北师大版七年级上册-第12讲-线与角（培优）-教案 15页

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第12讲---线与角授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解基本图形线与角，认识线与角的特征；②根据线与角的性质，结合实际应用，解决实际问题；③培养图形基本转化能力，为八、九年级复杂图形问题打基础。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）线：直线、射线、线段（1）线段：有两个端点，连接两个端点得到的图形就是线段。线段有两个端点且线段是有长度的。AB，表示为“线段AB”或“线段AB”。射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸。AB，表示为射线AB，端点字母表示在前，顺序不能颠倒。15 直线：将一条线段向两个方向无限延伸就形成了直线。直线没有端点，向两个方向无限延伸。AB，表示为“直线AB”或者“直线BA”（2）线段的性质：两点之间，线段最短。两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离。比较线段长短的方法：叠合法和度量法。线段的中点：线段上把线段分为两个长度相等的线段的点，叫做线段的中点。（二）角（1）角:角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边。（2）角的表示方法：（1）用三个字母表示，表示顶点的字母必须写在中间；（2）用一个大写字母，此时以该字母为顶点的角只有一个；（3）用一个小写希腊字母或者一个数字表示。（3）角的单位换算：1度的为1分，记作，即1度=60分，1分的为1秒，记作（4）方向角：方向角是用来描述物体所在方向的一个重要的量，它是物体所在的方向与正北、正南方向的夹角。（5）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分为两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。典例分析15 考点一：直线、射线、线段例1、下列说法中正确的是（　　）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的C．延长直线ABD．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线【解析】根据直线、射线、线段的表示方法、直线的公理、以及是否可以延长，可进行判断．A、射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误；B、延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误；C、直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误；D、根据直线的公理可知：两点确定一条直线，故此选项正确．故选D．例2、下列说法：①两条直线最多有一个公共点，②两条直线可能有无数个公共点，③两条线段可能有无数个公共点，④一条直线和一条线段可能有无数个公共点，其中正确的个数为（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】根据直线、线段的相交的交点个数进行判断即可．①两条直线最多有一个公共点，错误；②两条直线可能有无数个公共点，正确；③两条线段可能有无数个公共点，正确；④一条直线和一条线段可能有无数个公共点，正确．故选C例3、从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：站点BCDEFG到A市距离（千米）4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价（　　）种．A．14B．15C．17D．21【解析】分别求出BC、CD、DE、EF、FG的大小，得出AB=FG，BC=DE，CD=EF，根据票价是根据路程决定，分别求出从A、B、C、D、E、F出发的情况，再相加即可．解：∵①从A分别到B、C、D、E、F、G共6种票价，如图BC=805﹣445=360，CD=1135﹣805=330，DE=1495﹣1135=360，EF=1825﹣1495=330，15 FG=2270﹣1825=445，即AB=FG，BC=DE，CD=EF，②∵BC=360，BD=690，BE=1050，BF=1380，BG=1825=AF，∴从B出发的有4种票价，有BC、BD、BE、BF，4种；③∵CD=330，CE=690=BD，CF=1020，CG=1465∴从C出发的（除去路程相同的）有3种票价，有CD，CF，CG，3种；④∵DE=360=BC，DF=690=BD，DG=1135=AD，∴从D出发的（除去路程相同的）有0种票价；⑤∵EF=330=CD，EG=775，∴从E出发的（除去路程相同的）有1种票价，有EG，1种；⑥∵FG=445=AB，∴从F出发的（除去路程相同的）有0种票价；∴6+4+3+0+1+0=14，故选A．例4、平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为　　．【解析】根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可．解：∵平面内不同的两点确定1条直线，；平面内不同的三点最多确定3条直线，即=3；平面内不同的四点确定6条直线，即=6，∴平面内不同的n点确定（n≥2）条直线，∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，=15，解得n=﹣5（舍去）或n=6．故答案为：6．考点二：比较线段的长短例1、如图，A、B、C为同一直线上顺次三点，M、N分别是AB、BC的中点，则AC=　　MN．【解析】由M、N分别是AB、BC的中点，AB=2AM，BC=2BN，又有AM+BN=，从而解得．解：∵M、N分别是AB、BC的中点，∴AB=2AM=MB，BC=2BN=NC，15 又∵AM+BN=，∴AC=2（AM+BN）=2MN，故填2．例2、在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？　．【解析】线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．菁优网版权所有解：因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点A﹣点EF的中点（或CE的中点）﹣B点．例3、如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：楼号ABCDE大桶水数/桶3855507285他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（　　）A．B楼B．C楼C．D楼D．E楼【解析】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．解：设AB=a，BC=b，CD=c，DE=d．每户居民每次取一桶水．以点A为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d，以点B为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d，以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d，以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d，以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．故选C．考点三：角的度量与表示、角平分线15 例1、如图，以O为顶点的角共有　　个．【解析】以O为顶点的角的射线一共有5条射线，所以角的个数为5×（5﹣1）÷2=10个角，由此得出答案即可．解：5×（5﹣1）÷2=10个角．故答案为：10．此题考查数角的方法：从一个顶点引出n条射线，角的个数为n（n﹣1）．例2、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB=　　度．【解析】∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COB．解：由题意可得∠AOB+∠COD=180°，又∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠COB+∠BOD=∠AOD+∠COB，∵∠AOD=110°，∴∠COB=70°．故答案为：70．例3、如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠BOC=50°，则∠COD=（　　）A．50°B．25°C．100°D．75°【解析】利用角平分线的性质求得∠AOD=∠COD=∠AOC、∠AOC=∠BOC；然后由等量代换求得∠COD=∠BOC=25°．解：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD=∠COD=∠AOC；∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC，∴∠COD=∠BOC=25°．故选B．例4、如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东70°的方向上．（1）求从灯塔P看两轮船的视角（即∠APB）的度数？15 （2）轮船C在∠APB的角平分线上，则轮船C在灯塔P的什么方位？【解析】（1）根据∠APB=180°﹣∠APN﹣∠BPS即可求出；（2）根据PC平分∠APB求出∠APC，再根据∠NPC=∠APN+∠APC即可解答．解：（1）由题意可知∠APN=30°，∠BPS=70°所以：∠APB=180°﹣∠APN﹣∠BPS=80°；（2）∵PC平分∠APB，且∠APB=80°∵∠APC=∠APB=40°∴∠NPC=∠APN+∠APC=70°∴轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上．例5、计算：（1）48°39′+67°31′（2）22°36′﹣18°22′（3）21°17′×5（4）143°16′÷4【解析】解：（1）原式=116°10′；（2）原式=4°14′；（3）原式=106°25′；（4）原式=35°49′．例6、如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是　　时　　分．【解析】解：方法一：本题没有确定12点或6点的整点位置，需要先确定，才能解题，由图知：时针转动了1小格，又每一小格所对角的度数为6°，即时针转动了6°，由分针每转动1°，时针转动（）°，知，分针转动了6°÷=72°，又由每一大格所对角的度数为30°，故分针转了两大格，两小格，从而确定12点位置，由此知时针所指的位置在9时过一小格，故可知所显示的时刻是9时，分针转动了72°÷6°=12小格，每小格一分，故分针显示为12分．∴该钟面所显示的时刻是9时12分；方法二：由图可知，时针过1个大格线，走过×60=12分钟，15 所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练Ø课堂狙击1、在直线上取n个点，可以将直线分成　　条线段．菁优网版权所有【解析】根据图形数出线段的数量的规律条线段，即可．解：在直线上取n个点，可以将直线分成条线段，故答案为：．2、如图所示，图中共有线段（　　）A．5条B．7条C．9条D．11条【解析】根据线段的定义结合图形即可得出答案，注意一条线一条线的查．解：从点A到B，C，D有3条线段；从点D到B，C，E有3条线段；从点C到B，E有2条线段；从点E到B有1条线段．所以共9条线段．故选C．3、如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（　　）A．2条B．3条C．4条D．5条版权所有【解析】根据棋盘的边和对角线查找．解：如图，共有5条．故选D．4、如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米15 ．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解：以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）=4500+5m＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．5、如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，∠a和∠β的关系是（　　）A．∠α越来越小B．∠β越来越大C．∠α+∠β=180°D．∠α和∠β均保持不变【解析】由图形及互补的定义可知两角互补，即可得到答案．解：由题意可知，∠a+∠β=180°，故选：C．6、如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角∠C的度数是（　　）A．72°B．82°C．90°D．100°【解析】根据两直线平行同旁内角互补，两个方向角，可得∠CAB+∠CBA的关系，根据三角形的内角和，可得答案．解：∵两直线平行同旁内角互补，两个方向角，∴∠CAB+∠CBA+36°+54°=180°，∠CAB+∠CBA=90°．∵∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，∴∠C=180°﹣90°=90°，故选：C．7、计算：（1）96°﹣18°26′59′（2）83°46′+52°39′16″15 （3）20°30′×8（4）105°24′15″÷3【解析】解：（1）96°﹣18°26′59′=77°33′1″；（2）83°46′+52°39′16″=136°25′16″；（3）20°30′×8=164°；（4）105°24′15″÷3=35°8′5″．8、如图，OB是∠AOC的平分线，∠AOD=82°，∠AOB=30°，求∠COD．【解析】直接利用角平分线的定义得出∠BOC=∠AOB=30°，再利用∠COD=∠AOD﹣∠AOC求出答案．解：∵OB平分∠AOC，∴∠BOC=∠AOB=30°，即∠AOC=∠BOC+∠AOB=60°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=82°﹣60°=22°9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，如果AC=4cm，那么AD+DE=　　cm．【解析】由BD为角平分线，且DE垂直于BA，DC垂直于BC，利用角平分线性质得到DE=DC，则AD+DE=AD+DC=AC，由AC的长即可得出所求式子的值．解：∵∠ACB=90°，∴又BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE=DC，又∵AC=4cm，∴AD+DE=AD+DC=AC=4cm．故答案为：4．Ø课后反击1、如图，四边形ABCD，在四边形内找一点O，使得线段AO、BO、CO、DO的和最小．（画出即可，不写作法）【解析】确定点O的位置，根据“两点之间，线段最短”只需要连接AC，BD，交点即为所求．解：如图所示，连接AC，BD交点即为O．是根据两点之间线段最短原理．2、A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）A．1cmB．9cmC．1cm或9cmD．以上答案都不对【解析】由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A，C两点的距离．15 解：第一种情况：C点在AB之间上，故AC=AB﹣BC=1cm；第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．故选C．3、如图已知点D在点O的北偏西30°方向，点E在点O的西南方向，则∠DOE=　　．【解析】根据方向角的定义，然后利用角的和差即可求解．解：∠DOE=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案是：105°4、如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD=（　　）A．80°B．90°C．100°D．70°菁优网版权所有【解析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．解：因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC=∠A′BC，又因为BD为∠A′BE的平分线，所以∠A′BD=∠DBE，因为∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠DBE=180°，所以2∠A′BC+2∠A′BD=180°，所以∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=90°．故选B．5、如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有　　条线段，　　条射线，　　个小于平角的角．【解析】根据线段、射线、角的定义解题．解：图中有线段OD、OE、DE、OC、DC、EC计6条，射线OC、CA、OD、DE、EB计5条，小于平角的角有∠O、∠ODC、∠CDE、∠CED、∠CEB、∠ACE、∠ECD、∠DCO、∠ACD、∠OCE计10个．故填6；5；10．6、阅读下面文字，完成题目中的问题：阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是1部分；②当平面上画出一条直线时，就把平面分成2部分；③当平面上有两条直线时，最多把平面分成4部分；④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成7部分；…完成下面问题：（1）根据上述事实填写下列表格15 平面上直线的条数n0123…平面最多被分成几部分y…（2）观察上表中平面被分成的部分，他们的差是否有规律？如果有请你说出来．（3）平面被分成的部分也有规律，请你根据（2）中的结论说出“平面被分成几部分“的规律．（4）一块蛋糕要分给10位小朋友，你至少要切几刀？【解析】（1）原来平面是1部分，则画1条直线最多把平面分成1+1=2个部分，画2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分，画三条直线最多把平面分成了1+1+2+3=7部分，依此类推，平面上有n条直线时，最多把平面分成的部分是1+1+2+3+…+n=1=+1．（2）不难发现它们的差是对应的后边直线的条数；（3）根据（1）中的分析解答；（4）根据上述规律进行分析计算．解：（1）1，2，4，7；（2）有规律，个数上差依次为1，2，3；（3）当有n条直线时，平面被分成（1+1+2+3+…+n）部分，即（+1）部分；（4）根据题意，即是把平面分成10部分，则需要4刀．7、（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角；（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？【解析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．解：（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30=135°；（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，列方程得到：135﹣6x+0.5x=90，解得x=8，即10时38分时，时针和分针成直角；11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，15 根据题意得到：30+6y﹣0.5y=90，解得y=10，则当在11时10分时，时针和分针成直角．8、如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC．（1）如果∠AOB=90°，∠BOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠DOE；（3）从（1）、（2）的结果中，你发现了什么规律．【解析】（1）根据角平分线的定义，求得∠COE和∠COD的度数，结合图形，知∠DOE=∠COE﹣∠COD；（2）和（1）的计算方法一样；（3）综合（1）和（2）的结论，发现规律：∠DOE=∠AOB．解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=40°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°．又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×130°=65°，∠COD=∠BOC=×40°=20°．∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=65°﹣20°=45°；（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β．又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=（α+β），∠COD=∠BOC=β．∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=（α+β）﹣β=α+β﹣β=α；（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关，即∠DOE=∠AOB．直击中考1、（2009•云南）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=10，AC=6，则CD=15 　2　．【解析】因为点D是线段BC的中点，所以BD=DC=BC，观察图形可知，故CD=AB﹣AC﹣DB可求．解：∵BC=AB﹣AC=4，∴DB=2，∴CD=DB=2．2、（2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（　　）A．朝阳岩B．柳子庙C．迴龙塔D．朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置【解析】设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路程为13，A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；C、当旅游车停在迴龙塔时，总路程为13+8=21；D、当旅游车停在朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，故选：B．3、（2008•襄阳）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角　　个．【解析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），15 ∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、线段的性质：两点之间，线段最短。2、线段的中点：线段上把线段分为两个长度相等的线段的点，叫做线段的中点。3、方向角：方向角是用来描述物体所在方向的一个重要的量，它是物体所在的方向与正北、正南方向的夹角。4、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分为两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。名师点拨1、方向角：方向角是用来描述物体所在方向的一个重要的量，它是物体所在的方向与正北、正南方向的夹角。2、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分为两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。学霸经验Ø本节课我学到了Ø我需要努力的地方是15