北师大版七年级上册-第11讲-探索与表达规律（提高）-教案 16页

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 11 讲--- 探索与表达规律 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 经历有特殊到一般和一般到特殊的过程，体会推理的特点； 2 能用代数式表达探索规律的一般性； 3 能用代数式表示并借助代数式运算解释一般规律或现象。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）探索规律的一般方法 1、从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及互相之间的变化规律； 2、善于类比，由此及彼，大胆联想，发现相似点； 3、总结规律，得出结论，并验证结论正确性。 （二）规律探索的典型类型 1、图形摆放的规律探究 此类问题，先从简单的图形入手，观察图形特征、图形数量等，比较后一个图形与前一个图形，在数量 2 上的变化情况或图形上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 2、数字中的规律探究 此类问题，先从简单的特征入手，观察数字组成特征等，比较后一个数字与前一个数字，在和差积商以 及平方上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 3、算式中的规律探究 此类问题，先从简单的运算入手，观察算式运算符号特征等，比较后一个算式与前一个算式，在乘除加 减运算上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 典例分析 考点一：图形摆放的规律探究 例 1、下图中各层的圆点是按一定规则排列的，前四层的圆点个数依次是 1、3、5、7，那么第 n层中圆点 的个数是（ ） A．n B．2n C．2n+1 D．2n﹣1 【解析】仔细观察每一层圆点的个数与层数就会找到圆点个数与层数之间的关系． 解：第一层有 1个；第二层有 3个； 第三层有 5个；第四层有 7个； … 第 n层有 2n﹣1个，故选 D 例 2、观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 5个图形共有 个小五角星 菁优网版权所有 【解析】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是，1，1+2，1+2+3,1+2+3+4…总结出其规律，根 3 据规律求解 第一个图形为： 1 第二个图形为： 1+2 第三个图形为： 1+2+3 第四个图形为： 1+2+3+4 …， 所以第 n个图形为：1+2+3+4+…+n= ( 1) 2n n   ，当 n=5时，n（n+1）÷2=15故答案为：15． 例 3、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数 2011应标在（ ） ………. A．第 502个正方形的左下角 B．第 502个正方形的右下角 C．第 503个正方形的左上角 D．第 503个正方形的右下角 【解析】观察发现：正方形的左下角是 4的倍数，左上角是 4的倍数余 3，右下角是 4的倍数余 1，右上角 是 4的倍数余 2． 解：通过观察发现：正方形的左下角是 4的倍数，左上角是 4的倍数余 3，右下角是 4的倍数余 1，右上角 是 4的倍数余 2 ∵2011÷4=502…3， ∴数 2011应标在第 503个正方形的左上角．故选 C． 例 4、用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 2015个图形需要围棋子的枚数是（ ） 有 A．6038 B．6039 C．6047 D．6048 【解析】观察图形可知：第 1个图形需要围棋子的枚数=5；第 2个图形需要围棋子的枚数=5+3；第 3个图 形需要围棋子的枚数=5+3×2；第 4个图形需要围棋子的枚数=5+3×3，…，则第 n个图形需要围棋子的枚 数=5+3（n﹣1），然后把 n=2015代入计算即可． 解：∵第 1个图形需要围棋子的枚数=5， 4 第 2个图形需要围棋子的枚数=5+3， 第 3个图形需要围棋子的枚数=5+3×2， 第 4个图形需要围棋子的枚数=5+3×3， …， ∴第 n个图形需要围棋子的枚数=5+3（n﹣1）=3n+2， ∴第 2015个图形需要围棋子的枚数=3×2015+2=6047．故选：C． 考点二：数字中的规律探究 例 1、已知数列 ，…第 7个数是（ ） A． B． C． D． 【解析】观察各分数的关系得到从第 3个数开始，分子和分母分别是它前面两个分数的分子与分母的和， 由此可得到第 6个数为 ，第 7个数为 ． 解：∵第 1个数为 ，第 2个数为 ， 第 3个数为 = ， 第 4个数为 = ， 第 5个数为 = ， ∴第 6个数为 = ， 第 7个数为 = ．故选 D． 例 2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…则 230的尾数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】观察发现：2的 n次方的尾数是 2，4，8，6四个一循环．因为 30÷4=7…2，则 30次方的尾数和 2 次方的尾数相同，即为 4． 解：∵2的 n次方的尾数是 2，4，8，6四个一循环 ∴30次方的尾数和 2次方的尾数相同，即为 4，选 B． 例 3、将正整数按如下方式进行有规律的排列，第 2行最后一个数是 4，第 3行最后一个数是 7，第 4行最 5 后一个数是 10…，依此类推，第 673 行最后一个数是 2017． 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 【解析】令第 n行的最后一个数为 an（n为正整数），根据给定条件写出部分 an的值，根据数的变化找出变 化规律“an=3n﹣2”，依此规律即可得出结论． 令第 n行的最后一个数为 an（n为正整数）， 观察，发现规律：a1=1，a2=4，a3=7，a4=10，…， ∴an=3n﹣2． ∵2017=673×3﹣2， ∴第 673行的最后一个数是 2017．故答案为：673． 考点三：算式中的规律探究 例 1、观察算式： ①找出规律，表示 第 10个式子． ②找出规律，用 n 表示第 n个式子． 【解析】观察各等式得到等式的序号数乘以序号数加 2，再加上 1等于序号数加 1的平方，由此可得到①第 10个式子和②第 n个式子． ①第 10个式子为 10×12+1=112； ②第 n个式子为 n×（n+2）+1=（n+1）2 例 2、观察下列各式，再回答问题： 6 1﹣ = × 3 2 ，1﹣ = × ，1﹣ = × ，… （1）根据上述规律填空： 1﹣ = ； 1﹣ = （2）用你的发现计算： （1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ） 【解析】（1）观察所给的各式，可以得到 2 2 1 5 1 5 1 4 6 1 1 11 ......1 5 5 5 55 n n n nn             （2）根据（1）的规律得到原式= × × × × × ×…× × × × ，然后约分. 解：（1）1﹣ = × ；1﹣ = × ；故答案为 × ； × ； （2）原式= × × × × × ×…× × × × = × = ． 例 3、观察下面的一系列等式： 32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；… 则第 n个等式为 网版权所有 【解析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小的平方；从等式右边知道变化数 n 是自然数，8是不变数，进而得出答案． ∵32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；… ∴第 n个等式为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n． 故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n． P(Practice-Oriented)——实战演练 7 实战演练  课堂狙击 1、小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1中棋子围成三角形，其颗数 3、6、9、12、…称为三角形数．类 似地，图 2中的棋子颗数 4、8、12、16、…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A．18 B．20 C．21 D．24 【解析】观察发现，三角数都是 3的倍数，正方形数都是 4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一 定是 12的倍数，然后对各选项熟记进行判断即可得解． 解：∵3，6，9，12，…称为三角形数， ∴三角数都是 3的倍数， ∵4，8，12，16，…称为正方形数， ∴正方形数都是 4的倍数， ∴既是三角形数又是正方形数的是 12的倍数，24÷12=2， ∴24既是三角形数又是正方形数．故选：D． 2、如图图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有 1个正方形，第②个 图形中一共有 5个正方形，第③个图形中一共有 14个正方形，…则第⑦个图形中正方形的个数为（ ） A．49 B．100 C．140 D．91 【解析】仔细观察图形知道第一个图象有 1个正方形，第二个有 5=12+22个，第三个图形有 14=12+22+32个， 由此得到规律求得第⑦个图形中正方形的个数即可． 解：第一个图象有 1个正方形， 第二个有 5=12+22个， 8 第三个图形有 14=12+22+32个， … 第七个图形有 1+4+9+16+25+36+49=140个正方形．故选 C． 3、用黑白两种颜色的正六边形地面砖拼成若干个图案，规律如下图所示，则第 2010个图案中，白色地面 砖的块数是（ ） A．8042 B．8038 C．4024 D．6033 菁优网版权所有 【解析】本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图形序号 n 之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题． 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， ∵第 n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6为首项，公差是 4的等差数列的第 n项”， ∴第 n个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2， 当 n=2010时，4n+2=4×2010+2=8042．故选 A． 4、有这样一组有规律的数：0，3，8，15，24，35，48，63，则下一个数是（ ） A．73 B．71 C．80 D．81 【解析】通过观察可得出，从第 1个数 0开始，是第几个数就是几的平方减 1，由此可求出下一个数． 观察这组数得： 从第 1个数 0开始，0=12﹣1 第 2个无数 3=22﹣1 第 3个无数 8=32﹣1 第 4个无数 15=42﹣1 第 5个无数 24=52﹣1 第 6个无数 35=62﹣1 第 7个无数 48=72﹣1 第 8个无数 63=82﹣1 所以下一个数为：92﹣1=80．故选：C． 5、小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 9 输出 … … 那么，当输入数据 8时，输出的数据是（ ） A B C D 【解析】观察可知，当输入 n时，则分子为 n，分母为 2 1n  ，故选 C 6、将正偶数按下表排列： 根据上面的规律，则 2012所在行、列分别是 ， ．优网版权所有 【解析】认真观察数列，可以发现每行最后一列数可以表示为：n（n+1），据此作答． 解：观察可得：2=1×（1+1）， 6=2×（2+1）， 12=3×（3+1）， 20=4×（4+1） … 且前一个因式表示所在行数和所在列数， ∵44×45=1980 ∴2012应在第 45行，（2012﹣1980）÷2=16，故答案为：45行，16列． 7、观察下列各式： （1）用含 n的式子表示这个规律是 ． （2）n=100时，请写出相应的式子： ． 【解析】（1）根据所给的式子得出规律即可求出答案；即分子比分母大 1，再与分子相同的数进行相乘，它 就等于这个分子比分母大 1的式子与分子相同的数进行相加； （2）根据（1）所得出的规律，再把 n=100代入即可求出答案． 解：（1）根据所给的式子可得； 分子比分母大 1，再与分子相同的数进行相乘，它就等于这个分子比分母大 1的式子与分子相同的数进行相 10 加，可以得出用含 n的式子表示是： •n= +n； （2）根据（1）所得的规律，把 n=100代入上式得： 原式= ×100 = +100 = ； 故答案为： •n= +n， ． 8、观察下列等式： ， ， ，将以上三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出： = ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① = ； ② = ． （3）探究并计算（要求写出计算过程）： = ． 【解析】（1）根据题意得： = ﹣ ； （2）①原式=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ； ②原式=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ； （3）原式= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ． 故答案为：（1） ﹣ ；（2）① ；② ；（3） 9、在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3倍， 于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38 ①， 11 然后在①式的两边都乘以 3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39 ②， ②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即 2S=39﹣1，所以 S= ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m≠0且 m≠1），能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016 的值？如能求出，其正确答案是 ． 【解析】仿照例子，将 3换成 m，设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且 m≠1），则有 mS=m+m2+m3+m4+…+m2017，二者做差后两边同时除以 m﹣1，即可得出结论． 解：设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且 m≠1） ①， 将①×m得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017 ②， 由②﹣①得：mS﹣S=m2017﹣1，即 S= ， ∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016= （m≠0且 m≠1）．故答案为： （m≠0且 m≠1）．  课后反击 1、观察下列图形的构成规律，按此规律，第 10个图形中棋子的个数为（ ） A．51 B．45 C．42 D．31 菁优网版权所有 【解析】根据图形可分别得出 n=1、2、3时，图形中棋子的个数，进而发现规律：第 n个图形中棋子的个 数为 3n+1． 解：n=1时，棋子有 4个，4=3×1+1； n=2时，棋子有 7个，7=3×2+1； n=3时，棋子有 10个，10=3×3+1；… n=10时，棋子的个数应该是 3×10+1=31个．故选 D． 2、如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是（ ） 12 A． B． C． D． 【解析】通过观察所给三个图案可找出规律，即后一个图形是前一个图形旋转得出的，所以下一个呈现出 来的图形是 B．再次旋转得图形 B，故选 B． 3、如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 O为起点结六条线 OA， OB，OC，OD，OE，OF后，再从线 OA上某点开始按逆时针方向依次 在 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结 点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第 200个结点在（ ） A．线 OA上 B．线 OB上 C．线 OC上 D．线 OF上 【解析】根据题意分析可得： OA上的点为：1，7，13，即 1+6（n﹣1）； OB上的点为：2，8，14，即 2+6（n﹣1）； 依次可得：OC、OD、OE上的点的性质． 第 200个结点所在的位置，通过计算可得，200÷6=33…2．在 OB上，故选 B． 4、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第 2005个数是（ ） A．22004 B．22004﹣1 C．22003 D．以上答案均不对 【解析】由于按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，每一个数是前面的数的 2倍，由此即可确定第 2005 个数． ∵一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…， ∴这些数变为：20、21、22、23、24、25，…， ∴第 2005个数是 22004．选 A． 5、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ） 13 A．38 B．52 C．66 D．74 【解析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下， 右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是 8，右上是 10． 解：8×10﹣6=74，故选：D． 6、将一组整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n，m）表示第 n排，从左到右第 m个数，如 （4，2）表示的数为 8，则（7，4）表示的数是（ ） A．32 B．24 C．25 D．﹣25 菁优网版权所有 【解析】设第 n行的最后一个数为 an，根据给定的数值列出部分 an的值，根据数的变化找出变化规律 “an= ”，依次规律找出 a6，再用 a6+4即可得出结论． 解：设第 n行的最后一个数为 an， 观察，发现规律：a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…， ∴an=1+2+3+…+n= ． 当 n=6时，a6= =21，∴（7，4）表示的数是：21+4=25．故选 C． 7、任意大于 1的正整数 m的三次幂均可“分裂”成 m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19，…按此规律，若 m3分裂后其中有一个奇数是 2015，则 m的值是（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【解析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到 m3的所有奇数的个数的表达式，再求出 奇数 2015的是从 3开始的第 1007个数，然后确定出 1007所在的范围即可得解． 解：∵底数是 2的分裂成 2个奇数，底数为 3的分裂成 3个奇数，底数为 4的分裂成 4个奇数， ∴m3分裂成 m个奇数， 所以，到 m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m= ， 14 ∵2n+1=2015，n=1007， ∴奇数 2015是从 3开始的第 1007个奇数， ∵ =989， =1034， ∴第 1007个奇数是底数为 45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即 m=45．故选 B． 8、观察下列等式：① = ﹣ ；② = ﹣ ；③ = ﹣ ，…按照此规律，解 决下列问题： （1）完成第④个等式； （2）写出你猜想的第 n个等式（用含 n的式子表示），并证明其正确性．菁优网版权所有 【解析】（1）观察给定①②③三个等式，找出等式中各分式之间的关系，利用该关系写出第 4个等式； （2）结合（1）找出规律“第 n个等式为： = ”，利用通分合并同类项等方式 来证明结论成立． 解：（1）观察发现：①1×2×3中，1×3=3，剩个 2；②2×3×4中，2×4=8，剩个 3；③3×4×5中， 3×5=15，剩下个 4， ∴④应该为： = = ． （2）结合（1）故猜想： 第 n个等式为： = ． 证明：等式右边= ， = ， = ， = =左边， ∴等式成立，即猜想正确 直击中考 1、（2015•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 5个图形有 个太阳． 15 【解析】由图可看出：第一行太阳的个数是从 1开始连续的自然数，第二行太阳的个数是 1、2、4、8、…、 2n﹣1，由此计算得出答案即可． 解：第一行小太阳的个数为 1、2、3、4、…，第 5个图形有 5个太阳， 第二行小太阳的个数是 1、2、4、8、…、2n﹣1，第 5个图形有 24=16个太阳， 所以第 5个图形共有 5+16=21个太阳．故答案为：21． 2、（2011•深圳）如图，这是由边长为 1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第 n个图 形的周长是 ． 【解析】观察摆放的一系列图形，可得到依次的周长分别是 3，4，5，6，7，…，从中得到规律，根据规律 写出第 n个图形的周长． 解：由已知一系列图形观察图形依次的周长分别是： （1）2+1=3，（2）2+2=4， （3）2+3=5，（4）2+4=6， （5）2+5=7，…， 所以第 n个图形的周长为：2+n．故答案为：2+n． 3、（2010•深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出 22010的末位数字是（ ） 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…． A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】因为 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，观察发现：2n的个位数字是 2， 4，8，6四个一循环，所以根据 2015÷4=503…3，得出 22015的个位数字与 23的个位数字相同，是 8． 解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…． 2010÷4=502…2，∴22010的末位数字和 22的末位数字相同，是 4．故选：B S(Summary-Embedded)——归纳总结 16 重点回顾 1、图形摆放的规律探究 2、数字中的规律探究 3、算式中的规律探究 名师点拨 1、图形摆放的规律探究 此类问题，先从简单的图形入手，观察图形特征、图形数量等，比较后一个图形与前一个图形，在数量 上的变化情况或图形上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 2、数字中的规律探究 此类问题，先从简单的特征入手，观察数字组成特征等，比较后一个数字与前一个数字，在和差积商以 及平方上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 3、算式中的规律探究 此类问题，先从简单的运算入手，观察算式运算符号特征等，比较后一个算式与前一个算式，在乘除加 减运算上的变化情况，从而找出变化规律，进而推出一般性结论，再运用规律进行计。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是