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- 2021-10-22 发布
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学科教师辅导讲义
学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3
学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:
授课主题 第 05 讲 --- 一元一次方程
授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结
教学目标 1 了解一元一次方程应用题的典型例题,以及其中的解题思路
2 熟练提炼应用题等量关系,根据等量关系,设立未知数,列方程求解。
授课日期及时段
T(Textbook-Based)——同步课堂
体系搭建
一、知识框架
二、知识概念
(一)一元一次方程概念
1、方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程的概念:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数
的指数都是 1,这样的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。判断一个数是不是方程的解,
只需将这个数代入方程,若方程的左边等于右边,则这个数是方程的解,否则不是。
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4、等式基本性质 1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
等式的基本性质 2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为 0 的数),所得结果仍是等式。
(二)解一元一次方程
1、移项:方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。
(三)一元一次方程应用
1、形积问题
2、打折销售问题
1、与打折销售有关的公式:
①利润=售价-成本(进价) ②利润率=利润÷成本价×100%
③售价=成本价+利润=成本价×(1+利润率) ④售价=标价×打折数
3、行程问题
1、相遇问题,它的特点是相向而行,这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般
是:双方所走路程之和=全部路程,这只是常见的等量关系,解题时还需结合实际分析等量关系。
2、追及问题,它的特点是同向而行,等量关系一般是:双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常
见的等量关系,解题时还需结合实际分析等量关系。
3、航行问题:顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度
变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题
去分母 在方程两边同时乘各分母的最小
公倍数
等式基本性质 2 不要漏乘不含分母的项,
分数线起到括号的作用
去括号 先去小括号,再去中括号,最后
去大括号
去括号法则、分配律
括号前是负号,去括号后,
括号内各项均变号
移项 把含未知数的项移到方程的一
边,其他项都移到方程的另一边
等式基本性质 1 移项要变号
合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a 的形式 合并同类项法则
系数相加,字母及其指数
均不变
未知数的系
数化为 1
在方程两边同除以未知数的系数
a ,得到方程的解 bx a
等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒
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4、解决实际问题一般步骤
5、其他应用:工程问题、分配问题等
典例分析
考点一:一元一次方程相关概念
例 1、若(m+2)x ﹣2m=1,是关于 x 的一元一次方程,则 m=( )
A.±2 B.2 C.﹣2 D.1
例 2、在方程 3x﹣y=2, , ,x2﹣2x﹣3=0 中一元一次方程的个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
例 3、 20 4 2x x x 是一元一次方程m +m 的解,则m=
考点二: 解一元一次方程
例 1、下列等式变形错误的是( )
A.若 x﹣1=3,则 x=4 B.若 x﹣1=x,则 x﹣1=2x
C.若 x﹣3=y﹣3,则 x﹣y=0 D.若 3x+4=2x,则 3x﹣2x=﹣4
例 2、如图,下列四个天平中,相同形状的物体的重量是相等的,其中第①个天平是平衡的,根据第①个天
4
平,后三个天平仍然平衡的有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
例 3、解方程:
(1)2﹣ =x﹣ (2)2[ x﹣( x﹣ )]= x
(3)4﹣3(2﹣x)=5x (4)x﹣ =1﹣
例 4、解下列方程:
(1)|x+1|=3 (2)|3x﹣5|+4=8
(3)|4x﹣3|﹣2=3x+4 (4)|x﹣|2x+1||=3
考点三:一元一次方程的应用
例 1、用绳子量井深,把绳子三折来量,井外余 4 尺;把绳子四折来量,井外余 1 尺.求绳子的长.请设未
知数,列出方程
例 2、如图是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用 10 节大小不同的空心套管连接而成.闲置时鱼竿可收缩,完全
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收缩后,鱼竿长度即为第 1 节套管的长度(如图 1 所示):使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如
图 2 所示).图 3 是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图.已知第 1 节套管长 50cm,第 2
节套管长 46cm,以此类推,每一节套管均比前一节套管少 4cm.完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并
固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为 xcm.
(1)请直接写出第 5 节套管的长度;
(2)当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为 311cm,求 x 的值
例 3、一家饰品店把一种进价为 20 元的饰品按 25 元标价,在春节来临之际,店主准备把这种饰品打折销售,
并且利润是打折前利润的 80%,你知道店主是打几折销售的吗? 菁优网版 权所有
例 4、甲车速度为 54km/h,乙车速度为 36km/h,两车在同地于上午 9 时相背行驶 40 分钟,甲车因事立即掉
头追赶乙车,问:甲车什么时候追上乙车?菁优网版 权所有
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例 5、七年级学生在会议室开会,每排坐 12 人,则有 11 人无处坐,每排坐 14 人,则余 1 人独坐 1 排,问
有多少学生?座位有多少排?
例 6、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小 1,十位上与个位上的数字之和是这个两位数的 ,求
这个两位数
例 7、有一个水池,用两根水管注水,如果单开甲管,5 小时注满水池,如果单开乙管,10 小时注满水池.
(1)如果甲先注水 2 小时,然后由甲、乙共同注水,还需要多少时间才能把水池注满?
(2)假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 6 小时可以把一满池水放完,如果三管同时开放,多少
7
小时才能把一空池注满水?
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
课堂狙击
1、若(m﹣2)x|m|﹣1=5 是一元一次方程,则 m 的值为( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.4
2、方程(a+2)x2+5xm﹣3﹣2=3 是一元一次方程,则 a 和 m 分别为( )
A.2 和 4 B.﹣2 和 4 C.2 和﹣4 D.﹣2 和﹣4
3、若方程(m2+m﹣2)x|m|﹣3=0 是一元一次方程,则 m 的值为
4、a、b、c 三个物体的重量如下图所示:
回答下列问题:(1)a、b、c 三个物体就单个而言哪个最重?
(2)若天平一边放一些物体 a,另一边放一些物体 c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体 a
和物体 c?
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5、数学迷小虎在解方程 ﹣1 去分母时,方程右边的﹣1 漏乘了 3,因而求得方程的解为 x=﹣2,
请你帮小虎同学求出 a 的值,并且正确求出原方程的解
6、解方程:
(1) (2)x﹣3( )=2(x+2)
(3) ﹣ =1 (4)
(5) = (6)|x﹣1|+|x﹣5|=4
7、某产品供应商为了促进该产品的销售,同意给商场供货时将该产品的供货价格降低 5%,而该产品的商
场零售价不变,这样一来,该产品商场零售时的单位利润率由原来的 x%提高到(x+6)%,则 x 的值为多
少?
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8、一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大 5,且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的
大 6,求这个两位数
9、如图,在长方形 ABCD 中,AB=6,CB=8,点 P 与点 Q 分别是 AB、CB 边上的动点,点 P 与点 Q 同时
出发,点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 A→点 B 运动,点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C→点 B
运动.当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.(设运动时间为 t 秒)
(1)如果存在某一时刻恰好使 QB=2PB,求出此时 t 的值;
(2)在(1)的条件下,求图中阴影部分的面积(结果保留整数)
10、小明每天早上要赶到距家 1200 米的学校上学.一天,他以 80 米/分的速度出发,5 分钟后,小明的爸
爸发现他忘了带语文书,爸爸以 180 米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他.
(1)爸爸用了多少时间?
(2)追上小明时,距离学校还有多远? 菁优网版 权所有
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课 后反击
1、已知关于 x 的方程 的一元一次方程,试求 a bx
2、已知(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,求代数式 199(m+x)(x﹣2m)+3m+15
的值
3、已知 5x2﹣5x﹣3=7,利用等式的性质,求 x2﹣x 的值
4、解方程:
(1) (2)
(3) (4)
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(5)2|x﹣2|+|x+1|=|3x﹣3| (6)|x﹣4|﹣|x+2|=x+3
5、一件衬衫先按成本加价 60 元标价,再以 8 折出售,仍可获利 24 元,这件衬衫的成本是多少钱?设衬衫
的成本为 x 元
(1)填写下表:(用含有 x 的代数式表示)
成本 标价 售价
X
(2)根据相等关系列出方程:
6、有一位旅客携带了 30kg 重的行李从上海乘飞机去北京,按民航总局规定:旅客最多可免费携带 20kg 重
的行李,超重部分每千克按飞机票价格 1.5%购买行李票,现该旅客购买了 180 元的行李票,则飞机票价格
应是多少元? 版权所有
7、把一个长、宽、高分别为 21 厘米、3 厘米、3 厘米的长方体铁块和一个棱长为 5 厘米的正方体铁块熔铸
成一个圆柱体,其底面直径是 20 厘米,试求该圆柱体的高.(π取 3.14)菁优网版 权所有
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8、有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是 8,将十位数字与个位数字交换位置所得的新数比原来
的数大 54,求这个两位数.
9、一件工程,甲独做要 40 天,乙独做要 60 天,现在两人合做,中间甲因病休息了几天,所以 27 天才完
成,甲休息了多少天? 菁优网版 权所有
10、甲从 A 地以 6km/h 的速度向 B 地行驶,40min 后,乙从 A 地以 8km/h 的速度追赶甲,结果在离 B 地还
有 5km 的地方追上甲,求 A、B 两地的距离. 菁优网版 权所有
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直击中考
1、【2015 深圳】下表为深圳市居民每月用水收费标准,(单位:元/m3)。
用水量 单价
22x a
剩余部分 1.1a
(1)某用户用水 10 立方米,公交水费 23 元,求 a 的值;
(2)在(1)的前提下,该用户 5 月份交水费 71 元,请问该用户用水多少立方米?
2、【2012 梧州】今年 5 月,在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛.在 27 日的决赛中,中国队占胜韩
国队夺得了冠军.某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛.已知该协会购买了每张 300 元和每
张 400 元的两种门票共 8 张,总费用为 2700 元.请问该协会购买了这两种门票各多少张?
S(Summary-Embedded)——归纳总结
重点回顾
一、打折销售问题
1、打折销售相关概念:
①成本价:即进价,商店进货时的价格;②标价:在商店出售时所标明的价格;
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③售价:商品出售时的实际价格; ④利润率:商品的利润与成本价的比值。
⑤折数:打 n 折,表示为按原价的
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n 出售,另外,像打七五折,是按原价的 7.5
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出售,以此类推,打九五
折,就是按原价的 9.5
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出售。
2、与打折销售有关的公式:
①利润=售价-成本(进价) ②利润率=利润÷成本价×100%
③售价=成本价+利润=成本价×(1+利润率) ④售价=标价×打折数
二、行程问题
1、相遇问题,它的特点是相向而行,这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般
是:双方所走路程之和=全部路程,这只是常见的等量关系,解题时还需结合实际分析等量关系。
2、追及问题,它的特点是同向而行,等量关系一般是:双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常
见的等量关系,解题时还需结合实际分析等量关系。
3、航行问题:顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度
名师点拨
1、解决实际问题一般步骤
学霸经验
本节课我学到了
我需要努力的地方是
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