湖北省咸宁市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析 20页

湖北省咸宁市 (4 校联考） 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知点 A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足 PA m PF ，若 m 取得最大值时，点 P 恰好在以 ,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A． 3 1 B． 2 1 C． 5 1 2 D． 2 1 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 设 ,P x y ，利用两点间的距离公式求出 m 的表达式，结合基本不等式的性质求出 m 的最大值时的 P 点 坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可 . 【详解】 设 ,P x y ，因为 A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点， 所以 0, 1 , 0,1A F ， 则 2 22 2 22 1 1 4 1 1 4 y x y yPA m PF y x y y 2 41 2 1 y y y ， 当 0y 时， 1m ， 当 0y 时， 2 4 4 41 1 1 212 1 12 2 2 ym y y y yy y ， 当且仅当 1y 时取等号， 此时 2,1P ， 2 2, 2PA PF ， Q 点 P 在以 ,A F 为焦点的椭圆上， 2 2c AF ， 由椭圆的定义得 2 2 2 2a PA PF ， 所以椭圆的离心率 2 2 2 1 2 2 2 2 c ce a a ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题 .离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点， 一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ,a c ，从而求出 e;②构造 ,a c 的齐次式，求出 e ;③采用离心率 的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 2．已知双曲线 C ： 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦距为 2c ，焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 3 2 c ，则 双曲线的渐近线方程为（） A． 3y x B． 2y x C． y x D． 2y x 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用双曲线 C ： 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦点到渐近线的距离为 3 2 c ，求出 a ， b 的关系式，然后求 解双曲线的渐近线方程． 【详解】 双曲线 C ： 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦点 ,0c 到渐近线 0bx ay 的距离为 3 2 c ， 可得： 2 2 3 2 bc c a b ，可得 3 2 b c ， 3b a ，则 C 的渐近线方程为 3y x ． 故选 A． 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出 ,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题 . 3．某市气象部门根据 2018 年各月的每天最高气温平均数据 ,绘制如下折线图 ,那么 ,下列叙述错误的是 ( ) A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B．全年中 ,2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C．全年中各月最低气温平均值不高于 10°C 的月份有 5 个 D．从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据折线图依次判断每个选项得到答案 . 【详解】 由绘制出的折线图知： 在 A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故 A 正确； 在 B 中，全年中， 2 月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故 B 正确； 在 C 中，全年中各月最低气温平均值不高于 10℃的月份有 1 月， 2 月， 3 月， 11 月， 12 月，共 5 个，故 C 正确； 在 D 中，从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故 D 错误 . 故选： D. 【点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力 . 4．已知复数 z 满足 1 1z i i （i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A． i B． i C．1 D． 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据复数 z 满足 1 1z i i ，利用复数的除法求得 z，再根据复数的概念求解 . 【详解】 因为复数 z 满足 1 1z i i ， 所以 2 11 1 1 1 iiz i i i i ， 所以 z 的虚部为 1. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题 . 5．偶函数 f x 关于点 1,0 对称，当 1 0x≤ ≤ 时， 2 1f x x ，求 2020f （ ） A． 2 B． 0 C． 1 D． 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 推导出函数 y f x 是以 4 为周期的周期函数，由此可得出 2020 0f f ，代值计算即可 . 【详解】 由于偶函数 y f x 的图象关于点 1,0 对称，则 f x f x ， 2 0f x f x ， 2f x f x f x ，则 4 2f x f x f x ， 所以，函数 y f x 是以 4 为周期的周期函数， 由于当 1 0x≤ ≤ 时， 2 1f x x ，则 2020 4 505 0 1f f f . 故选： D. 【点睛】 本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值， 推导出函数的周期性是解答的关键， 考查推理能力与计算 能力，属于中等题 . 6．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体积是 ( ) A． 1616 3 B． 816 3 C． 32 8 3 3 D． 32 16 3 3 【答案】 B 【解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为 2，底面是高和底边均为 4 的等腰三角形，圆 锥的高为 4，底面半径为 2，则其体积为 1 1 1V 4 4 2 4 4 2 2 3 ， 816 3 . 故选 B 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法： 1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； 3、画出整体，然后再根据三视图进行调整 . 7．已知函数 ( ) sin(2 ) 4 f x x 的图象向左平移 ( 0) 个单位后得到函数 ( ) sin(2 ) 4 g x x 的图象， 则 的最小值为（ ） A． 4 B． 3 8 C． 2 D． 5 8 【答案】 A 【解析】 【分析】 首先求得平移后的函数 sin 2 2 4 g x x ，再根据 sin 2 2 sin 2 4 4 x x 求 的最小 值 . 【详解】 根据题意， ( )f x 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数 ( ) sin 2( ) sin(2 2 ) sin(2 ) 4 4 4 g x x x x ， 所以 2 2 , 4 4 k k Z ，所以 , 4 k k Z ．又 0 ，所以 的最小值为 4 ． 故选： A 【点睛】 本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型 . 8． 2 ( 1 i i ) A． 1 3 2 i B． 3 2 i C． 3 2 i D． 1 3 2 i 【答案】 A 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 . 【详解】 22 12 2 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 2 i ii i i i i i i i 本题正确选项： A 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 9．已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b （ 0a＞ ， 0b ）的左、右焦点分别为 E F， ，以 OF （ O 为坐标原点）为直 径的圆 C 交双曲线于 A B、 两点，若直线 AE 与圆 C 相切，则该双曲线的离心率为（ ） A． 2 3 6 2 B． 2 2 2 6 C． 3 2 2 6 2 D． 3 2 6 2 【答案】 D 【解析】 【分析】 连接 CA AF， ，可得 3 2 cEC ，在 ACFV 中，由余弦定理得 AF ，结合双曲线的定义，即得解 . 【详解】 连接 CA AF， ， 则 2 cOC CA CF ， OE c ， 所以 3 2 cEC ， | | 2 cFC 在 Rt EACV 中， 2AE c ， 1cos 3 ACE ， 故 1cos cos 3 ACF ACE 在 ACFV 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosAF CA CF CA CF ACF 可得 6 3 AF c＝ . 根据双曲线的定义，得 62 2 3 c c a ， 所以双曲线的离心率 2 6 3 2 6 26 3 2 62 3 ce a 故选： D 【点睛】 本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中 档题 . 10．设 lnf x x ，若函数 g x f x ax 在区间 20,e 上有三个零点， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A． 10, e B． 2 1 1, e e C． 2 2 2, e e D． 2 2 1, e e 【答案】 D 【解析】 令 0g x f x ax ，可得 f x ax . 在坐标系内画出函数 lnf x x 的图象（如图所示） . 当 1x 时， lnf x x .由 lny x 得 1y x . 设过原点的直线 y ax 与函数 y xln 的图象切于点 0 0( ,ln )A x x ， 则有 0 0 0 ln 1 x ax a x ，解得 0 1 x e a e . 所以当直线 y ax与函数 y xln 的图象切时 1a e . 又当直线 y ax 经过点 2B , 2e 时，有 22 a e ，解得 2 2a e . 结合图象可得当直线 y ax 与函数 lnf x x 的图象有 3 个交点时，实数 a 的取值范围是 2 2 1, e e . 即函数 g x f x ax 在区间 20,e 上有三个零点时，实数 a 的取值范围是 2 2 1, e e .选 D. 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于 一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解 . 11．执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的整数 的最大值为 ( ) A． 7 B．15 C．31 D． 63 【答案】 B 【解析】 试题分析：由程序框图可知：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ； ⑤ ， . 第⑤步后 输出，此时 ，则 的最大值为 15，故选 B. 考点：程序框图 . 12．已知数列 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和， 5 6 104 a a a ，则 21S （ ） A． 7 B．14 C．28 D． 84 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式，可求解得到 11 4a ，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】 5 6 104 a a aQ ， 11 11 114 6 5a d a d a d 解得 11 4a ． 1 21 21 11 21( ) 21 84 2 a aS a ． 故选： D 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知函数 1ln 1 xf x ax 为奇函数，则 a ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用奇函数的定义得出 f x f x ，结合对数的运算性质可求得实数 a 的值 . 【详解】 由于函数 1ln 1 xf x ax 为奇函数，则 f x f x ，即 1 1 1ln ln ln 1 1 1 x x ax ax ax x ， 1 1 1 1 x ax ax x ，整理得 2 2 21 1x a x ，解得 1a . 当 1a 时，真数 1 1 1 x x ，不合乎题意； 当 1a 时， 1ln 1 xf x x ，解不等式 1 0 1 x x ，解得 1x 或 1x ，此时函数 y f x 的定义域 为 , 1 1,U ，定义域关于原点对称，合乎题意 . 综上所述， 1a . 故答案为： 1. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属 于中等题 . 14．若函数 sin 3 cosf x x x ( x R， 0 )满足 0 2f f， ，且 | |的最小 值等于 2 ，则 ω的值为 ___________. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简可得 2sin 3 f x x ,由题可分析 | | 的最小值等于 2 表示相邻的一个对 称中心与一个对称轴的距离为 2 ,进而求解即可 . 【详解】 由题 , sin 3 cos 2sin 3 f x x x x , 因为 0f , 2f ,且 | | 的最小值等于 2 ,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 2 , 所以 1 4 2 T ,即 2T , 所以 2 2 1 2T , 故答案为 :1 【点睛】 本题考查正弦型函数的对称性的应用 ,考查三角函数的化简 . 15．已知 6 ax b 的展开式中 4x 项的系数与 5x 项的系数分别为 135 与 18，则 6 ax b 展开式所有项 系数之和为 ______. 【答案】 64 【解析】 【分析】 由题意先求得 ,a b 的值，再令 1x 求出展开式中所有项的系数和 . 【详解】 6 ax b 的展开式中 4x 项的系数与 5x 项的系数分别为 135 与 18， 4 4 2 6 135C a b ， 5 5 6 18C a b ， 由两式可组成方程组 4 2 5 15 135 6 18 a b a b ， 解得 1, 3a b 或 1, 3a b ， 令 1x ，求得 6 ax b 展开式中所有的系数之和为 62 64 . 故答案为： 64 【点睛】 本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题 . 16．已知二项式 2 2 n x x 的展开式中各项的二项式系数和为 512，其展开式中第四项的系数 __________． 【答案】 672 【解析】 【分析】 先令 1x 可得其展开式各项系数的和，又由题意得 2 512n ，解得 9n ，进而可得其展开式的通项， 即可得答案 . 【详解】 令 1x ，则有 2 512n ，解得 9n ， 则二项式 2 2 n x x 的展开式的通项为 2 9 18 3 1 9 9 2( ) ( ) ( 2)r r r r r r rT C x C x x ， 令 3r ，则其展开式中的第 4 项的系数为 3 3 9( 2) 672C ， 故答案为： 672 【点睛】 此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知直线 :l y kx m 与椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 恰有一个公共点 P ， l 与圆 2 2 2x y a 相交于 ,A B 两点 . （ I）求 k 与 m 的关系式； （ II ）点 Q 与点 P 关于坐标原点 O对称 .若当 1 2 k 时， QAB 的面积取到最大值 2a ，求椭圆的离心率 . 【答案】 （Ⅰ） 2 2 2 2m a k b （II ） 10 4 e 【解析】 【分析】 （ I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于 0，即可求出结果； （Ⅱ）因点 Q 与点 P 关于坐标原点 O对称， 可得 QAB 的面积是 OAB 的面积的两倍， 再由当 1 2 k 时， OAB 的面积取到最大值 2 2 a ，可得 OA OB ，进而可得原点 O 到直线 l 的距离，再由点到直线的距离 公式，以及（ I）的结果，即可求解 . 【详解】 （ I）由 2 2 2 2 , 1 y kx m x y a b ，得 2 2 2 2 2 2 2 22 0a k b x a kmx a m b ， 则 22 2 2 2 2 2 22 4 0a km a k b a m b 化简整理，得 2 2 2 2m a k b ； （Ⅱ）因点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称，故 QAB 的面积是 OAB 的面积的两倍 . 所以当 1 2 k 时， OAB 的面积取到最大值 2 2 a ，此时 OA OB ， 从而原点 O 到直线 l 的距离 2 ad ， 又 2 1 m d k ，故 2 2 2 1 2 m a k . 再由（ I ），得 2 2 2 2 2 1 2 a k b a k ，则 2 2 2 21 bk a . 又 1 2 k ，故 2 2 2 2 11 4 bk a ，即 2 2 3 8 b a ， 从而 2 2 2 2 2 51 8 c be a a ，即 10 4 e . 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定 理、判别式等求解，属于中档试题 . 18．已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，直线 l 的参数方程为 31 2 1 2 x t y t （ t 为参数） . （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ 2）已知点 1,0M ，直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，求 | |MA MB‖ ‖. 【答案】 (1) 2 22 4x y . 3 3 3 3 y x (2) 3 【解析】 【分析】 （ 1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解； （ 2）设 ,A B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，将直线 l 的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系， 即可求解 . 【详解】 （ 1）对于曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，可得 2 4 cos ， 又由 cos sin x y ，可得 2 2 4x y x ，即 2 22 4x y ， 所以曲线 C 的普通方程为 2 22 4x y . 由直线 l 的参数方程为 31 2 1 2 x t y t （ t 为参数），消去参数可得 3 1 3 y x ，即 直线 l 的方程为 3 ( 1) 3 y x ，即 3 3 3 3 y x . （ 2）设 ,A B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，将直线 l 的参数方程 31 2 1 2 x t y t （ t 为参数）代入曲线 2 2: 4 0C x y x 中，可得 2 23 1 31 4 1 0 2 4 2 t t t . 化简得： 2 3 3 0t t ，则 1 2 3t t . 所以 1 2 1 2|| | | || || | | || 3MA MB t t t t . 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题 . 19．已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 sin( ) sin 2 B Ca A B c . （ 1）求 A ； （ 2）若 ABC 的面积为 3 ， 5b c ，求 ABC 的周长 . 【答案】 （1） 60o ；（2） 13 5. 【解析】 【分析】 （ 1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果； （ 2）由面积公式，可以求得 bc ，再利用余弦定理，即可求得 a ，结合 b c 即可求得周长 . 【详解】 （ 1）由题设得 sin cos 2 Aa C c . 由正弦定理得 sin sin sin cos 2 AA C C ∵ (0, )C ∴ sin 0C sin cos 2 A A ， 2sin cos cos 2 2 2 A A A 所以 cos 0 2 A 或 1sin 2 2 A . 当 cos 0 2 A ， A （舍） 故 1sin 2 2 A ， 解得 60A . （ 2） 1 sin 3 2ABCS bc A ，从而 4bc . 由余弦定理得 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc 2 2( ) 3 ( ) 12 13b c bc b c . 解得 13a . ∴ 13 5a b c . 故三角形 ABC的周长为 13 5 . 【点睛】 本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础 题 . 20．已知函数 4 1 2f x x x . （ 1）解不等式 2f x ； （ 2）记函数 5 2y f x x 的最小值为 k ，正实数 a 、 b 满足 6 9 ka b ，求证： 6 2 6b a ab . 【答案】 （1） 3 5, , 5 3 U ；（2）见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）分 2x≤ 、 12 4 x 、 1 4 x 三种情况解不等式 2f x ，综合可得出原不等式的的解集； （ 2）利用绝对值三角不等式可求得函数 5 2y f x x 的最小值为 9k ，进而可得出 6 1a b ， 再将代数式 6 1 a b 与 6a b 相乘，利用基本不等式求得 6 1 a b 的最小值，进而可证得结论成立 . 【详解】 （ 1）当 2x≤ 时，由 2f x ，得 1 4 2 2x x ，即 1 3 0x ，解得 1 3 x ，此时 2x≤ ； 当 12 4 x 时，由 2f x ，得 1 4 2 2x x ，即 5 3 0x ，解得 3 5 x ，此时 32 5 x ； 当 1 4 x 时，由 2f x ，得 4 1 2 2x x ，即 3 5 0x ，解得 5 3 x ，此时 5 3 x . 综上所述，不等式 2f x 的解集为 3 5, , 5 3 U ； （ 2） 5 2 4 1 4 2 4 1 4 8 4 1 4 8 9y f x x x x x x x x ， 当且仅当 4 1 4 8 0x x 时取等号，所以 9k ， 6 1a b . 所以 6 1 6 1 36 366 6 6 12 2 24b a b aa b a b a b a b a b ， 当且仅当 36b a a b ，即 1 2 a ， 1 12 b 时等号成立，所以 6 1 24 a b . 所以 6 1 2 6 a b ，即 6 2 6b a ab . 【点睛】 本题考查含绝对值不等式的求解， 同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立， 涉及绝对值三角不等式 的应用，考查运算求解能力，属于中等题 . 21．在极坐标系中，已知曲线 C 的方程为 r （ 0r ），直线 l 的方程为 cos 2 4 .设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 2 7AB ，求 r 的值 . 【答案】 3r 【解析】 【分析】 先将曲线 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 可得圆心到直线的距离， 再由勾股定理， 计算即得 . 【详解】 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy ， 可得曲线 C： r （ 0r ）的直角坐标方程为 2 2 2x y r ，表示以原点为圆心，半径为 r 的圆 . 由直线 l 的方程 cos 2 4 ，化简得 cos cos sin sin 2 4 4 ， 则直线 l 的直角坐标方程方程为 2 0x y . 记圆心到直线 l 的距离为 d，则 2 2 2 d ， 又 2 2 2 2 ABr d ，即 2 2 7 9r ，所以 3r . 【点睛】 本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题 . 22．已知椭圆 2 2 2 2: 1 0x yE a b a b 的右焦点为 2F ，过 2F 作 x 轴的垂线交椭圆 E 于点 A（点 A在 x 轴上方） ，斜率为 0k k 的直线交椭圆 E 于 ,A B 两点，过点 A作直线 AC 交椭圆 E 于点 C ，且 AB AC ，直线 AC 交 y 轴于点 D . （ 1）设椭圆 E 的离心率为 e ，当点 B 为椭圆 E 的右顶点时， D 的坐标为 2 10, 3 b a a ，求 e的值 . （ 2）若椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y ，且 2 2 k ，是否存在 k 使得 2 AB AC 成立？如果存在，求 出 k 的值；如果不存在，请说明理由 . 【答案】 （1） 1 2 e ；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】 （ 1）写出 2 , bA c a ，根据 AD AB ，斜率乘积为 -1，建立等量关系求解离心率； （ 2）写出直线 AB 的方程，根据韦达定理求出点 B 的坐标， 计算出弦长 AB ，根据垂直关系同理可得 AC ， 利用等式 2 AB AC 即可得解 . 【详解】 （ 1）由题可得 2 , bA c a ，过点 A作直线 AC 交椭圆 E 于点 C ，且 AB AC ，直线 AC 交 y 轴于点 D . 点 B 为椭圆 E 的右顶点时， D 的坐标为 2 10, 3 b a a ， AB AC 即 AD AB ， 1AD ABk k ， 2 2 21 3 1 0 b b ba a a a c c a 化简得： 2 22 3 0c ac a ， 即 22 3 1 0e e ，解得 1 2 e 或 1e （舍去） ， 所以 1 2 e ； （ 2）椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y ， 由（ 1）可得 2 21, , : 2 2 A AB y kx k ， 2 2 k 联立 2 2 2 1 2 2 x y y kx k 得： 2 2 22 2 21 2 2 2 2 1 0k k xx k kk ， 设 B 的横坐标 Bx ，根据韦达定理 2 2 2 22 1 2 11 B kk k x ， 即 2 2 2 2 2 1 1 2B k kx k ， 2 2 k ， 所以 2 2 21 1 2 2 2 21 1B kA k kB k x ， 同理可得 2 2 2 21 1 2 1 2 12 2 21 22 1 kkAC kk k k 若存在 k 使得 2 AB AC 成立， 则 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2 2 k kk k k k ， 化简得： 22 2 0k k ， ，此方程无解， 所以不存在 k 使得 2 AB AC 成立 . 【点睛】 此题考查求椭圆离心率， 根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题， 关键在于熟练掌握解析几何常用方法， 尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用 . 23．已知函数 2( ) 5 2lnf x x x x. （ 1）求 ( )f x 的极值； （ 2）若 1 2 3f x f x f x ，且 1 2 3x x x ，证明： 1 2 1x x . 【答案】 （1） ( )f x 极大值为 9 2ln 2 4 ；极小值为 6 2ln 2 ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （ 1）对函数 ( )f x 求导 ,进而可求出单调性 ,从而可求出函数的极值 ; （ 2）构造函数 1( ) ( ) (1 ), 0, 2 F x f x f x x ,求导并判断单调性可得 ( ) 0F x ,从而 ( ) (1 )f x f x 在 10, 2 上恒成立 ,再结合 1 10, 2 x , 2 1 11f x f x f x ,可得到 2 11x x ,即可证明结论成立 . 【详解】 （ 1）函数 ( )f x 的定义域为 0, , 2 (2 1)( 2)( ) 2 5 ( 0)x xf x x x x x , 所以当 10, (2, )2x U 时 , ( ) 0f x ;当 1 ,2 2 x 时 , ( ) 0f x , 则 ( )f x 的单调递增区间为 10, 2 和 (2, ) ,单调递减区间为 1 ,2 2 . 故 ( )f x 的极大值为 1 1 5 1 92ln 2ln 2 2 4 2 2 4 f ; ( )f x 的极小值为 (2) 4 10 2ln 2 6 2ln 2f . （ 2）证明 :由（ 1）知 1 2 3 10 2 2 x x x , 设函数 1( ) ( ) (1 ), 0, 2 F x f x f x x , 则 22( ) 5 2ln 1 5 1 2ln 1F x x x x x x x , 2(2 1)( 2) (2 1)( 1) 2(2 1)( ) 1 (1 ) x x x x xF x x x x x , 则 ( ) 0F x 在 10, 2 上恒成立 ,即 ( )F x 在 10, 2 上单调递增 , 故 1( ) 2 F x F , 又 1 1 1 0 2 2 2 F f f ,则 1( ) ( ) (1 ) 0, 0, 2 F x f x f x x , 即 ( ) (1 )f x f x 在 10, 2 上恒成立 . 因为 1 10, 2 x ,所以 1 11f x f x , 又 2 1f x f x ,则 2 11f x f x , 因为 2 1 1,1 , 2 2 x x ,且 ( )f x 在 1 ,2 2 上单调递减 , 所以 2 11x x ,故 1 2 1x x . 【点睛】 本题考查函数的单调性与极值 ,考查了利用导数证明不等式 ,构造函数是解决本题的关键 ,属于难题 .