初中数学7年级教案：第1讲 实数的概念与开平方 10页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 实数的概念与开平方 教学内容 ‎1．知道开平方、平方根的概念，理解无理数和实数的概念以及实数的分类；‎ ‎2．会求平方根，会进行开平方相关的混合运算；‎ ‎3. 理解实数相关的相反数、绝对值，会进行相关运算；‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ 练习：‎ ‎1. 和 统称为有理数.‎ ‎2.把分数化成小数，则结果一定是 小数.‎ ‎3. 如果把圆周率π化成小数，它一定是 小数.‎ ‎4. 如果一个分数的分母 ，那么这个分数一定能化成有限小数.‎ ‎5 判断对错：‎ ① 存在面积为2的正方形.‎ ② 有理数可以统一用（p、q均为整数，且p≠0）来表示.‎ ‎6.有理数包括 小数和 小数.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1. 整数和分数；2.无限循环3. 无限不循环；4.只含有素因数2或5；5.①对②对；6.有限小数和无限循环小数.‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 一、无理数的概念 问题：什么是无理数？‎ ‎【参考答案】无限不循环小数叫做无理数.‎ 练习：‎ 1. 判断对错：‎ ‎①无限小数都是无理数.‎ ‎②无理数就是开方开不尽的数.‎ ‎③开方开不尽的数都是无理数.‎ ‎④一个小数，不是有理数，就是无理数.‎ ‎2.无理数是（ ）‎ A. 无限循环小数 B. 开方开不尽的数 ‎ C. 除有限小数以外的所有实数 D. 除有理数以外的所有实数 ‎3. 在0、π、0.01、、0.010010001……、中，属于无理数的是 .‎ ‎【参考答案】1.错，错，对，对；2.D；3. π、0.010010001……、.‎ 这部分讲完可以让学生总结归类，无理数都有哪些类型 二、实数的概念 问题：什么叫实数？实数可以怎样分类？‎ 补充：有理数的两种分类方式：‎ ‎； ‎ 练习：‎ ‎1.判断下列说法是否正确：‎ ‎①有限小数都是有理数，无限小数都是无理数.‎ ‎②一个有理数，不是正数就是负数.‎ ‎③一个无理数，不是正数就是负数.‎ ‎④一个实数，不是正数就是负数.‎ ‎⑤带根号的实数都是无理数.‎ ‎2. 的相反数是 ，的绝对值是 ‎ ‎3.和数轴上的点一一对应的是（ ）‎ A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 ‎4. 若，则 .‎ ‎【参考答案】1.错，错，对，错，错；2. ，；3.D；4. .‎ 三、平方根与开平方 类型1 平方根与开平方的概念 ‎1.问题：什么叫做平方根？什么叫做开平方运算？‎ ‎2. ()的平方根可表示为 ，算术平方根可表示为 .‎ ‎3.下列说法正确的是：‎ ‎①所有实数都有平方根.‎ ‎②零没有平方根.‎ ‎③正数有正的平方根，负数有负的平方根.‎ ‎④ 7的平方根是.‎ ‎⑤一个实数有平方根，那么它必有两个互为相反数的平方根.‎ ‎4. ， .‎ ‎5.成立的条件是 ，成立的条件是 .‎ ‎6. ， .‎ ‎7. a成立的条件是 ， a成立的条件是 .‎ ‎8.判断下列等式是否成立：‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎9求7的平方根，正确的表达式是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【参考答案】‎ ‎2. ，；3.错，错，错，错，错；4.4，4；5. ，；6. 4，4；7.，；8.不成立，成立，不成立，不成立；9.A 提醒学生注意平方根的概念，它与算术平方根的区别 类型2 开平方运算 练习一：‎ ‎1.下列各数是否有平方根？如果有，有几个平方根？‎ ‎①；②-8；③0；④‎ ‎2. 的平方是_________；的平方根是_________，的算术平方根是__________.‎ ‎3. 9的平方根是_________，的算术平方根是__________.‎ ‎4. 已知的负的平方根为－5，则x＝_________.‎ ‎5. 平方根是它本身的数是_______，算术平方根是它本身的数是_______.‎ ‎6.已知某正数的平方根是，，则这个正数是 .‎ ‎7.如果2n-6与3n+1是同一个数的平方根，则这个数是_______.‎ ‎8.一个自然数的算术平方根是m，则比这个自然数大1的数的平方根是 .‎ ‎9.已知a-1没有平方根，则a的取值范围是 .‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.①有两个平方根，②没有平方根，③有一个平方根，④当时有一个平方根，没有平方根；2. ，，；3. ，；4.23；5.0，0或1；6.4；7.16或400（提示：两种情况，相等或互为相反数）；8.；9.a<1‎ 练习二：‎ ‎1.求下列各数的平方根，并指出其算术平方根：‎ ‎①225；②0.0001；③；④；⑤‎ ‎2.若，那么5-x的算术平方根是 .‎ ‎3.计算：‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.①225的平方根是±15，算术平方根是15，②0.0001的平方根是±0.01，算术平方根是0.01，③的平方根是，算术平方根是，④的平方根是，算术平方根是，⑤的平方根是，算术平方根是；2.1或3；3.-2.‎ 例题：已知实数a、b、c满足a＜0，b＞0，c＜0，且，化简：‎ 解：∵a＜0，b＞0，c＜0，且，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 即=.‎ 练习：如图表示的是数轴上的三个实数a、b、c，求的值.‎ ‎【参考答案】‎ 解：由图可知，a＜0，c＞b＞0，‎ ‎∴，，‎ ‎∴===，‎ 即=.‎ ‎（选讲题）例题2：已知实数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，‎ 试化简.‎ 解析：根据a、b、c在数轴上的位置，可以得到＜0，＜0，＞0，并且得到＜0，＞0，＜0，所以 原式 四、综合应用 类型1 实数范围内因式分解 例题 在实数范围内分解因式：（1）；（2）‎ ‎【参考答案】（1）；（2）‎ 类型2 解方程 例题 解方程 ‎ 练习 ‎ ‎【参考答案】‎ 例题：，练习：‎ 类型3 被开方数非负性的应用 例题 已知与互为相反数，求的值.‎ ‎【参考答案】17‎ 例题：= .‎ 练习：‎ ‎1.= .‎ ‎2. 已知x、y为实数，且与互为相反数，求x、y的值.‎ ‎【参考答案】例题2:0；练习：1.4；2. x=8，y=8‎ 这里可以总结一下我们初中阶段所学习的三个非负性 ‎（选讲）例题：已知x、y为实数，求代数式的最小值，并求取得最小值时x、y的值.‎ 解：因为，当，‎ 所以的最小值是3，此时 类型4 无理数的整数部分与小数部分 例题：（1）已知a、b为两个连续整数，且，则 .‎ ‎【参考答案】5‎ ‎（2）设的整数部分为，小数部分为，求、的值.‎ ‎【参考答案】3，‎ 类型5 关于开平方运算的拓展 例题：化简下列各数：‎ ‎①；②.‎ ‎【参考答案】4，‎ 练习：‎ ‎1.化简①；②；③；④‎ ‎2.已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 .‎ ‎【参考答案】1. ，，，；2.5 ‎ 例题7：‎ 计算：‎ 练习：计算 ‎ ‎【参考答案】；‎ 类型6 开平方运算中小数点的移动 案例：填写下表：‎ a ‎0.0004‎ ‎0.04‎ ‎4‎ ‎400‎ ‎40000‎ ‎(1)观察上表，总结当被开方数a的小数点向右(或向左)每移动两位时，的小数点移动规律是怎样的？‎ ‎(2)已知，，请用你观察到的结论直接写出结果：‎ ‎①；；；‎ ‎②如果，那么x＝________．‎ ‎【参考答案】略 ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 下列实数是无理数的有（ ）‎ ‎，π，，，‎ A.2个　　B. 3个　　C.4个　　D.5个 ‎【参考答案】B ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 的平方根是±2； B. 一定没有算术平方根；‎ C. 表示2的算术平方根的相反数； D. 0.9的算术平方根是0.3‎ ‎【参考答案】C ‎3.已知某数的平方根是和，则该数是（ ）‎ A.3　 　B. -3　　 C.-49　 　D.49‎ ‎【参考答案】D ‎4.___________，___________.‎ ‎【参考答案】，‎ ‎5. 解不等式，结果为___________.‎ ‎【参考答案】‎ ‎6.化简 .‎ ‎【参考答案】‎ ‎7.若，则的取值范围是___________.‎ ‎【参考答案】‎ ‎8. 计算 ，化简 .‎ ‎【参考答案】3，‎ ‎9.已知的小数部分是，则 .‎ ‎【参考答案】‎ ‎10. 已知，，则 .‎ ‎【参考答案】3240000‎ ‎11. 已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示.‎ ‎　（1）比较a－b与a+b的大小；（2）化简|b－a|+|a+b|.‎ ‎【参考答案】（1）a－b>a+b；（2）-2b ‎ ‎ 本节课主要知识点：实数的概念及分类，开平方的运算，绝对值相反数的运算及应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1．和数轴上的点一一对应的是（ ） ．整数； ．有理数；　 　．无理数； 　　　．实数． ‎ ‎【答案】 ．‎ ‎2．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（ ） ．3个； 　　　．4个； 　　　．5个； 　　 　．6个． 【答案】．‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ ‎．有理数只是有限小数； ．无理数是无限小数；‎ ‎．无限小数是无理数； ．是分数 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎4．下列各数：①3.141；②0.33333……；③；④π；⑤；⑥；⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）；⑧0中，‎ 其中是有理数的有__________；‎ 无理数的有__________．（填序号） ‎ ‎【答案】①②⑤⑥⑧；③④⑦．‎ ‎5.数轴上点，点分别表示实数则、两点间的距离为__________．‎ ‎【答案】 2 ．‎ ‎6．化简__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎7．的相反数是________，绝对值等于的数是________，=_______ ．‎ ‎【答案】 ．‎ ‎8． 下列各组数中，互为相反数的是（ ） ．　　．　 ．　　D.．‎ ‎【答案】 C ．‎ ‎9． 面积为11的正方形边长为，则的范围是（ ） ．　　　 ．　　　．　　　D. ．‎ ‎【答案】．‎ ‎10．求下列各式中的：‎ ‎（1）　　　‎ ‎（2）　　　‎ ‎（3）．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）或；‎ ‎（3）．‎ ‎11．在两个连续整数和之间，， 那么，的值分别是 ．‎ ‎【答案】3，4．‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. ‎ ‎2. 若，则___________.‎ ‎3.下列各数是无理数的是 ‎ ‎ ，0，，3，0.15，，，，，3.14159，，0.2020020002…‎ ‎4. 为最大的负整数，则a的值为___________.‎