福建省泉州市2021届新高考模拟化学试题(校模拟卷)含解析 22页

福建省泉州市 2021 届新高考模拟化学试题（校模拟卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知直线 22y x a 是曲线 lny x a 的切线，则 a （ ） A． 2 或 1 B． 1或 2 C． 1或 1 2 D． 1 2 或 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 求得直线 22y x a 的斜率，利用曲线 lny x a 的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得 a 的值 . 【详解】 直线 22y x a 的斜率为 1， 对于 lny x a ，令 1 1y x ，解得 1x ，故切点为 1, a ，代入直线方程得 21 2a a ，解得 1 2 a 或 1. 故选： D 【点睛】 本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题 . 2．已知二次函数 2( )f x x bx a 的部分图象如图所示，则函数 ( ) '( )xg x e f x 的零点所在区间为 （ ） A． ( 1,0) B． (0,1) C． (1,2) D． (2,3) 【答案】 B 【解析】 由函数 f(x) 的图象可知， 0＜f(0) ＝ a＜1，f(1) ＝1－ b＋a＝0，所以 1＜b＜2. 又 f ′(x)＝2x－ b，所以 g(x)＝ex＋2x－b，所以 g′(x)＝ex＋2＞0，所以 g(x)在 R 上单调递增， 又 g(0)＝1－b＜0，g(1) ＝ e＋2－b＞0， 根据函数的零点存在性定理可知，函数 g(x) 的零点所在的区间是 (0，1)， 故选 B. 3．要得到函数 3 sin 12 y x 的图象，只需将函数 3 sin 2 3 y x 图象上所有点的横坐标 （ ） A．伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 4 个单位长度 B．伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图像向左平移 4 个单位长度 C．缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 5 24 个单位长度 D．缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向右平移 11 24 个单位长度 【答案】 B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可． 详解：将函数 3sin 2 3 y x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 得到 13 2 3 2 3 3 y sin x sin x（ ） （ ）， 再将得到的图象向左平移 4 个单位长度得到 3 3 3 4 12 y sin x sin x（ ） （ ）， 故选 B． 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合 和 的关系是解决本题的关键． 4．已知复数 z 满足： 3 4zi i （ i 为虚数单位） ，则 z （ ） A． 4 3i B． 4 3i C． 4 3i D． 4 3i 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法、除法运算求出 z ，再根据共轭复数的概念即可求解 . 【详解】 由 3 4zi i ，则 3 4 3 4 4 3 1 i iz i i ， 所以 z 4 3i . 故选： A 【点睛】 本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题 . 5．在 ABCV 中，角 、 、A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 tan 2 sin( )a B b B C ．则角 B 的大小为 ( ) A． π 3 B． π 6 C． π 2 D． π 4 【答案】 A 【解析】 【分析】 由正弦定理化简已知等式可得 sin tan 2sin sinA B B A，结合 sin 0A ，可得 tan 2sinB B ，结合范围 0,B ，可得 sin 0B ，可得 1cos 2 B ，即可得解 B 的值． 【详解】 解：∵ tan 2 sin 2 sina B b B C b A， ∴由正弦定理可得： sin tan 2sin sinA B B A， ∵ sin 0A ， ∴ tan 2sinB B ， ∵ 0,B ， sin 0B ， ∴ 1cos 2 B ， ∴ 3 B ． 故选 A． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 6．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，点 P 在线段 1CB 上， 且 1 2B P PC ，平面 经过点 1, ,A P C ， 则正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 被平面 截得的截面面积为（ ） A． 3 6 B． 2 6 C． 5 D． 5 3 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解 . 【详解】 如图所示： 1, ,A P C 确定一个平面 ， 因为平面 1 1 / /AA DD 平面 1 1BB CC ， 所以 1/ /AQ PC ，同理 1/ /AP QC ， 所以四边形 1APC Q 是平行四边形 . 即正方体被平面截的截面 . 因为 1 2B P PC ， 所以 1 1 2C B PC ， 即 1PC PB 所以 1 15, 2 3AP PC AC 由余弦定理得： 2 2 2 1 1 1 1 1cos 2 5 AP PC ACAPC AP PC 所以 1 2 6sin 5 APC 所以 S 四边形 1APQC 1 1 12 sin 2 6 2 AP PC APC 故选： B 【点睛】 本题主要考查平面的基本性质， 面面平行的性质定理及截面面积的求法， 还考查了空间想象和运算求解的 能力，属于中档题 . 7．一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正 方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】 正方体的面对角线长为 2 2 ，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为 2 ，故选 B. 【点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 8．已知非零向量 ,a b rr 满足 a b rr ，若 ,a b rr 夹角的余弦值为 19 30 ，且 2 3a b a b r rr r ，则实数 的 值为（ ） A． 4 9 B． 2 3 C． 3 2 或 4 9 D． 3 2 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据向量垂直则数量积为零，结合 a b rr 以及夹角的余弦值，即可求得参数值 . 【详解】 依题意，得 2 3 0a b a b r rr r ，即 22 3 5 2 0a a b b r rr r . 将 a b rr 代入可得， 218 19 12 0 ， 解得 3 2 （ 4 9 舍去） . 故选： D. 【点睛】 本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题 . 9．设集合 1,2,3A ， 2 2 0B x x x m ，若 {3}A B ，则 B （ ） A． 1,3 B． 2,3 C． 1, 2,3 D． 3 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据交集的结果可得 3 是集合 B 的元素，代入方程后可求 m 的值，从而可求 B . 【详解】 依题意可知 3是集合 B 的元素，即 23 2 3 0m ，解得 3m ，由 2 2 3 0x x ，解得 1,3x . 【点睛】 本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题 . 10．已知点 2F 为双曲线 2 2 2: 1( 0) 4 x yC a a 的右焦点，直线 y kx 与双曲线交于 A， B 两点，若 2 2 3 AF B ，则 2AF BV 的面积为（ ） A． 2 2 B． 2 3 C． 4 2 D． 4 3 【答案】 D 【解析】 【分析】 设双曲线 C 的左焦点为 1F ，连接 1 1,AF BF ，由对称性可知四边形 1 2AF BF 是平行四边形， 设 1 1 2 2,AF r AF r ，得 2 2 2 1 2 1 24 2 cos 3 c r r r r ，求出 1 2r r 的值，即得解 . 【详解】 设双曲线 C 的左焦点为 1F ，连接 1 1,AF BF ， 由对称性可知四边形 1 2AF BF 是平行四边形， 所以 1 2 2AF F AF BS SV V ， 1 2 3 F AF . 设 1 1 2 2,AF r AF r ，则 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 cos 3 c r r r r r r r r ， 又 1 2 2r r a .故 2 1 2 4 16r r b ， 所以 1 2 1 2 1 sin 4 3 2 3AF FS r rV . 故选： D 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单几何性质， 考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算， 意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平 . 11． 若 x,y 满足约束条件 x 0 x+y-3 0 z 2 x-2y 0 x y，则 的取值范围是 A． [0,6] B．[0,4] C．[6, + ） D． [4, + ） 【答案】 D 【解析】 解： x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由 解得 C（2， 1）， 目标函数的最小值为： 4 目标函数的范围是 [4，+∞）． 故选 D． 12．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证 明，如 “费马大定理 ”，但大多猜想还未被证明，如 “哥德巴赫猜想 ”、“角谷猜想 ”. “角谷猜想 ”的内容是： 对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以 3再加 1；如果它是偶数，则将它除以 2 ；如此循环，最 终都能够得到 1.下图为研究 “角谷猜想 ”的一个程序框图 .若输入 n 的值为 10，则输出 i 的值为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果 . 【详解】 输入 10n ， 1n 不成立， n 是偶数成立，则 10 5 2 n ， 0 1 1i ； 1n 不成立， n 是偶数不成立，则 3 5 1 16n ， 1 1 2i ； 1n 不成立， n 是偶数成立，则 16 8 2 n ， 2 1 3i ； 1n 不成立， n 是偶数成立，则 8 4 2 n ， 3 1 4i ； 1n 不成立， n 是偶数成立，则 4 2 2 n ， 4 1 5i ； 1n 不成立， n 是偶数成立，则 2 1 2 n ， 5 1 6i ； 1n 成立，跳出循环，输出 i 的值为 6. 故选： B. 【点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 2e ( 2)xy x 在点 (0, 2) 处的切线方程为 ______. 【答案】 2 2y x 【解析】 【分析】 对函数求导，得出在 (0, 2) 处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方 程 . 【详解】 令 2e ( 2)xf x x ， 2( ) e ( 2 2)xf x x xQ ，所以 (0) 2f ，又 (0) 2fQ ， 所求切线方程为 2 2y x ，即 2 2y x . 故答案为： 2 2y x . 【点睛】 本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程， 关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜 率，属于基础题 . 14．平面直角坐标系中 ,O 为坐标原点 ,己知 A(3,1),B(-1,3), 若点 C 满足 OC OA OB uuur uuur uuur ,其中 α , β∈R,且 α +β =1,则点 C 的轨迹方程为 【答案】 2 5 0x y 【解析】 【分析】 根据向量共线定理得 A,B,C 三点共线，再根据点斜式得结果 【详解】 因为 OC OA OB uuur uuur uuur ,且 α +β =1，所以 A,B,C 三点共线， 因此点 C 的轨迹为直线 AB: 1 31 ( 3) 2 5 0. 3 1 y x x y 【点睛】 本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题 . 15．若 5( 3 )nx x 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为 _____ 【答案】 2025 【解析】 【分析】 利用赋值法， 结合展开式中各项系数之和列方程， 由此求得 n 的值 .再利用二项式展开式的通项公式， 求得 展开式中 x 的系数 . 【详解】 依题意，令 1x ，解得 2 32n ，所以 5n ，则二项式 5 5 3 x x 的展开式的通项为： 5 1 3 552 2 1 5 5 5 3 5 ( 3) rr r r r r r rT C x C x x 令 3 5 1 2 r ，得 4r ，所以 x 的系数为 5 4 4 4 55 ( 3) 2025C . 故答案为： 2025 【点睛】 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题 . 16．若函数 lnf x ax x （ a R ）的图象与直线 3 1y x 相切，则 a ______. 【答案】 2 【解析】 【分析】 设切点 0 0,A x y 由已知可得 0 0 0 0 0 0 1( ) 3 ( ) ln 3 1 f x a x f x ax x x ,即可解得所求 . 【详解】 设 0 0,A x y ，因为 1f x a x ，所以 0 1 3a x ，即 0 03 1ax x ，又 0 0 0lny ax x ， 0 03 1y x . 所以 0ln 0x ，即 0 1x ， 2a . 故答案为 : 2 . 【点睛】 本题考查导数的几何意义 ,考查函数与方程思想、转化与化归思想 ,考查逻辑推理能力、运算求解能力 ,难度 较易 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数 ( )f x x a lnx a R＝ ，它的导函数为 f x ． （ 1）当 1a＝ 时，求 f x 的零点； （ 2）当 0a＝ 时，证明： 1xf x e cosx＜ ． 【答案】 （1）见解析； （2）证明见解析 . 【解析】 【分析】 1 当 1a 时，求函数的导数 'f x ，判断导函数的单调性，计算 ' 1 1 1 1 0f ln 即为导函数的零 点； 2 当 0a 时，分类讨论 x 的范围，可令新函数 1xh x e cosx xlnx ，计算新函数的最值可证明 1xf x e cosx ． 【详解】 (1) f x 的定义域为 (0 )， 当 1a＝ 时， 1f x x lnx＝ ， 11f x lnx x ＝ ， 易知 11f x lnx x ＝ 为 (0 )， 上的增函数， 又 1 1 1 1 0f ln＝ ＝ ， 所以 1x＝ 是 f x 的唯一零点； (2) 证明：当 0a＝ 时， f x xlnx＝ ， ①若 0 1x＜ ，则 1 0xe cosx ＞ ， 0xlnx 所以 1xf x e cosx＜ 成立， ②若 1x＞ ，设 1xh x e cosx xlnx＝ ，则 1xh x e sinx lnx＝ ， 令 m x h x＝ ，则 1xm x e cosx x ＝ ， 因为 1x＞ ，所以 1 1 0m x e＞ ＞ ， 从而 m x 在 (1 )， 上单调递增， 所以 1 1 1 0m x m e sin＞ ＝ ＞ ， 即 0m x h x＝ ＞ ， h x 在 (1 )， 上单调递增； 所以 1 1 1 0h x h e cos＞ ＝ ＞ ，即 1xxlnx e cosx＜ ， 故 1xf x e cosx＜ . 【点睛】 本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值 的应用． 18．已知函数 1( ) ( 1)lnf x ax a x x ， a R ． （ 1）当 1a 时，讨论函数 ( )f x 的单调性； （ 2）若 1a ，当 [1,2]x 时，函数 2 3 4 1 2( ) ( )F x f x x x x ，求函数 ( )F x 的最小值． 【答案】 （1）见解析 （2） ( )F x 的最小值为 7(2) 2ln 22F 【解析】 【分析】 【详解】 （ 1）由题可得函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) ( 0)a ax a x x axf x a x x x x x ， 当 0a 时， 1 0ax- < ，令 ( ) 0f x ，可得 1x ；令 ( ) 0f x ，可得 0 1x ， 所以函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减； 当 0 1a 时，令 ( ) 0f x ，可得 11 x a ；令 ( ) 0f x ，可得 0 1x 或 1x a ， 所以函数 ( )f x 在 (0,1) ， 1( , ) a 上单调递增，在 1(1, ) a 上单调递减； 当 1a 时， ( ) 0f x 恒成立，所以函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增． 综上， 当 0a 时， 函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增， 在 (1, ) 上单调递减； 当 0 1a 时， 函数 ( )f x 在 (0,1) ， 1( , ) a 上单调递增，在 1(1, ) a 上单调递减；当 1a 时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增． （ 2）方法一：当 1a 时， 2 3 2 3 4 1 2 3 1 2( ) ( ) 2lnF x f x x x x x x x x x ， [1,2]x ， 设 ( ) 2lng x x x ， [1,2]x ，则 2 2( ) 1 0xg x x x ， 所以函数 ( )g x 在 [1,2] 上单调递减，所以 ( ) (2) 2 2ln 2g x g ，当且仅当 2x 时取等号．当 [1,2]x 时， 设 1 t x ，则 1[ ,1] 2 t ，所以 2 3 2 3 3 1 2 3 2t t t x x x ， 设 2 3( ) 3 2h t t t t ， 1[ ,1] 2 t ，则 2 21 19( ) 3 2 6 6( ) 6 6 h t t t t ， 所以函数 ( )h t 在 1[ ,1] 2 上单调递减，且 1 5( ) 0 2 2 h ， (1) 1 0h ， 所以存在 0 1( ,1) 2 t ，使得 0( ) 0h t ，所以当 0 1 2 t t 时， ( ) 0h t ；当 0 1t t 时， ( ) 0h t ， 所以函数 ( )h t 在 0 1( , ) 2 t 上单调递增，在 0( ,1)t 上单调递减， 因为 1 3( ) 2 2 h ， (1) 2h ，所以 1 3( ) ( ) 2 2 h t h ，所以 2 3 3 1 2 3 2x x x ，当且仅当 2x 时取等号． 所以当 2x 时，函数 ( )F x 取得最小值，且 min 3 7( ) 2 2ln 2 2ln 2 2 2 F x ， 故函数 ( )F x 的最小值为 7 2ln 2 2 ． 方法二：当 1a 时， 2 3 2 3 4 1 2 3 1 2( ) ( ) 2lnF x f x x xx x x x x x ， [1,2]x ， 则 3 2 2 3 4 4 2 3 2 6 ( 1)( 4 6)( ) 1 x x x xF x x x x x x ， 令 3 2 ( ) 4 6g x x x x ， [1,2]x ，则 2 21 13( ) 3 2 4 3( ) 3 3 g x x x x ， 所以函数 ( )g x 在 [1,2] 上单调递增， 又 (1) 3, (2) 4g g ，所以存在 0 (1,2)x ，使得 0 0( )g x ， 所以函数 ( )g x 在 0[1, )x 上单调递减，在 0[ ,2]x 上单调递增， 因为 (1) 10 0, (2) 10 0g g ，所以当 [1,2]x 时， ( ) 0g x 恒成立， 所以当 [1,2]x 时， ( ) 0F x 恒成立，所以函数 ( )F x 在 [1,2] 上单调递减， 所以函数 ( )F x 的最小值为 2 3 3 1 2 7(2) 2 2ln 2 2ln 2 2 2 2 2 F ． 19．已知函数 3 21( ) 2 6 F x x x a ， ( ) lnG x a x ，设 ( ) ( ) ( )f x F x G x ． （ 1）当 3a 时，求函数 f x 的单调区间； （ 2）设方程 f x c （其中 c 为常数）的两根分别为 ， ，证明： 0 2 f ． （注： f x 是 f x 的导函数） 【答案】 （1） f x 在 0,3 上单调递增，在 3, 上单调递减． （2）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）求出导函数 ( )f x ，由 ( ) 0f x 确定增区间，由 ( ) 0f x 确定减区间； （ 2）求出含有参数 a 的 ( )f x ，再求出 ( )f x ，由 ( )f x c 的两根是 , ，得 a ， 计算 ( ) 2 f ，代入 a 后可得结论． 【详解】 解： 21( ) ( ) ( ) 2 ln 2 f x F x G x x x a x ，函数 f x 的定义域为 0, ， 2 22 a x x af x x x x ． （ 1）当 3a 时， 2 22 3 2 3 ( 3)( 1)( ) x x x x x xf x x x x ， 由 0f x 得 0 3x ，由 0f x 得 3x ， 故函数 f x 在 0,3 上单调递增，在 3, 上单调递减． （ 2）证明：由条件可得 ( ) 2 af x x x ， 0x ， 2( ) 1 af x x ， Q 方程 f x c 的两根分别为 ， ， f c ，且 f c ，可得 a ． 2 2 2 2 4 4 ( )1 1 0 2 ( ) ( ) ( ) af ． 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由 ( ) 0f x 确 定增区间，由 ( ) 0f x 确定减区间． 20．如图， 在底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是侧棱 1CC 上的一点， CP m . （ 1）若 6 3 m ，求直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成角； （ 2）在线段 1 1A C 上是否存在一个定点 Q，使得对任意的实数 m，都有 1D Q AP ，并证明你的结论 . 【答案】 （1） 3 ；（ 2）存在， Q 为线段 1 1A C 中点 【解析】 【分析】 解法一： （1）作出平面 APC 与平面 1 1BDD B 的交线 OM ，可证 AO 平面 1 1BDD B ，计算 OM ， AO ， 得出 tan AMO ，从而得出 AMO 的大小；（2）证明 1 1B D 平面 1 1ACC A ，故而可得当 Q 为线段 1 1A C 的中点时 1D Q AP . 解法二，以 D 为原点，以 1, ,DA DC DD 为 , ,x y z建立空间直角坐标系： （1）由 sin cos 2 AP AC AP AC uuur uuur uuur uuur ，利用空间向量的数量积可求线面角； （ 2）设 1 1A C 上存在一定点 Q，设 此点的横坐标为 x ，可得 ,1 ,2Q x x ，由向量垂直，数量积等于零即可求解 . 【详解】 （ 1）解法一：连接 AC 交 BD 于 O ， 设 AP 与平面 1 1BDD B 的公共点为 M ，连接 OM ， 则平面 APC I 平面 1 1BDD B OM ， Q 四边形 ABCD 是正方形， AC BD ， 1BBQ 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， 1AC BB∴ ，又 1BB BD B ， AC 平面 1 1BDD B ， AMO 为直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成角， / /CPQ 平面 1 1BDD B ， CP 平面 APC ，平面 APCI 平面 1 1BDD B OM ， / / MCP O ，又 O为 AC 的中点， 1 6 1 2, 2 6 2 2 OM PC AO AC ， tan 3AOAMO OM ， 3 AMO ， 直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成角为 3 . （ 2） Q 四边形 1111 DCBA 正方形， 1 1 1 1A C B D ， 1AAQ 平面 1111 DCBA ， 1 1B D 平面 1111 DCBA ， 1 1 1AA B D ，又 1 1 1 1A C AA AI , 1 1B D 平面 1 1AC CA ，又 AP 平面 1 1AC CA ， 1 1B D AP ， 当 Q 为线段 1 1A C 中点时，对于任意的实数 m ，都有 1D Q AP . 解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1,0,0 , 1,1,0 , 0,1,A B P m ， 1 10,1,0 , 0,0,0 , 1,1,1 , 0,0,2C D B D ， 所以 1, 1,0BD uuur ， 1 0,0,2BB uuur ， 1,1,AP m uuur ， 1,1,0AC uuur 又由 0AC BD uuur uuur ， 1 0AC BB uuur uuur ，则 AC uuur 为平面 1 1BB D D 的一个法向量， 设直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成角为 ， 则 2 2 3sin cos 2 22 2 AP AC AP AC m uuur uuur uuur uuur ， 故当 6 3 m 时，直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成角为 3 . （ 2）若在 1 1A C 上存在一定点 Q，设此点的横坐标为 x ， 则 ,1 ,2Q x x ， 1 ,1 ,0D Q x x uuuur ， 依题意，对于任意的实数 m 要使 1D Q AP ， 等价于 0DQ AP DQ AP uuur uuur uuur uuur ， 即 1 0x x ，解得 1 2 x ， 即当 Q 为线段 1 1A C 中点时，对于任意的实数 m ，都有 1D Q AP . 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题 . 21．已知函数 4( ) ln (2 )( 1)xf x a x x . （ 1）当 1a 时 . ①求函数 ( )f x 在 (2, (2))f 处的切线方程； ②定义 1 2 4 1( ) ( ) ( )n nS f f f n n n L 其中 Nn ，求 2020S ； （ 2）当 2a 时，设 2( ) ( ) ln 4t x f x x x ， 1( ) xg x xe ( e 为自然对数的底数 )，若对任意给定的 0 0,x e ，在 0,e 上总存在两个不同的 ( 1,2)ix i ，使得 0( ) ( )it x g x 成立，求 a 的取值范围 . 【答案】 （1）① 1y ；② 8079；（2） 3, 2 1e . 【解析】 【分析】 （ 1）① 1a 时， 4( ) 1xf x ln x x ， 2 2 4 4( ) 4 x xf x x x ，利用导数的几何意义能求出函数 ( )f x 在 2 2f, 处的切线方程． ②由 4( ) 1xf x ln x x ，得 ( ) (4 ) 2f x f x ，由此能求出 2020 1 2 8079( ) ( ) ( ) 2020 2020 2020 S f f f 的 值． （ 2）根据若对任意给定的 0 (0x ， ]e ，在区间 (0 ， ]e 上总存在两个不同的 ( 1,2)ix i ，使得 0( ) ( )it x g x 成立，得到函数 ( )t x 在区间 (0 ， ]e 上不单调，从而求得 a 的取值范围． 【详解】 （ 1）①∵ 1a ， 4( ) ln 1xf x x x ∴ ( ) ln(4 ) ln 1,(0 4)f x x x x x ∴ 1 1 1 4 f x x x ，∴ 2 0f ，∵ 2 1f ， 所以切线方程为 1y . ② 4( ) ln 1xf x x x Q ， (4 ) ln 4 1 4 xf x x x ( ) (4 ) 2,(0 4)f x f x x . 令 ix n ，则 ( ) (4 ) 2i if f n n Q , ( 1,2, ,4 1)i nL . 因为 1 2 2 1( ) ( ) (4 ) (4 )nS f f f f n n n n L ①, 所以 1 2 2 1(4 ) (4 ) ( ) ( )nS f f f f n n n n L ②, 由① +②得 2 2(4 1)nS n ,所以 *4 1,( N )nS n n . 所以 2020 8079S . （ 2） 1 1 1( ) (1 )x x xg x e xe x e ，当 (0,1)x 时， ( ) 0,g x 函数 ( )g x 单调递增； 当 1,x e 时， ( ) 0g x ，函数 ( )g x 单调递减∵ 0 0g ， 1 1g ， 2 0eg e e 所以，函数 g x 在 0,e 上的值域为 0,1 . 因为 2a ， 2(2 )( )2 2( ) 2 a x at x a x x ， 0,x e 故 20 2 e a ， 22a e ，① 此时，当 x 变化时 ( )t x 、 ( )t x 的变化情况如下： x 2(0, ) 2 a 2 2 a 2 , 2 e a ( )t x — 0 + ( )t x 单调减 最小值 单调增 ∵ 0x ， t x 2 22ln 2 2 t a a a ， 2 1 2t e a e ∴对任意给定的 0 0,x e ，在区间 0,e 上总存在两个不同的 ( 1,2)ix i ， 使得 0( ) ( )it x g x 成立，当且仅当 a 满足下列条件 2( ) 0 2 ( ) 1 t a t e ，即 22ln 0 2 (2 )( 1) 2 1 a a a e ② ③ 令 22ln 2 h a a a ， 2, 2a e ， 2( ) 1 2[ln 2 ln(2 )] 1 2 2 ah a a a a ， 当 ( ,0)a 时， ( ) 0h a ，函数 ( )h a 单调递增，当 2(0,2 )a e 时， ( ) 0h a ，函数 ( )h a 单调递减所 以，对任意 2( ,2 )a e ，有 ( ) (0) 0h a h ，即②对任意 2( ,2 )a e 恒成立 . 由③式解得： 32 . 1 a e ④ 综合①④可知，当 3, 2 1 a e 时，对任意给定的 0 0,x e ， 在 0,e 上总存在两个不同的 1,2ix i ，使 0( ) ( )it x g x 成立 . 【点睛】 本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函 数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式 恒成立常转化为函数最值问题解决． 22．2018 年 9 月，台风 “山竹 ”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达 52 亿元 .某青年志愿者组织调查 了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组： [0,2000] ， (2000,4000] ， (4000,6000] ， (6000,8000] ， (8000,10000] （单位：元） ，得到如图所示的频率分布直 方图 . （ 1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （ 2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失 超过 4000 元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶，设抽出损失超过 8000 元的农户数为 X ，求 X 的分布 列和数学期望 . 【答案】 （1） 3360 元； （2）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失； （ 2）根据频率分布直方图计算随机变量 X 的可能取值，再求 X 的分布列和数学期望值． 【详解】 （ 1）记每个农户的平均损失为 元，则 1000 0.3 3000 0.4x 5000 0.18 7000 0.06 9000 0.06 3360； （ 2）由频率分布直方图， 可得损失超过 1000 元的农户共有 （0.00009+0.00003+0.00003 ）×2000×50＝15（户） ， 损失超过 8000 元的农户共有 0.00003×2000×50＝3（户） ， 随机抽取 2 户，则 X 的可能取值为 0，1，2； 计算 P（X＝0）＝ ＝ ， P（ X＝1）＝ ＝ ， P（ X＝2）＝ ＝ ， 所以 X 的分布列为； X 0 1 2 P 数学期望为 E（X ）＝ 0× +1× +2× ＝ ． 【点睛】 本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题． 23．已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ． 求数列 的通项公式； 求数列 的前 n 项和 ． 【答案】 （1） ；（2） . 【解析】 【分析】 先设出数列的公差为 d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果． 利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】 解： 设公差为 d 的等差数列 的前 n 项和为 ， 且 ， ． 则有： ， 解得： ， ， 所以： 由于： ， 所以： ， 则： ， 则： ， ． 【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的 运算能力和转化能力，属于基础题型．