2019七年级数学下册 培优新帮手 专题02 数的整除性试题 （新版）新人教版 11页

‎02 数的整除性 阅读与思考 ‎ 设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数， 而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：‎ ‎1．数的整除性常见特征：‎ ‎①若整数的个位数是偶数，则2|；‎ ‎②若整数的个位数是0或5，则5|；‎ ‎③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；‎ ‎④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；‎ ‎⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；‎ ‎⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．‎ ‎2．整除的基本性质 设，，都是整数，有：‎ ‎①若|，|，则|；‎ ‎②若|，|，则|(±)；‎ ‎③若|，|，则[，]|；‎ ‎④若|，|，且与互质，则|；‎ ‎⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．‎ 例题与求解 ‎【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．‎ ‎ (“五羊杯”竞赛试题)‎ 解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．‎ 11‎ ‎【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：‎ ‎①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；‎ ‎②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中 ( )‎ ‎ A．只有①正确 B．只有②正确 ‎ ‎ C．①，②都正确 D．①，②都不正确 ‎ (江苏省竞赛试题)‎ 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．‎ ‎【例3】已知整数能被198整除，求，的值．‎ ‎ (江苏省竞赛试题)‎ 解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．‎ ‎【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？‎ ‎ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)‎ 解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．‎ 11‎ ‎【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．‎ ‎ (2013年全国初中数学竞赛试题)‎ 解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．‎ ‎【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．‎ 11‎ ‎⑴ 写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；‎ ‎⑵ 若=13，=2 012，求的值；‎ ‎⑶ 对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．‎ ‎ (2013年“创新杯”邀请赛试题)‎ 解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．‎ ‎⑵若=13，=2 012，从经过1 999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．‎ ‎⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．‎ 11‎ 能力训练 A级 ‎1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．‎ ‎2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．‎ ‎ (上海市竞赛试题)‎ ‎3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．‎ ‎4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )‎ ‎ A．532 B．‎665 ‎ C．133 D．798‎ ‎5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．6‎ ‎ (江苏省竞赛试题)‎ ‎6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( )‎ ‎ A．12个 B．18个 C．20个 D．30个 ‎ (“希望杯”邀请赛试题)‎ ‎7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？‎ ‎ (黄冈市竞赛试题)‎ ‎8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．‎ ‎ (上海市竞赛试题)‎ 11‎ ‎9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？‎ ‎ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)‎ B级 ‎1．若一个正整数被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_________，的一般表达式为____________．‎ ‎ (“希望杯”邀请赛试题)‎ ‎2．已知，都是正整数，若1≤≤≤30，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有___________个．‎ ‎ (天津市竞赛试题)‎ ‎3．一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是__________．‎ ‎4．有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．‎ ‎ A．333 B．‎334 ‎ C．335 D．336‎ 11‎ ‎5．一个六位数能被12整除，这样的六位数共有( )个．‎ ‎ A．4 B．‎6 ‎ C．8 D．12‎ ‎6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数除时，所得的余数都是，则－的值为( )．‎ ‎ A．15 B．‎1 ‎ C．164 D．174‎ ‎7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：，，， ，，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么．如果N=3 194，请你确定．‎ ‎ (美国数学邀请赛试题)‎ ‎8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．‎ ‎ (武汉市竞赛试题)‎ 11‎ ‎9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．‎ ‎ (“五羊杯”竞赛试题)‎ ‎10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．‎ ‎ (重庆市竞赛试题)‎ ‎11．从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值．‎ ‎ (2013年全国初中数学竞赛试题)‎ 11‎ 专题02 数的整除性 例1 267 提示：333－66＝267．‎ 例‎2 C 提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝‎3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝‎3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝‎3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝‎3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).‎ 例‎3 a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．‎ 例4 设x，y，z，t是整数，并且假设‎5a＋7b－‎22c＝x(‎7a＋2b＋‎3c) ＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，‎ 则有13 (‎2a＋b－c)－3(‎7a＋2b＋‎3c)＝‎5a＋7b－‎22c．既然3(‎7a＋2b＋‎3c)和13(‎2a＋b－c)都能被13整除，则‎5a＋7b－‎22c就能被13整除．‎ 例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1 ＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．‎ 例6 (1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0) (2)a1000＝13＋999＝1 012． (3)n被4除余数为0或1．‎ A级 ‎1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B ‎7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1 000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为 10 008.‎ ‎8．324 561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，‎ 11‎ ‎9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．‎ B级 ‎1．2 ‎521 a＝2 520n＋1(n∈N＋) ‎ ‎2．57‎ ‎3．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．‎ ‎4．B ‎ ‎5．B ‎6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．‎ ‎7．由题意得＋＋＋＋＝3 194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋ ∴222(a＋b＋c) ＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．‎ 且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．‎ ‎8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝ －＝(‎100a＋10b＋c)－ (‎100c＋10b＋a)＝99(a－c)．‎ 可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．‎ ‎9．设原六位数为，则6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5 999×，即142×＝857×， ∵(142，857)＝1，∴ 142|，857|，而，为三位数，∴＝142，＝857，故＝142857．‎ ‎10．设这个数为，则1 0‎00a＋100b＋‎10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1 999，即1 ‎001a＋101b＋‎11c＋2d＝1 999，得a＝1，进而101b＋‎11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则‎11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤‎11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1 976．‎ ‎11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a‎1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若 11‎ 中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为5‎ 11‎