF NFb ，若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a ，则 a b的值为 _________. 【答案】 1 【解析】 【分析】 设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得 1 2x x ，由抛物线定义得焦 点弦长，求得 b ，再写出 MN 的垂直平分线方程，得 a ，从而可得结论． 【详解】 抛物线 2: 4C y x 的焦点坐标为 1,0 ，直线 l 的方程为 1y x ， 据 2 1 4 y x y x 得 2 6 1 0x x .设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 则 1 2 1 2 1 2 16, 4, 1 1 4 2 2 MF NFx x y y b x x . 线段 MN 垂直平分线方程为 2 1 3y x ，令 0y ，则 5x ，所以 5a ， 所以 1a b . 故答案为： 1． 【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列 na 满足对任意 *n N 都有 1 22 n n na a a＝ ，其前 n 项和为 nS ，且 7 349,S a＝ 是 1a 与 13a 的等比中项， 1 2a a＜ ． （ 1）求数列 na 的通项公式 na ； （ 2）已知数列 nb 满足 12 na nb ， n n nc a b＝ ，设数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求 9 20 6 5 nT n 大于 1000的最 小的正整数 n 的值． 【答案】 （1） 2 1na n （ 2）4 【解析】 【分析】 （ 1）利用 1 22 n n na a a＝ 判断 na 是等差数列，利用 7 49,S ＝ 求出 4 7a ＝ ，利用等比中项建立方程，求 出公差可得 . （ 2）利用 na 的通项公式 na ,求出 22 4 , 2 1 4n n n n nb c n g ，用错位相减法求出 120 6 5 4 9 9 n n nT ，最后建立不等式求出最小的正整数 . 【详解】 解： 1 Q 任意 *n N 都有 1 22 n n na a a＝ ， 数列 na 是等差数列， 7 4 449, 7 49, 7S a aQ ＝ ＝ ＝ ， 又 3aQ 是 1a 与 13a 的等比中项， 1 2a a ，设数列 na 的公差为 d ，且 0d ， 则 2 7 7 3 7 9d d d ，解得 2d＝ ， 1 7 3 1a d＝ ＝ ， 1 2 1 2 1na n n ； 2 由题意可知 22 4 , 2 1 4n n n n nb c n g ， 1 21 4 3 4 ?·· 2 1 4 n nT n ①， 2 3 14 1 4 3 4 ?·· 2 1 4n nT n ②， ①﹣②得： 2 3 13 4 2 4 2 4 ?·· 2 4 2 1 4n n nT n ， 120 6 5 4 9 9 n n nT ， 1 2 29 20 4 2 6 5 n nnT n ， 由 9 20 6 5 nT n 1000＞ 得， 2 22 1000n ， 2 2 10n ， 4n ， 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 ． 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式及错位相减法求和 . (1)解决等差数列通项的思路 (1)在等差 数列 na 中， 1a d、 是最基本的两个量，一般可设出 1a 和 d ，利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式 列方程 (组 )求解即可 . (2)错位相减法求和的方法：如果数列 na 是等差数列， nb 是等比数列，求数列 n na bg 的前 n 项和时， 可采用错位相减法， 一般是和式两边同乘以等比数列 nb 的公比， 然后作差求解 ; 在写 “ nS ”与 “ nqS ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐 ”以便下一步准确写出 “ n nS qS ”的表达式 18．已知首项为 2 的数列 na 满足 1 1 2 2 1 n n n naa n . （ 1）证明：数列 2 n n na 是等差数列． （ 2）令 n nb a n ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 【答案】 （1）见解析； （2） 1 21 12 2 2 2 n nS n n 【解析】 【分析】 （ 1）由原式可得 1 1( 1) 2 2n n nn a na ,等式两端同时除以 12n ,可得到 1 1 ( 1) 1 2 2 n n n n n a na ,即可证明 结论 ; （ 2）由（ 1）可求得 2 n n na 的表达式 ,进而可求得 ,n na b 的表达式 ,然后求出 nb 的前 n 项和 nS 即可 . 【详解】 （ 1）证明 :因为 1 1 2 2 1 n n n naa n ,所以 1 1( 1) 2 2 n n nn a na , 所以 1 1 ( 1) 1 2 2 n n n n n a na ,从而 1 1 ( 1) 1 2 2 n n n n n a na ,因为 1 2a ,所以 1 1 2 a , 故数列 2 n n na 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 . （ 2）由（ 1）可知 1 1 2 n n na n n ,则 2n na ,因为 n nb a n ,所以 2n nb n , 则 1 2 3n nS b b b b 2 3(2 1) 2 2 2 3 2 n nL 2 32 2 2 2 (1 2 3 )n nL L 2 1 2 ( 1) 1 2 2 n n n 1 21 12 2 2 2 n n n . 【点睛】 本题考查了等差数列的证明 ,考查了等差数列及等比数列的前 n 项和公式的应用 ,考查了学生的计算求解能 力 ,属于中档题 . 19．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 cos 2 sin x t y t （ t 为参数） .以坐标原点为极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2cos . （ 1）求直线 l 和圆 C 的普通方程； （ 2）已知直线 l 上一点 (3,2)M ，若直线 l 与圆 C 交于不同两点 ,A B ，求 1 1 MA MB 的取值范围 . 【答案】 （1） sin cos 2cos 3sin 0x y ， 2 2 2 0x y x ；（ 2） 2 7 1 1 4 2 7 7MA MB 【解析】 分析： （ 1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式 2 2 2 cos x y x 可化极坐标方程为直角坐标方程； （ 2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，其中参数 t 的绝对值表示直线上对应点到 M 的距 离，因此有 1MA t ， 2MB t ，直接由韦达定理可得 1 1 MA MB ，注意到直线与圆相交，因此判别 式＞ 0，这样可得 满足的不等关系，由此可求得 1 1 MA MB 的取值范围 . 详解： （1）直线 l 的参数方程为 3 2 x tcos y tsin ， 普通方程为 sin cos 2cos 3sin 0x y ， 将 2 2 ,cos xx y 代入圆 C 的极坐标方程 2cos 中 , 可得圆的普通方程为 2 2 2 0x y x ， （2）解：直线 l 的参数方程为 3 2 x tcos y tsin 代入圆的方程为 2 2 2 0x y x 可得： 2 4cos 4sin 7 0t t （* ）， 且由题意 1 2 4 cos sint t ， 1 2 7t t , 1 1 MA MB MA MB MA MB 1 2 1 2 4 sin cos 7 t t t t . 因为方程（ *）有两个不同的实根，所以 2 16 cos sin 28 0 ， 即 7sin cos 2 ， 又 sin cos 2sin 2, 2 4 ， 所以 7sin cos , 2 2 . 因为 7sin cos , 2 2 ，所以 4 2 4 2sin cos 7, . 7 7 7 所以 2 7 1 1 4 2 7 7MA MB . 点睛： （1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式 2 2cos sin 1； （ 2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式 2 2 2 cos sin x y x y ； （ 3）过 0 0( , )P x y 的直线 l 的参数方程为 0 0 cos sin x x t y y t （ t 为参数）中参数 t 具有几何意义：直线上任 一点 M 对应参数 t ，则 PM t . 20．已知椭圆 2 2: 1 2 xC y 的左、 右焦点分别为 1 2, ,F F 直线 l 垂直于 x 轴，垂足为 T ，与抛物线 2 4y x 交 于不同的两点 ,P Q ，且 1 2 5,F P F Q uuur uuuur 过 2F 的直线 m 与椭圆 C 交于 ,A B 两点，设 2 2 ,F A F B uuuur uuuur 且 2, 1 . （ 1）求点 T 的坐标； （ 2）求 TA TB uur uur 的取值范围 . 【答案】 （1） 2,0T ；（ 2） 13 22, 8 . 【解析】 【分析】 （ 1）设出 ,P Q 的坐标，代入 1 2 5F P F Q uuur uuuur ，结合 ,P Q 在抛物线 2 4y x 上，求得 ,P Q 两点的横坐标， 进而求得 T 点的坐标 . （ 2）设出直线 m 的方程，联立直线 m 的方程和椭圆方程， 写出韦达定理， 结合 1 1F A F B uuur uuur ，求得 2 TA TB uur uur 的表达式，结合二次函数的性质求得 TA TB uur uur 的取值范围 . 【详解】 （ 1）可知 1 21,0 , 1,0F F ， 设 0 0 0 0, , ,P x y Q x y 则 0 0 2 2 1 0 02 0 05 1, 1, 1F P F Q x y x y x y uuur uuuur ， 又 2 4y x ， 所以 2 0 05 1 4x x 解得 0 2,x 所以 2,0T . （ 2）据题意，直线 m 的斜率必不为 0, 所以设 : 1,m x ty 将直线 m 方程代入椭圆 C 的方程中， 整理得 2 22 2 1 0t y ty ， 设 1 1 2 2, , , ,A x y B x y 则 1 2 2 2 2 ty y t ① 1 2 2 1 2 y y t ② 因为 1 1 ,F A F B uuur uuur 所以 1 2 ,y y 且 0,x 将①式平方除以②式得 2 1 2 2 2 1 42 2 y y t y y t 所以 2 2 1 42 2 t t 2, 1 , 又解得 2 20 7 t 又 1 2 1 24,TA TB x x y y uur uur ， 2 1 2 1 2 2 4 1 4 2 2 t x x t y y t 所以 2 2 2 1 2 1 2 22 2 28 84 16 2 2 TA TB x x y y t t uur uur 令 2 1 2 n t ， 则 7 1, 16 2 n 所以 22 2 7 17 1698 28 16 8 4, 4 2 32 TA TB n n n uur uur 13 22, 8 TA TB uur uur 【点睛】 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考 查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题 . 21． 2020 年，山东省高考将全面实行 “3 6选 3 ”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的 物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试） .为了了解学生对物理学科的喜好程度， 某高中从高一年级学生中随机抽取 200 人做调查 .统计显示， 男生喜欢物理的有 64 人，不喜欢物理的有 56 人；女生喜欢物理的有 36人，不喜欢物理的有 44 人. （ 1）据此资料判断是否有 75% 的把握认为 “喜欢物理与性别有关 ”； （ 2）为了了解学生对选科的认识， 年级决定召开学生座谈会 .现从 5名男同学和 4 名女同学 （其中 3男 2 女 喜欢物理）中，选取 3 名男同学和 2 名女同学参加座谈会，记参加座谈会的 5人中喜欢物理的人数为 X ， 求 X 的分布列及期望 E X . 2 2 n ad bc K a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 2P K k 0.25 0.10 0.05 k 1.323 2.706 3.841 【答案】 （1）有 75% 的把握认为喜欢物理与性别有关； （2）分布列见解析， 14 5 E X . 【解析】 【分析】 （ 1）根据题目所给信息，列出 2 2 列联表，计算 2K 的观测值，对照临界值表可得出结论； （ 2）设参加座谈会的 5人中喜欢物理的男同学有 m 人，女同学有 n 人，则 X m n ，确定 X 的所有取 值为 1、 2 、 3 、 4 、 5．根据计数原理计算出每个 X 所对应的概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】 （ 1）根据所给条件得 2 2 列联表如下： 男 女 合计 喜欢物理 64 36 100 不喜欢物理 56 44 100 合计 120 80 200 2 2 200 64 44 56 36 4 1.323 100 100 120 80 3 K ， 所以有 75% 的把握认为喜欢物理与性别有关； （ 2）设参加座谈会的 5人中喜欢物理的男同学有 m 人，女同学有 n 人，则 X m n ， 由题意可知， X 的所有可能取值为 1、 2 、 3、 4 、 5． 1 2 2 3 2 2 3 2 5 4 11 20 C C CP X C C ， 1 2 1 21 1 2 3 2 2 32 2 2 3 2 3 2 5 4 5 4 32 10 C C C CC C CP X C C C C ， 1 2 1 2 32 1 1 2 3 2 2 3 32 2 2 2 3 2 3 2 3 2 5 4 5 4 5 4 73 15 C C C C CC C C CP X C C C C C C ， 2 1 32 1 1 3 2 32 2 2 3 2 3 2 5 4 5 4 14 6 C C CC C CP X C C C C ， 3 2 3 2 3 2 5 4 15 60 C CP X C C . 所以 X 的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 1 20 3 10 7 15 1 6 1 60 所以 1 3 7 1 1 141 2 3 4 5 20 10 15 6 60 5 E X . 【点睛】 本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题． 22．某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格 ) y (单位 :万元 )是每日产量 x (单位 :吨)的函数 : 2 2 32 1 1 xy lnx x x . （ 1）求当日产量为 3吨时的边际成本 (即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数 )； （ 2）记每日生产平均成本 ,y x m 求证： 16m ； （ 3）若财团每日注入资金可按数列 2 2 4 1n na n (单位 :亿元 )递减，连续注入 60 天，求证 :这 60天的总投 入资金大于 11ln 亿元 . 【答案】 （1） 12 3ln3 ；（ 2）证明见解析； （3）证明见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）求得函数 2 2 32 1 1 xy lnx x x 的导函数，由此求得求当日产量为 3 吨时的边际成本 . （ 2）将所要证明不等式转化为证明 12ln 0x x x ，构造函数 12lnh x x x x ，利用导数证得 0h x ，由此证得不等式成立 . （ 3）利用（ 2）的结论，判断出 2 1 1 ln 4 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1n n n n n n n n a n ，由此结合对数运算， 证得 60 ln11S . 【详解】 （ 1）因为 2 2 32 ln , 1 1 xy x x x 所以 ' 22 2 32 64 ln 1 1 x x xy x x 当 3x 时， 3 12 3ln3xy （ 2）要证 16y x ， 只需证 2 1 12ln xx x x x ，即证 12ln 0x x x ， 设 12lnh x x x x 则 2 2 1 0xh x x 所以 h x 在 1, 上单调递减， 所以 1 0h x h 所以 16y x ，即 16m ； （ 3）因为 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 1 1 4 2n n n n n n a n 又由（ 2）知，当 1x 时， 1 2lnx x x 所以 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2lnn n n n n n 所以 2 1 2 1 ln 2 1n n n a 所以 60 1 5 121 1ln 3 ln ln ln121 ln11 2 3 119 2 S 【点睛】 本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题 . 23．某企业现有 A．B 两套设备生产某种产品，现从 A，B 两套设备生产的大量产品中各抽取了 100 件产 品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在 20,40 内的产品视为合格品，否则为不合 格品 .图 1 是从 A 设备抽取的样本频率分布直方图，表 1 是从 B 设备抽取的样本频数分布表 . 图 1：A 设备生产的样本频率分布直方图 表 1：B 设备生产的样本频数分布表 质量指标值 [15,20) [20,25) 25,30 30,35 35,40 40,45 频数 2 18 48 14 16 2 （ 1）请估计 A．B 设备生产的产品质量指标的平均值； （ 2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在 [25,30) 内的定为一等品， 每件利润 240 元；质量指标值落在 20,25 或 30,35 内的定为二等品，每件利润 180 元；其它的合格品 定为三等品，每件利润 120 元 .根据图 1、表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格 品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率 .企业由于投入资金的限制， 需要根据 A ，B 两 套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模， 请根据以上数据， 从经济效益的角度考虑 企业应该对哪一套设备加大生产规模？ 【答案】 （1） Ax 30.2， Bx 29；（2）B 设备 【解析】 【分析】 （ 1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和； （ 2）要注意指标值落在 20,40 内的产品才视为合格品，列出 A 、B 设备利润分布列，算出期望即可作出 决策 . 【详解】 （ 1） A 设备生产的样本的频数分布表如下 质量指标值 Ax [15,20) [20,25) 25,30 30,35 35,40 40,45 频数 4 16 40 12 18 10 0.04 17.5 0.16 22.5 0.40 27.5 0.12 32.5 0.18 37.5 0.10 42.5 30.2Ax . 根据样本质量指标平均值估计 A 设备生产一件产品质量指标平均值为 30.2. B 设备生产的样本的频数分布表如下 质量指标值 Bx [15,20) [20,25) 25,30 30,35 35,40 40,45 频数 2 18 48 14 16 2 17.5 0.02 22.5 0.18 27.5 0.48 32.5 0.14 37.5 0.16 42.5 0.02 29Bx 根据样本质量指标平均值估计 B 设备生产一件产品质量指标平均值为 29. （ 2） A 设备生产一件产品的利润记为 X，B 设备生产一件产品的利润记为 Y， X 240 180 120 P 20 43 14 43 9 43 Y 240 180 120 P 1 2 1 3 1 6 1( ) (240 20 180 14 120 9) 195.35 43 E X 1 1 1( ) 240 180 120 200 2 3 6 E Y E X E Y 若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大 B 设备的生产规模 . 【点睛】 本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是 一道中档题 .