北师大版七年级上册-第07讲-有理数的乘法和除法运算（提高）-教案 12页

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第 05 讲---有理数的乘法和除法运算 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 掌握有理数的乘法法则以及运算律； 2 掌握除法运算法则； 3 提高学生的计算能力。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）有理数的乘法 1、有理数乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）任何数与 0 相乘，积仍为 0. 2、倒数 如果两个有理数的乘积为 1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数. 3、乘法运算律 2 1)乘法交换律：ab=ba. 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)． 3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. （二）有理数的除法 1、有理数的除法法则 1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0 除以任何一个非 0 的数都得 0 。 注意：0 不能作除数 2、除以一个数等于乘这个数的倒数. 典例分析 考点一：计算 例 1、（1）3×（-4） （2）（-6）×（-2） （3） 2 3( )3 4   （4）（-0.5）×（-8） 【解析】（1）异号得负，原式= -12 （2）同号得正，原式= 12 （3）异号得负，原式= - 1 2 （4）同号得正，原式= 4 例 2、 1 3 1 486 4 12        【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算． 解： 1 3 1 486 4 12        1 3 1= 48 48 48 8 36 4 246 4 12                      3 例 3、 1 5 5 1 5 51 22 7 7 2 2 7                 （用简便方法计算） 【解析】分析：提取 5 7 ，逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 解： 1 5 5 1 5 51 22 7 7 2 2 7                 = 1 5 5 1 5 51 + 22 7 7 2 2 7         = 5 1 1 51 27 2 2 2       5 3= 7 2  15=14 例 4、计算： 1 （﹣16.8）÷（﹣3）； ③ 5 4 4 5             ； 2 1 1+5 33 3            ； ④    5+1.25 0.5 8        ； ⑤﹣18÷（+3.25）÷ 12 4     ⑥ 3 1 1( ) ( 3 ) ( 1 ) 35 2 4       【解析】分析：①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 解答：①原式=16.8÷3=16.8× 1 3 =5.6； ②原式= 5 4 5 5 25= =4 5 4 4 16   ； ③原式= 16 10 16 3 8 3 3 3 10 5       ； ④原式=1.25÷0.5÷ 5 8 = 5 824 5   =4； ⑤原式=18÷3.25÷ 12 4 = 4 418 13 9   = 32 13 ； ⑥原式=（－ 3 5 ）×（- 7 2 ）×（- 4 5 )× 1 3 = - 3 5 × 7 2 × 4 5 × 1 3 = - 14 25 4 考点二：倒 数 例 1、【2013•永州】﹣ 1 2013 的倒数为（ ） A． 1 2013 B．﹣ 1 2013 C． 2013 D．﹣2013 【解析】分析：根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答． 解：∵（﹣ 1 2013 ）×（﹣2013）=1，∴﹣ 1 2013 的倒数为﹣2013．故选 D． 例 2、【2009•路南区一模】若 a 与 b 互为倒数，则 3﹣5ab= ﹣2 ． 【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为 1，直接求出 ab 的值，从而得到 3﹣5ab 的值． 解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2． 例 3、a，b 是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果 a﹣b=0，那么 a 与 b 的关系是 相同 （2）如果 a+b=0，那么 a 与 b 的关系是 互为相反数 （3）如果 a×b=1，那么 a 与 b 的关系是 互为倒数 （4）如果 1a b  ，那么 a 与 b 的关系是 相等，均不为 0 （5）已知 a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，|m|=2，则式子 +ma b cdm   的值为 1 或﹣3 ． 【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可； （4）两数的比值为 1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于 0； （5）根据题意先求出 a+b、cd 以及 m 的值，然后把它们的值分别代入式子即可． 解答：（1）相同，故答案为相同； （2）互为相反数，故答案为互为相反数； （3）互为倒数，故答案为互为倒数； （4）相等，均不为 0，故答案为相等且均不等于 0； （5）∵和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当 m=2 时，则式子 +ma b cdm   =0 ﹣1+2=1；当 m=﹣2 时，则式子 +ma b cdm   =0﹣1﹣2=﹣3；故答案为 1 或﹣3． 5 考点三：有理数乘除与绝对值综合 例 1、已知|x|=3，|y|=7，且 xy＜0，则 x+y 的值等于（ ） A． 10 B． 4 C．﹣4 D． 4 或﹣4 【解析】分析：首先根据绝对值的性质可得 x=±3，y=±7，再根据条件 xy＜0 可得此题有两种情况∴① x=3，y=﹣7，②x=﹣3，y=7，再分别计算出 x+y 即可． 解：∵|x|=3，|y|=7，∴x=±3，y=±7， ∵xy＜0，∴①x=3，y=﹣7，x+y=﹣4；②x=﹣3，y=7，x+y=4，故选：D． 例 2、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则 a+b（ ） A．大于 0 B．小于 0 C．小于或等于 0 D．无法确定 【解析】分析：首先根据 ab＜0，可判断 a、b 为异号，再根据 a＞0，可得 b＜0，因为|a|＞|b|，也就是 正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可 得 a+b＞0． 解：∵ab＜0，∴a、b 为异号，∵a＞0，∴b＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b＞0，故选：A． 例 3、若|m|=3，|n|=2，且 n  ＜0，则 m+n 的值是（ ） A． 1 或﹣1 B． 5 或﹣5 C． 5 或﹣1 D． 1 或﹣5 【解析】分析： 根据题意得到 m、n 的值，再根据 n  ＜0 可得 m、n 为异号，再计算出 m+n 的值即可． 解：∵|m|=3，|n|=2，∴m=±3，n=±2，∵ n  ＜0， ∴①m=3，n=﹣2，m+n=1，②m=﹣3，n=2，m+n=﹣1，故选：A． 例 4、如果 a＜0 时， 1a a  的值是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D．不能确定 【解析】分析：根据绝对值的性质，可知当 a＜0 时，|a|=﹣a，从而得出 1a a  的值． 解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∴ 1a a  =﹣1+1=0．故选 A． 6 考点四：含字母式子符号的判断 例 1、如果 ab＜0，那么下列判断正确的是（ ） A． a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C． a≥0，b≤0 D．a＜0，b＞0 或 a＞0，b＜0 【解析】分析：根据有理数的乘法符号法则作答． 解：∵ab＜0，∴a 与 b 异号，∴a＜0，b＞0 或 a＞0，b＜0．故选 D． 例 2、若 a+b＜0，且 ab＞0，则（ ） A． a、b 都为正数 B． a、b 都为负数 C． a、b 一个为正数，一个为负数 D． a、b 中有一个为 0 【解析】分析：有条件 ab＞0 可以得出 a、b 同号，再由条件 a+b＜0 通过推理可以得出结论． 解：∵ab＞0，∴a、b 同号，∴a、b 同为正或 a、b 同为负，当 a、b 同为正时，则 a+b＞0，与条件不符， 当 a、b 同为负时，则 a+b＜0，故成立，故 B 答案正确．故选 B 例 3、如果 a＜0，b＜0，则下列各式正确的是（ ） A． a﹣b＜0 B． a+b＞0 C． ab＞0 D． a b ＜0 【解析】分析：已知 a＜0，b＜0，可确定它们的和、积、商的符号，差的符号无法确定． 解：A、因为 a＜0，b＜0，a﹣b 的符号无法确定，错误； B、因为 a＜0，b＜0，a+b＜0，错误； C、因为 a＜0，b＜0，ab＞0，正确； D、因为 a＜0，b＜0， a b ＞0，错误．故选 C． 例 4、两个有理数 a，b 在数轴上的位置如图，下列四个式子中运算结果为正数的式子是（ ） A． a+b B． a﹣b C． ab D． a b 【解析】分析： 根据数轴判断出 a、b 的正负情况以及绝对值的大小，然后根据有理数的加、减、乘、 除运算进行符号判断即可． 解：根据题意，a＜0 且|a|＜1，b＞且|b|＞1， ∴A、a+b 是正数，故本选项正确； B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误； C、ab 是负数，故本选项错误； D、 a b 是负数，故本选项错误．故选 A． 7 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、计算： 1 1 1+ 246 4 2      ． 【解析】解： 1 1 1+ 246 4 2      1 1 1= 24+ 24 24 4 6 12 26 4 2          2、  4 15 6 5 4         【解析】解：原式=  4 15 6 5 4               1 15 6 5 6 1 6 65 5                       3、计算：（﹣5）×8×（ 415  ）×（﹣1.25） 【解析】解：原式=﹣40× 9 5 ×1.25=﹣72×1.25=﹣90． 4、已知：|x|=3，|y|=2，且 xy＜0，则 x+y 的值为等于 ±1 ． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2， ∵xy＜0，∴xy 符号相反，①x=3，y=﹣2 时，x+y=1；②x=﹣3，y=2 时，x+y=﹣1． 5、【2012•大丰市二模】若 a＜b＜0，则 ab 与 0 的大小关系是（ ） A． ab＜0 B． ab=0 C． ab＞0 D．以上选项都有可能 【解析】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0．故选 C． 6、已知三个有理数 m，n，p 满足 m+n=0，n＜m，mnp＜0，则 mn+np 一定是（ ） A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 【解析】解：∵m+n=0，∴m，n 一定互为相反数；又∵n＜m，mnp＜0，∴n＜0，p＞0，m＞0， ∴mn＜0，np＜0，∴mn+np 一定是负数．故选 A． 8 7、若 0ab c  ，且 a，b 异号，则 c 的符号为（ ） A．大于 0 B．小于 0 C．大于等于 0 D．小于等于 0 【解析】解：∵a，b 异号，∴ab＜0，∵ 0ab c  ，∴c＞0．故选 A． 8、已知 a．b 在数轴上的位置如图，则下面结论正确的是（ ） A． a﹣b＞0 B． a﹣b＜0 C． 0a b  D． ab＞0 【解析】解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，所以 A 选项正确； a﹣b＜0， 0a b  ，ab＜0，所以 B、C、D 三选项错误．故选 A． ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1 或﹣2+3=1． 9、已知|x|=4，|y|= 1 2 ，且 xy＜0，则 x y 的值等于 ． 【解析】解：∵|x|=4，|y|= 1 2 ，∴x=±4，y=± 1 2 ；又∵xy＜0，∴x=4，y=﹣ 1 2 或 x=﹣4，y= 1 2 则 x y =﹣8． 10、﹣2 的倒数是（ ） A．﹣ 1 2 B． 1 2 C．﹣2 D． 2 【解析】解：﹣2 的倒数是﹣ 1 2 ．故选 A． 11、已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，|m|=3，求 +ma b cdm   的值． 【解析】解：∵a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当 m=3 时，原式=0﹣1+3=2； 当 m=﹣3 时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2 或﹣4．  课后反击 1、【2005•长沙】己知 a，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A． a＞b B． ab＜0 C． b﹣a＞0 D． a+b＞0 9 【解析】解：根据数轴，得 b＜a＜0．A、正确；B、两个数相乘，同号得正，错误； C、较小的数减去较大的数，差是负数，错误；D、同号的两个数相加，取原来的符号，错误．故选 A． 2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 【解析】解：根据数轴可知 b＜﹣1＜0＜a＜1．∴ab＜0，|a|＜|b|，a+b＜0，a﹣b＞0．故正确的只有 C． 3、如果 a+b＞0，a＜0，ab＜0．那么（ ） A． a，b 异号．且 a＞b B． a，b 同号，且 a＜b C． a，b 异号，且|a|＞|b| D．a，b 异号，且|a|＜|b| 【解析】解：∵ab＜0，∴a，b 为异号，∵a＜0，∴b＞0，∵a+b＞0，∴|b|＞|a|．故选：D． 4、已知 a、b、c、d 是互不相等的整数，且 abcd=6，则 a+b+c+d 的值等于（ ） A．﹣1 或 1 B．﹣1 或﹣5 C．﹣3 或 1 D．不能求出 【解析】解：由题意得：这四个数小于等于 6，且互不相等． 再由乘积为 6 可得，四个数中必有 2 和﹣3，或﹣2，3． ∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或 1，﹣1，﹣2，3 则和为﹣1 或 1．故选 A． 5、已知|a|=3，|b|=4，ab＞0，则 a﹣b= ﹣1 或 1 ． 【解析】若 a，b 都大于 0 则：a=3，b=4，a﹣b=﹣1；若 a，b 都小于 0，则 a=﹣3，b=﹣4，a﹣b=1． 6、计算：﹣32× ． 【解析】解：原式=﹣ ×（32﹣11﹣21）=0． 7、如果 ， ，那么（ ） A． c＞0 B． ac＜0 C． ac≥0 D． c≤0 【解析】解：∵ ＜0，∴a、b 异号，∵ ＜0，∴b、c 异号，∴a、c 同号，∴ac＞0．故选 A． 10 8、 的倒数是（ ） A． B． C． D． 【解析】解：﹣1 =﹣ ，∵（﹣ ）×（﹣ ）=1，∴﹣1 的倒数是﹣ ．故选 C． 9、已知 a÷b=3，则（a﹣b）÷a 的值是（ ） A． B． 1 C． D． 0 【解析】解：∵a÷b=3，即 a b =3，∴a=3b，∴（a﹣b）÷a= 3 2 2 3 3 3 a b b b b a b b     ．故选 C． 10、、计算 （1）（﹣ ）×（﹣ ）×0× （2） （3）（ ﹣ ﹣ ）×（﹣24） 【解析】解：（1）原式=0； （2）原式=（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣4）=﹣（ × ×4）=﹣ ； （3）原式= ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）=﹣20+18+8=6； （4）原式=3×（﹣ ）× ×（﹣ ）=3× × × = 11、用简便方法计算： （1） （2） 1 1 9 12 3 1 13 2 12 6              ． 【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53× 1 4+2 5 ×1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8）， =1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415； （2） 1 1 9 12 3 1 13 2 12 6              = 7 7 21 6 3 2 12 7              ， = 7 6 7 6 21 6 3 7 2 7 12 7                        =﹣2+3 3 2  =3﹣ 13 2 =﹣ ． 11 13、已知 a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，x 绝对值为 2，求﹣2mn+ a b m n   ﹣x 的值． 【解析】解：∵a、b 互为相反数，∴a+b=0； ∵m、n 互为倒数，∴mn=1；∵x 的绝对值为 2，∴x=±2． 1 当 x=2 时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4； ② 当 x=﹣2 时，原式=﹣2+0+2=0． 直击中考 1、【2012 深圳】﹣3 的倒数是（ ） A．3 B．﹣3 C. 1 3 D． 【解析】乘积为 1 的两个数互为倒数，1÷（-3）= S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 2、几个数相乘,有一个因数为 0，积就为 0。 3、怎样求负数的倒数? （1）将分子、分母颠倒位置即可 p q 的倒数是 q p (p≠0,q≠0) （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数 )0(1  bbaba 名师点拨 1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方； 12 2、乘除运算莫着急；审清题目是第一； 3、除法变成乘法后；积的符号先确立； 4、计算结果别慌张；考个一百没问题。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是