北师大版七年级上册-第02讲-有理数及其运算（提高)-教案 15页

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 02讲---有理数及其运算 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 掌握有理数的乘方； 2 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 1、有理数的定义及分类 （1）有理数：整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按 照定义分类可以分为整数、分数。 2、数轴、相反数和绝对值 2 （1）数轴的概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度， 规定直线上向右的方向为正方向，这样的直线叫做数轴，如下图所示： 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。 （2）相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个 数互为相反数。特别地，0 的相反数为 0。两个数互为相反数，那么这两个数之和为 0。 （3）绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数的绝对 值可以表示为下式，可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数 a，有 |a|≥0 3、倒数 倒数的概念：乘积为 1 的两个有理数，那么就称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数 互为倒数。0 没有倒数。 4、有理数的运算法则 （1）加、减法运算 加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝 对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个 数。 减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）乘、除法运算 乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0 除法运算：除以一个等于乘这个数的倒数. （3）乘方及混合运算 ①一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作： 读作：a的 n次方（或 a的 n 次幂）其中 a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即： ... n a na a a a a    6444447444448个 ②有理数的混合运算： 3 混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。 5、科学计数法 （1）一般地，一个大于 10 的数可以表示成 10na  的形式，其中1 10a  ，n是正整数，这种记 数方法叫做科学记数法。注意以下几点: ①科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为 a（1 10a  ），另一个因数为10n ， n的值等于整数部分的位数减 1； ②用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于 1 的正数也可以用科 学记数法表示。例如： 50.00001 10 ； 典例分析 考点一：有理数、数轴、绝对值 例 1、下列说法正确的是（ ） A．非负数包括零和整数 B．正整数包括自然数和零 C．零是最小的整数 D．整数和分数统称为有理数 【解析】根据有理数的分类，利用排除法求解。非负数包括零和正数，A 错误；正整数指大于 0 的整数，B 错误；没有最小的整数，C 错误；整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确。故选 D 例 2、在实数 ，0， ，﹣1.414，有理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案． ，0，﹣1.414，是有理数，故选：C 例 3、有理数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D． ＞0 【解析】根据 a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可．∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴A、a+b＞0， 故错误，不符合题意；B、a﹣b＜0，正确，符合题意；C、a•b＜0，错误，不符合题意；D、 ＜0，错误不 符合题意；故选 B 4 例 4、﹣ 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【解析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答。﹣ 的相反数是 。故选 C 例 5、若|m﹣2|+|n+3|=0，求 m+n 的值 【解析】根据非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零。可求出 m、n 的值，再将 它们代入代数式中求解即可。由题意得，m﹣2=0，n+3=0，解得，m=2，n=﹣3，则 m+n=﹣1。 例 6、已知 + =0，则 的值为 ． 【解析】先判断出 a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．∵ + =0，∴a、b异号，∴ab＜0， ∴ = =﹣1．故答案为：﹣1 考点二：有理数的加减运算 例 1、比﹣3大 2的数是（ ） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【解析】有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减。 ﹣3+2=﹣（3﹣2）=﹣1．故选 B． 例 2、计算： （1） 8+（﹣26）+13+（﹣8）+0 （2） （-14）+（+19）+（-6）+（+31）+（-19） （3）（-1.5）+〔2.5+（-7.5）+4.5+（-1）〕 （4） 【解析】(1)-13 (2)11 （3）-3 （4）﹣5 5 例 3、计算 3 5- + - 8 8 （ 2 ）的值为 _____ 【解析】根据原式= 3 52 8 8    ，然后计算同分母的分数的加减，最后进行加减运算即可． 原式= 3 52 8 8    =﹣1﹣2=﹣3．故答案是：﹣3 例 4、计算 （1）﹣3+8﹣7﹣15 （2）（﹣1 ）﹣（+6 ）﹣2.25+ （3）﹣ +[ ﹣（ ﹣ ）] （4）（﹣1 ）﹣|（﹣4 ）﹣（﹣2 ）| 【解析】（1）﹣3+8﹣7﹣15=﹣3﹣7﹣15+8=﹣25+8=﹣17； （2）（﹣1 ）﹣（+6 ）﹣2.25+ =﹣1 ﹣6 ﹣2.25+ =﹣1 ﹣2.25﹣6 + =﹣4﹣3=﹣7； （3）﹣ +[ ﹣（ ﹣ ）]=﹣ +[ ﹣ ]=﹣ + =﹣ ； （4）（﹣1 ）﹣|（﹣4 ）﹣（﹣2 ）|=﹣1 - =﹣ 41 12 考点三：有理数的乘除运算 例 1、（1）3×（-4） （2）（-6）×（-2） （3） 2 3( ) 3 4   （4）（-0.5）×（-8） 【解析】（1）异号得负，原式= -12 （2）同号得正，原式= 12 （3）异号得负，原式= - 1 2 （4）同号得正，原式= 4 例 2、简便计算： 1 3 1 48 6 4 12         1 5 5 1 5 51 2 2 7 7 2 2 7                  【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算． 解：（1） 1 3 1 48 6 4 12         1 3 1= 48 48 48 8 36 4 24 6 4 12                       6 （2）提取 5 7 ，逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 解： 1 5 5 1 5 51 2 2 7 7 2 2 7                  = 1 5 5 1 5 51 + 2 2 7 7 2 2 7          = 5 1 1 51 2 7 2 2 2        5 3= 7 2  15= 14 例 3、﹣ 1 2013 的倒数为（ ） A． 1 2013 B．﹣ 1 2013 C．2013 D．﹣2013 【解析】分析：根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答． 解：∵（﹣ 1 2013 ）×（﹣2013）=1，∴﹣ 1 2013 的倒数为﹣2013．故选 D． 例 4、若 a与 b互为倒数，则 3﹣5ab= ． 【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为 1，直接求出 ab的值，从而得到 3﹣5ab的值． 解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2． 例 5、计算： 1 （﹣16.8）÷（﹣3） ② 1 1+5 3 3 3             ③ 5 4 4 5              ④     5+1.25 0.5 8         ⑤﹣18÷（+3.25）÷ 12 4      ⑥ 3 1 1( ) ( 3 ) ( 1 ) 3 5 2 4       【解析】分析：①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 解答：①原式=16.8÷3=16.8× 1 3 =5.6； ②原式= 5 4 5 5 25= = 4 5 4 4 16   ； ③原式= 16 10 16 3 8 3 3 3 10 5       ； ④原式=1.25÷0.5÷ 5 8 = 5 82 4 5   =4； 7 ⑤原式=18÷3.25÷ 12 4 = 4 418 13 9   = 32 13 ⑥原式=－ 3 5 ×（- 7 2 ）×（- 4 5 )× 1 3 = - 3 5 × 7 2 × 4 5 × 1 3 = - 14 25 例 6、已知|x|=3，|y|=7，且 xy＜0，则 x+y的值等于（ ） A． 10 B． 4 C．﹣4 D． 4或﹣4 【解析】分析：首先根据绝对值的性质可得 x=±3，y=±7，再根据条件 xy＜0可得此题有两种情况∴①x=3， y=﹣7，②x=﹣3，y=7，再分别计算出 x+y即可． 解：∵|x|=3，|y|=7，∴x=±3，y=±7， ∵xy＜0，∴①x=3，y=﹣7，x+y=﹣4；②x=﹣3，y=7，x+y=4，故选 D 考点四：有理数的乘方及其混合运算 例 1、计算 （1） 3 2 11       （2）  33 131  （3）  342 55 4 14       （4）      332 20132  【解析】（1） 8 27 （2）2 （3）－59 （4）－1 例 2、关于﹣（﹣a）2的相反数，有下列说法：①等于 a2；②等于（﹣a）2；③值可能为 0；④值一定是正 数．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个菁优网版权所有 【解析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断。 ①∵﹣（﹣a）2=﹣a2，∴它的相反数是 a2．显然是正确的 ②∵（﹣a）2=a2，∴也是正确的． ③当 a=0时，a2=0，∴原式的值可能为 0，也是正确的 ④是错误的，没有考虑 0． 故有 3个是正确的．故选 C 例 3、现规定一种新的运算“※”：a ※ abb  ，如 3※2= 32 =8，则 3※ 等于（ ） A． B． 8 C． D． 【解析】A 8 例 4、若   021 2  ba ，则  2012ba  的值是（ ） A．﹣1 B． 1 C． 0 D． 2012 【解析】B 例 5、已知     0532 22  cba ，求 22 cba  值． 【解析】平方和绝对值都有非负性，几个非负数之和为 0，那么这几个非负数都为 0。a=2，b=-3，c=5，原式 =2-2×（-3）+5×5=33 例 6、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过 30分钟便由 1个分裂成 2个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个 30分钟后可分裂成 个细胞； （2）这样的一个细胞经过 3小时后可分裂成 个细胞； （3）这样的一个细胞经过 n（n为正整数）小时后可分裂成 个细胞． 【解析】（1）16；（2）64；（3） n22 考点五：科学计数法 例 1、在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由 819亿元增加到 1351亿元，年均增 长约 10%，将 1351亿元用科学记数法表示应为（ ） A、1.351×1011 B、13.51×1012 C、1.351×1013 D、0.1351×1012 【解析】A 例 2、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为 0.000 0963 贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ） A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4 【解析】A 例 3、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为 1.1×105km/h，把它写成原数是（ ） A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h 【解析】B 9 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、下列说法中，正确的是（ ） A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数和负分数统称为分数 C．0 既是正整数又是负整数 D．正数和负数统称为有理数 【解析】按照有理数的分类做出判断。A．整数包括正整数、负整数和零，故此选项错误；B．分数包括正 分数和负分数，故此选项正确；C.0 是整数，但既不是正的，也不是负的，故此选项错误；D．有理数包括 正有理数、负有理数和零，故此选项错误；故选 B 2、若|y+3|的相反数是|2x﹣4|，则 x﹣y= ． 【解析】根据绝对值的相反数是绝对值，可得两个绝对值都等于 0，再根据绝对值可得 x，y，可得答案， ∵|y+3|的相反数是|2x﹣4|，∴y+3=0，2x﹣4=0，∴y=﹣3，x=2，x﹣y=2﹣（﹣3）=5，故答案为：5． 3、若有理数 x，y 满足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，则 x﹣y= ． 【解析】∵|x|=7，|y|=4， ∴x=±7，y=±4， 而|x+y|=x+y， ∴x=7，y=4或 x=7，y=﹣4， ∴x﹣y=7﹣4=3或 x﹣y=7﹣（﹣4）=11 故答案为 3或 11 4、﹣ 的相反数是（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【解析】C 5、有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|b﹣a|﹣b的结果为（ ） A．a﹣2b B．﹣a C．﹣2b﹣a D．2b﹣a 10 【解析】先根据数轴确定出 a、b的正负情况，然后求出 b﹣a＞0，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合 并同类项即可得解．由数 a、b在数轴上的位置可以得到 a＜0，b＞0，∣a∣＜∣b∣，b﹣a＞0， 所以∣b-a∣﹣b=b﹣a﹣b=﹣a，故选择 B． 6、已知 a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为 2，求﹣2mn+ a b m n   ﹣x的值． 【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0； ∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为 2，∴x=±2． 1 当 x=2 时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4； ② 当 x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0． 7、计算：（1）      342810 2  （2）           9 163249 2 （3）  2 22 3 2 3     （4）    2 2 3 318 5 2532       【解析】（1）-20；（2）23 （3）0 （4）-54 8、下列式子中正确的是（ ） A.    324 222  B.    243 222  C.    234 222  D.     432 232  【解析】C 9、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg的煤所产生的能量．把 130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ） A、13×107kg B、0.13×108kg C、1.3×107kg D、1.3×108kg 【解析】D 10、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为 1的圆形纸片， 若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的 ， ， …．请你根据数形结合的思想，依据图 形的变化，推断当 n为整数时，  n2 1... 8 1 4 1 2 1 _____________． 11 【解析】 n2 11 11、若 2b 与  21a 互为相反数，求 ba  的值． 【解析】3  课后反击 1、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 【解析】解：根据数轴可知 b＜﹣1＜0＜a＜1．∴ab＜0，|a|＜|b|，a+b＜0，a﹣b＞0．故正确的只有 C． 2、如果 a+b＞0，a＜0，ab＜0．那么（ ） A． a，b异号．且 a＞b B． a，b同号，且 a＜b C． a，b异号，且|a|＞|b| D．a，b异号，且|a|＜|b| 【解析】解：∵ab＜0，∴a，b为异号，∵a＜0，∴b＞0，∵a+b＞0，∴|b|＞|a|．故选：D． 3、已知|a|=3，|b|=4，ab＞0，则 a﹣b= ﹣1或 1 ． 【解析】若 a，b都大于 0则：a=3，b=4，a﹣b=﹣1；若 a，b都小于 0，则 a=﹣3，b=﹣4，a﹣b=1． 4、 的倒数是（ ） A． B． C． D． 【解析】解：﹣1 =﹣ ，∵（﹣ ）×（﹣ ）=1，∴﹣1 的倒数是﹣ ．故选 C． 12 5、计算：（1） （2）﹣32× （3）（﹣ ）×（﹣ ）×0× （4）（ ﹣ ﹣ ）×（﹣24） （5） （6） 1 1 9 12 3 1 1 3 2 12 6               【解析】（1）原式=[（﹣5）×（﹣ 4 5 ）]×6× 1 4 =（4× 1 4 ）×6=1×6=6 （2）﹣ ×（32﹣11﹣21）=0 （3）原式=0 （4）原式= ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）=﹣20+18+8= （5）﹣1.53×0.75+1.53× 1 4+ 2 5 ×1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8）， =1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415； （6） 1 1 9 12 3 1 1 3 2 12 6               = 7 7 21 6 3 2 12 7               = 7 6 7 6 21 6 3 7 2 7 12 7                         =﹣2+3 3 2  =3﹣ 13 2 =﹣ ． 6、已知 a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为 2，求﹣2mn+ a b m n   ﹣x的值． 【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0； ∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为 2，∴x=±2． 2 当 x=2 时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4； ② 当 x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0． 7、若   023 2  nm ，则 nm 2 的值为（ ） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 【解析】B 13 8、国家卫生和计划生育委员会公布 H7N9禽流感病毒直径约为 0.0000001m，则病毒直径 0.0000001m用科 学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。 A、0.10×10﹣6m B、1×10﹣7m C、1.0×10﹣7m D、0.1×10﹣6m 【解析】C 9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第 2002个数应是（ ） A． 20022 B. 122002  C． 20012 D．以上答案不对 【解析】C 10、小刚学习了有理数运算法则后，编写了一个计算程序，当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的 结果总等于所输入有理数的平方与 1的和，当他第一次输入 2，然后又将所得结果再次输入后，显示屏上出 现的结果应是______。 【解析】26 11、图中是一幅“苹果图”，第一行有 1个苹果，第二行有 2个，第三行有 4个，第四行有 8个，…，你是否 发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个．（可用乘方形式表示） 【解析】 95 2,2 直击中考 1、如果实数 a，b满足   013 2  ba ，那么 ab 等于（ ） A． 1 B．﹣1 C．﹣3 D． 3 【解析】B 2、计算 7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801… 归纳各计算结果中的个位数字规律，可得 20097 的个位数字为 ． 【解析】7 14 3、观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观察，用你所发现的规 律确定 32008﹣1的个位数字是 ． 【解析】0 4、定义一种新的运算 a﹠b=ab，如 2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ． 【解析】8。 S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、有理数的定义及分类 2、数轴、相反数和绝对值 3、有理数的运算法则及混合运算 名师点拨 1、有理数的分类。：整数与分数统称为有理数。有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按 照定义分类可以分为整数、分数。 2、数轴、相反数和绝对值及倒数的定义，一定要清楚明白，不能混淆。 3、有理数的运算法则及混合运算 学霸经验  本节课我学到了 15  我需要努力的地方是