四川省成都市成华区石室中学初中学校2020-2021学年八年级上学期期中数学试题 15页

试卷第 1页，总 15页 四川省成都市成华区石室中学初中学校 2020-2021 学年八年 级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若一个凸多边形的内角和为 720°，则这个多边形的边数为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 设这个多边形的边数为 n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方 程即可． 【详解】 设这个多边形的边数为 n，由多边形的内角和是 720°，根据多边形的内角和定理得（n －2）180°=720°．解得 n=6.故选 C. 【点睛】 本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 2．如图，长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，∠BAF=600，那 么∠DAE 等于（ ） A．45° B．30 ° C．15° D．60° 【答案】C 【分析】 先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果． 【详解】 解：∵ABCD 是长方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAF=60°， ∴∠DAF=30°， ∵长方形 ABCD 沿 AE 折叠， 试卷第 2页，总 15页 ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE=∠EAF= 1 2 ∠DAF=15°． 故选 C． 【点睛】 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个 图形是全等三角形，重合的部分就是对应量． 3．要使分式 1 3a  有意义，则 a 的取值应满足（ ） A． 3a   B． 3a   C． 3a   D． 3a  【答案】B 【分析】 直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案． 【详解】 解：要使分式 1 3a  有意义， 则 a +3≠0， 解得： a ≠-3． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键． 4．计算  2 x yxy x xy   的结果为（ ） A． 1 y B． 2x y C． 2x y D． xy 【答案】C 【分析】 根据分式的减法和除法可以解答本题 【详解】 试卷第 3页，总 15页       2 2 = = = x yxy x xy xyx y x x y xyx x y x y x y          故答案为 C 【点睛】 本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 5．如图，在 △ ABC 中，过点 A 作射线 AD∥BC，点 D 不与点 A 重合，且 AD≠BC，连 结 BD 交 AC 于点 O，连结 CD，设 △ ABO、 △ ADO、 △ CDO 和 △ BCO 的面积分别为 1 2 3S S S、 、 和 4S ,则下列说法不正确的是（ ） A． 1 3S S B． 1 2 3 2S S S S   C． 1 4 3 4S S S S   D． 1 2 3 4S S S S+ = + 【答案】D 【分析】 根据同底等高判断 △ ABD 和 △ ACD 的面积相等，即可得到 1 2 3 2S S S S   ，即 1 3S S ， 同理可得 △ ABC 和 △ BCD 的面积相等，即 1 4 3 4S S S S   . 【详解】 ∵ △ ABD 和 △ ACD 同底等高， ,ABD ACDS S   , 1 2 3 2S S S S   ， 即 1 3S S △ ABC 和 △ DBC 同底等高， ∴ ABC DBCS S  ， ∴ 1 4 3 4S S S S   试卷第 4页，总 15页 故 A,B,C 正确，D 错误. 故选 D. 【点睛】 考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键. 6．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P， 小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】 过两把直尺的交点 P 作 PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得 PE=PF，再根据角的内部到 角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得 OP 平分∠AOB. 【详解】 如图，过点 P 作 PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ∴PE＝PF， ∴OP 平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 试卷第 5页，总 15页 故选 B. 【点睛】 本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线 上；熟练掌握定理是解题关键. 7．已知 2 4 1 0x x   ，则代数式 22 ( 3) ( 1) 3x x x    的值为（ ） A． 3 B． 2 C．1 D． 1 【答案】A 【分析】 先将原代数式进行去括号化简得出 2 4 2x x  ，然后根据 2 4 1 0x x   得出 2 4 1x x  ，最后代入计算即可. 【详解】 由题意得： 22 ( 3) ( 1) 3x x x    = 2 4 2x x  ， ∵ 2 4 1 0x x   ，∴ 2 4 1x x  ， ∴原式= 2 4 2x x  =1+2=3. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了整式的化简求值，整体代入是解题关键. 8．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A．   22 2 4a a a    B．  ab ac d a b c d     C．  22 9 3x x   D． 2 2 ( )a b ab ab a b   【答案】D 【分析】 根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可. 【详解】 解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误; B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误; C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误. D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确; 故选 D. 试卷第 6页，总 15页 【点睛】 本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式. 9．如图，在 ABC 中， 4AB  ， 3AC  ， 30BAC  ，将 ABC 绕点 A 按逆时 针旋转 60得到 1 1AB C ，连接 1BC ，则 1BC 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 由旋转性质得∠CAC1=600,AC=AC1=3，在 Rt⊿ABC1 中， BC1= 2 2 2 2 1 4 3 5AB AC    . 【详解】 因为 ABC 绕点 A 按逆时针旋转 60得到 1 1AB C ， 所以∠CAC1=600,AC=AC1=3 所以∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=300+600=900, 所以，在 Rt⊿ABC1 中， BC1= 2 2 2 2 1 4 3 5AB AC    故选 C 【点睛】 考核知识点：旋转性质，勾股定理.运用旋转性质是关键. 10．式子： 2 2 2 1 2 3, ,2 3 4x y x xy 的最简公分母是（ ） A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2 【答案】C 【分析】 分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将 它们相乘即可求得． 【详解】 试卷第 7页，总 15页 式子： 2 2 2 1 2 3, ,2 3 4x y x xy 的最简公分母是：12 x2y2． 故选：C． 【点睛】 本题考查最简公分母的定义与求法． 11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原 空地一边减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的 边长．设原正方形的空地的边长为 xm，则可列方程为（ ） A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 【答案】C 【详解】 试题分析：可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根 据长方形的面积公式列方程可得  -1 -2x x =18． 故选 C． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 12．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点（A、P、A′不共 线），下列结论中错误的是（ ） A．△AA′P 是等腰三角形 B．MN 垂直平分 AA′、CC′ C．△ABC 与△A′B′C′面积相等 D．直线 AB，A′B′的交点不一定在直线 MN 上 【答案】D 【分析】 据对称轴的定义，△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任意一点，可以判 试卷第 8页，总 15页 断出图中各点或线段之间的关系． 【详解】 解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任意一点， ∴△AA′P 是等腰三角形，MN 垂直平分 AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故 A、 B、C 选项正确， 直线 AB，A′B′关于直线 MN 对称，因此交点一定在 MN 上，故 D 错误， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了轴对称性质的理解和应用，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题 13．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c 为奇数，则 c=_____． 【答案】7 【分析】 根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边求出 c 的取值范围，再根据 c 是奇数求出 c 的值． 【详解】 ∵a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得 a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 6 8c  ， 又∵c 为奇数， ∴c=7， 故答案为 7． 【点睛】 本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 14．当 x＝_____时，分式 2 9 3 x x   的值为零． 【答案】3 【分析】 分式的值为零的条件：分子为 0，分母不为 0，据此即可求出 x 的值． 【详解】 试卷第 9页，总 15页 ∵分式 2 9 3 x x   的值为零， ∴x2-9=0，且 x+3≠0， 解得：x=3， 故答案为：3 【点睛】 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺一不可． 15．当 x＝_____时，分式 2 2 x x   的值为零． 【答案】2 【解析】 由题意得： 2 0{ 2 0 x x     ，解得：x=2. 故答案为 2 16．因式分解： 3 2 22x x y xy ﹣ __________． 【答案】  2x x y 【分析】 先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】 解：原式    22 22x x xy y x x y     ， 故答案为  2x x y 【点睛】 本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键. 17．若 4 4 2 2 2 22 +6a b a a b b    ，则 2 2a b  ______． 【答案】3 【分析】 先对原式进行变形得(a2+b2) 2-(a2+b2)-6=0,经过观察后又可变为(a2+b2-3)(a2+b2+2)=0,又 a2+b2≥0,即可得出本题的结果. 【详解】 由 4 4 2 2 2 22 +6a b a a b b    变形后 (a2+b2) 2-(a2+b2)-6=0， 试卷第 10页，总 15页 (a2+b2-3)(a2+b2+2)=0， 又 a2+b2≥0, 即 a2+b2=3, 故答案为 3. 【点睛】 此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则. 18．已知 2 213 9 27 3m   ，求 m  __________． 【答案】8 【分析】 根据幂的乘方可得 29 3m m= ， 327 3 ，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】 ∵ 2 213 9 27 3m   ， 即 2 2 3 213 3 3m = ， ∴ 2 2 3 21m+ + = ， 解得 8m  ， 故答案为：8． 【点睛】 本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解 答本题的关键． 19．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正 数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是_____． 【答案】1 【分析】 先把每个命题的逆命题写出来，再判断逆命题是否成立，数出逆命题成立的个数即可得 到答案． 【详解】 解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，不成立（例如：等边三角形中的三 个角都相等，但不是对顶角）； ②全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的三角形是全等三角形，成立 （SSS）; ③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题为：乘积是正数的两个实数是都是正 试卷第 11页，总 15页 数，不成立，因为两个负数的乘积也是正数； 因此， 只有②正确， 故答案是 1. 【点睛】 本题主要考查了命题的逆命题的定义（把一个命题的题设和结论互换可得到其逆命题）， 能正确写出逆命题是解题的关键． 20．如果一个正多边形每一个内角都等于 144°，那么这个正多边形的边数是____． 【答案】10 【分析】 设正多边形的边数为 n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】 解：设正多边形的边数为 n， 由题意得，  2 180n n   =144°， 解得 n=10． 故答案为 10． 【点睛】 本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键． 三、解答题 21．先化简，再求值： 2 4 2(1 )a a a    ，其中 5a  ． 【答案】 2a  ，7 【分析】 根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】 解： 2 4 21a a a       2 4 2( )a a a a a    ( 2)( 2) 2 a a a a a     2a  ， 试卷第 12页，总 15页 当 5a  时，原式 5 2 7   ． 【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 22．如图，在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 AD＝BE，BD、CE 交于点 P，CF⊥BD，垂足为点 F． （1）求证：BD＝CE． （2）若 PF＝3，求 CF 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）3 3 ． 【分析】 （1）由“SAS”可证 △ ABD≌△BCE，可得 BD=CE， （2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠BCE，可求∠CPF=60°，由直角三角形的性质 和勾股定理可求解． 【详解】 证明：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝60°， 在 △ ABD 和 △ BEC 中， AD BE BAD EBC AB BC       ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）由（1）可知，∠ABC＝60°， △ ABD≌△BCE， ∴∠ABD＝∠BCE， ∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠BCE+∠CBD＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠FPC＝180°﹣120°＝60°， 试卷第 13页，总 15页 ∵CF⊥BD， ∴△CPF 为直角三角形， ∴∠FCP＝30°， ∴CP＝2PF， ∵PF＝3， ∴CP＝6， ∴CF＝ 2 2 36 9 3 3CP PF    ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角 形的判定与性质． 23．解方程： 2 x 2 1x 1 x 1    【答案】无解 【分析】 去分母化为整式方程，再求解． 【详解】 解：最简公分母为：（x+1）（x-1）， 去分母得： x（x+1）-2=（x+1）（x-1）， 去括号得： x2+x-2=x2-1， 移项合并得： x=1， 经检验：x=1 时原方程的增根， 故无解． 【点睛】 本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解法，注意检验． 24．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后 果然供不应求．商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全 试卷第 14页，总 15页 部售完后利润率不低于 25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】（1）120 件；（2）150 元． 【解析】 试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫可设为 2x 件，由已知可得，，这种衬衫贵 10 元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少 为 a 元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式 解答即可. 试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则第二批衬衫是 2x 件. 由题意可得： 28800 13200 102x x   ，解得 120x  ，经检验 120x  是原方程的根. （2）设每件衬衫的标价至少是 a 元. 由（1）得第一批的进价为：13200 120 110  （元/件），第二批的进价为：120（元） 由题意可得：  120 ( 110) 240 50 ( 120) 50 (0.8 120) 25% 42000a a a           解得：350 52500a  ，所以， 150a  ，即每件衬衫的标价至少是 150 元. 考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用. 25．如图所示，P，Q 为△ABC 边上的两个定点，在 BC 上求作一点 R，使△PQR 的周 长最小． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：作出点 P 关于 BC 的对称点 P′，连接 QP′交 BC 于 R，那么△PQR 的周长最 小 试题解析：(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P′， (2)连接 P′Q，交 BC 于点 R，则点 R 就是所求作的点(如图所示)． 试卷第 15页，总 15页