新人教版_七年级数学上册总复习，精品2套 126页

新人教版 七年级数学上册 （各章知识点课件） 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（ set of number ）。 所有正数组成的集合，叫 做正数集合； 所有负数组成的集合叫做负数集合； 所有整数组成的集合叫整数集合； 所有分数组成的集合 叫分数集合； 所有有理数组成的集合叫有理数集合； 所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。 1.1 正数和负数 （ 1 ）正数：大于零的数叫做正数。如： 1,0.25 ， … ， 69 。 负数：小于零的数叫做负数。如： -1 ， -3.8 ， -1/4 ， … ， -25 。 零： 零既不是正数也不是负数 整数：正数、 0 、负数 （ 2 ）用正负数表示两个意义相反的量。 第一章 有理数 （ 1 ） 有理数的分类 （ 3 ）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 如 2 与 -2 ， -5 与 5 ， a 与 -a 等。 ① 通常用 a 和 -a 表示一对相反数 ②若 a 与 b 互为相反数，则 a+b =0 ③ 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |-a|=|a| ④若 |a|=|b|, 则 a=b, 或 a=- b(a 与 b 互为相反数 ) （ 2 ）、数轴 的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素 、 、 。 原点 正方向 单位长度 1.2 有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 有理数的两种分类： 正整数 0 有理数　　 负整数　 正分数 负分数 分数 整数 正数 负数 正整数　 正分数 有理数　 负整数 负分数 0 　 ……………. 非负数 一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ， 0 的绝对值是 。 是它本身 它的相反数 0 （ 4 ）、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，符号表示为 ( |a| ) 注意： ①|a| ≥ 0 即对任意有理数 a ，它的绝对值是非负数 ②绝对值最小数为 0 （ 5 ）、有理数数的比较： ①在数轴上表示的两个数右边的总 比左边的大。 ② 两个正数比较大小，绝对值大的数大； 两个负数绝对值大的反而小。 ③正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 ④作差法： a-b ＞ 0↔a ＞ b ⑤ 作商法： a ／ b ＞ 1,b ＞ 0↔a ＞ b ★ 有理数的运算 符号 计算绝对值 加法 同号 异号 减法 减去一个数等于 乘法 同号 异号 除法 同号 异号 除以一个数等于 乘方 取相同的符号 绝对值相加 取绝对值大的符号 较大绝对值减较小绝对值 得正 得正 得负 得负 绝对值相乘 绝对值相除 加上这个数的相反数 乘以这个数的倒数 （ n 个 a 相乘） 注意： -1 4 = – ( 1×1×1×1 )= – 1 (-1) 4 =(-1) ·(-1) ·(-1) ·(-1)=1 运算律 1 、加法交换律： 2 、加法结合律： 3 、乘法交换律： 4 、乘法结合律： 5 、分配律： 有理数混合运算的运算顺序 　　 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号就先算括号里面的。 同级运算从左到右进行。 （ 4 ）、科学计数法 1 、 把一个绝对值大于 10 的数表示成 a×10 的形式（ a 是整数数位只有一位的数， n 是比原整数数位小 1 的正整数），如 236000000=2.36×10 8 ； -2450000=-2.45×10 6 2 、将用科学计数法表示的数还原，如： 1.52×10 4 =15200 （ 5 ）、有效数字、近似数 一个数字从左边第一个非 0 的数字起到末位止，叫做这个数的有效数字。 如： 0.003020 有四个有效数字，分别是 3 、 0 、 2 、 0 。 第二章 整式的加减 1. 整式的概念 : (1) 单项式 : 都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 ①单项式的系数：单项式中的数字因数。 ②单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和 ※ 注意 ① 圆周率 π 是常数； ② 只含有字母因式的 单项式的系数是 1 或－ 1 时，“ 1” 通常省略不写，如 x 2 ，－ a 2 b 等； ③ 单项式次数只与字母指数有关。如 2 3 a 6 的次数为 6 ④ 单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 ⑤ 单项式的系数包括它前面的符号。 ⑥ 单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身 ; 非零常数的次数是 0 。 (2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 1 、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 2 、多项式中不含字母的项叫做常数项。 3 、一个多项式有几项，就叫做几项式。 4 、多项式的每一项都包括项前面的符号。 5 、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 (3) 多项式排列 : ① 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列． ②把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列． （ 4 ）单项式与多项式统称整式。 （分母含有字母的代数式不是整式） 2. 同类项：所含字母相同 , 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 几个常数项也是同类项。 3. 把多项式中的同类项合并成一项 , 叫做合并同类项 合并同类项法则 : 合并同类项后 , 所得项的系数是合并前各同类项的系数的和 , 且字母部分不变。 注意 : ①. 若两个同类项的系数互为相反数 , 则两项的和等于零 , 如 :-3ab 2 +3ab 2 =(-3+3)ab 2 =0×ab 2 =0 。 ② . 多项式中只有同类项才能合并 , 不是同类项不能合并。   ③ . 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小 ( 降幂 ) 或者从小到大 ( 升幂 ) 的顺序排列 , 如 :-4x 2 +5x+5 或写 5+5x-4x 2 。 4. 整式的加减就是 合并同类项 的过程。 5. 整式去括号变化规律 : （ 1 ） . 如果括号外的因数是 正数 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ；如： + （ x-3 ） =x-3 （ 2 ） . 如果括号外的因数是 负数 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 。如 ： - （ x-3 ） =-x+3 6 ．整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 第三章 一元一次方程 1: 等式的概念：用等号表示相等关系的式子叫做等式 . 2: 等式的基本性质 (1) 等式两边加上 ( 或减去 ) 同一个数或同一个代数式 , 所得的结果仍是等式 . 即若 a=b ，则 a±c = b±c . (2) 等式两边乘以 ( 或除以 ) 同一个不为 0 的数或代数式 , 所得的结果仍是等式 . 如果 a=b, 那么 ac= bc ; 如果 a=b （ c ≠ 0 ） , 那么 a/c= b/c 此外等式还有其它性质 : 若 a=b ，则 b=a. 若 a=b ， b=c, 则 a=c. 说明 : ① 等式两边不可能同时除以为零的数或式子 ② 等式的性质是解方程的重要依据 . 3: 方程的概念：含有未知数的等式叫方程，方程中一定含有未知数，而且必须是等式，二者缺一不可 . 说明 : 代数式不含等号 , 方程是用等号把代数式连接而成的式子 , 且其中一定要含有未知数 . 4: 一元一次方程的概念：只含有一个未知数 , 并且未知数的次数是 1 的方程叫一元一次方程 . 任何形式的一元一次方程 , 经变形后 , 总能变成形为 ax=b( a≠0,a 、 b 为已知数 ) 的形式 , 这种形式的方程叫一元一次方程的一般式 . 注意： a≠0 这个重要条件 , 它也是判断方程是否是一元一次方程的重要依据 . 一般地，如果不设定 a≠0 ，则关于 x 的方程 ax=b 的解有如下讨论： 当 a≠0 时，方程有唯一解 x=b/a ； 当 a=0,b=0 时，方程的解为一切数； 当 a=0,b≠0 时，方程无解。 关于绝对值方程 |x|=a 的解：当 a≥0 时， x=±a; 当 a ＜ 0 时，无解。 5: 方程的解与解方程 : 使方程两边相等的未知数的值叫 做方程的解 , 求方程解的过程叫 解方程 . 6: 关于移项 :⑴ 移项实质是等式的基本性质 1 的运用 . ⑵ 移项时 , 一定记住要改变所移项的符号 . 7: 解一元一次方程的一般步骤 : 去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为 1. （具体解题时，有些步骤可能用不上，有些步骤可以颠倒顺序，有些步骤可以合写，以简化运算，要根据方程的特点灵活运用 . ） 说明 : 去分母时 , 易漏乘方程左、右两边代数式中的某些项 . 8: 方程的检验 检验某数是否为原方程的解，应将该数分别代入原方程左边和右边，看 两边的值是否相等 . 注意：应代入原方程的左、右两边分别计算，不能代入变形后的方程的左边和右边 . 1 、仔细审题，透彻理解题意。即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母（如 X ）表示题中的一个合理未知数（如题中所求的量）； 2 、根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（关键的一步） 3 、根据相等关系，正确列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用； 4 、求出所列方程的解； 5 、检验后明确地、完整地写出答案（注意单位） 　这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。 一元一次方程解应用题 常见应用问题： 1 ．和、差、倍、分问题，一般关系明显，可直接列出． 2 ．行程问题：路程＝速度 × 时间 相遇问题、追及问题、 航行问题 相遇问题： 分路程之和等于总路程；同时走时两方所用的时间相等． 追及问题： 两方所走路程差等于追及路程；常以追及时间为等量关系． 航行问题： 3 ．工程问题：常设总工作量为 1 ． 工作总量 = 工作时间 × 工作效率 4 、数字问题：区分好“数”和“数字”两个概念． 数字的表示方法：一个两位数，十位数字为 a ，各位数字为 b ，则表示为 10 a + b ；一个三位数，百位数，十位数，个位数分别是 a ， b ， c ，则表示为 100 a +10 b + c ． 4 ．市场经济问题： 5 ．储蓄问题 第四章 图形认识初步 1 、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。几何图形分为 平面图形 和 立体图形 。 （ 1 ）平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。 （ 2 ）立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。 图 1 从正面看 从左面看 从上面看 图 2 从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 2 、从不同方向观察几何体 3 、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形称为立体图形的展开图。 （ 1 ）圆柱和圆锥的侧面展开图 （ 2 ）棱柱和棱锥的展开图 （ 3 ）根据展开图判断立体图形的规律： A 展开图全是长方形或正方形时 ------ 长方体或正方体； B 展开图中含有三角形时 ----- 棱锥或棱柱； 若展开图中含有 2 个三角形 3 个长方形 ----- 三棱柱； 若展开图中全是三角形（ 4 个） ----- （三）棱锥。 C 展开图中含有圆和长方形 ----- 圆柱； D 展开图中含有扇形 ------ 圆锥。 4 、点、线、面、体 ⑴体：几何体简称为体。 ⑵面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。 ⑶线：面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。 ⑷点：线与线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形的组成：由点线面体组成。点是构成图形的基本元素，而点本身也是最简单的几何图形。 5 、直线 ：把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。 ⑴表示方法：直线 AB 或直线 L ⑵点与直线的关系：点在直线上、点在直线外 ⑶直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（ 两点确定一条直线 ）； ⑷交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 7. 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 ①表示方法 ②画法 ③基本性质： 两点之间，线段最短。 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 ④线段的中点 : 把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。 ⑤比较线段长短的方法： A 叠合法； B 度量法。 6 、射线 ：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。 ①表示方法：端点字母必须写在前 ②射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同 ---- 端点相同、延伸方向也相同。 8 、直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个方面区别） ①表示法 ②延伸性：直线向两端无限延伸， 射线向一方无限延伸， 线段没有延展性 ③端点个数：直线没有端点， 射线只有一个端点， 线段有两个端点 ④画图叙述：过 AB 两点作直线 AB ； 以 O 为端点作射线 OA ； 连接 AB 。 ⑤特征 ⑥性质 9. 角：①具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。（角的静态定义 ） ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（角的动态定义 ） 10 、角的表示方法： （ 1 ）用三个大写英文字母表示； （ 2 ）用一个大写英文字母表示； （ 3 ）用阿拉伯数字表示； （ 4 ）用小写希腊字母表示。 11 、角的度量：“ °” “′” “″” 度分秒。 12 、角的大小的比较方法：（ 1 ）重叠法； （ 2 ）度量法。 13 、注意： （ 1 ）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可； （ 2 ）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关； （ 3 ）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变 . 如一个 37° 的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是 37° 不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍 . 另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后 . 14 、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分线。 15 、余角、补角 （ 1 ）概念：余角 ---- 如果两个角的和相加等于直角即 90° ，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。 补角 ---- 如果两个角的和相加等于平角即 180° ，那么这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 （ 2 ）性质： 等角的余角相等；等角的补角相等。 互为余角的有关性质： ①∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 90° ，则∠ 1 、∠ 2 互余；反过来，若∠ 1 ，∠ 2 互余，则∠ 1+∠2 ＝ 90° ； ②同角或等角的余角相等，如果∠ l 十∠ 2 ＝ 90° ，∠ 1+∠ 3 ＝ 90° ，则∠ 2 ＝∠ 3. 互为补角的有关性质： ①若∠ A +∠ B ＝ 180° ，则∠ A 、∠ B 互补；反过来，若∠ A 、∠ B 互补，则∠ A +∠ B ＝ 180°. ② 同角或等角的补角相等 . 如果∠ A +∠ C ＝ 180° ，∠ A +∠ B ＝ 180° ，则∠ B ＝∠ C . 16 、方位角： 必须以正南。正北方向为基准。 17. 角的种类： 锐角：大于 0° ，小于 90° 的角叫做锐角。 直角：等于 90° 的角叫做直角。 钝角：大于 90° 而小于 180° 的角叫做钝角。 平角：等于 180° 的角叫做平角。 知识结构 相交线 两条 直线 相交 邻补角、对顶角 对顶角相等 垂线及其性质 点到直线的距离 两条 直线 被第 三条 直线 所截 同位角、内错角、同旁内角 平行线 平行公理 平移 判定 性质 1. 互为邻补角 : 两条直线相交所构成的四了角中 , 有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角。如图 (1) 1 2 2. 对顶角 : (1) 两条直线相交所构成的四个角中 ， (1) 有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 如图 (2). (2) 1 2 3 4 (2) 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。 3. 邻补角的性质 : 同角的补角相等 。 4. 对顶角性质 : 对顶角相等。 两个特征 :(1) 具有公共顶点 ; (2) 角的两边互为反向延长线。 n 条直线相交于一点， 就有 n(n-1) 对对顶角。 1. 垂线的定义 : 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角 是 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一 条直线的垂线。它们的交点叫垂足。 2. 垂线的性质 : (1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 (2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线 段最短。简称 : 垂线段最短。 3. 点到直线的距离 : 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 4. 如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与 直线垂直时， 特指它们所在的直线互相垂直。 5. 垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指 垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。 平行线的概念 : 在同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线。 2. 两直线的位置关系 : 在同一平面内，两直线的位置关系只有两 种 :(1) 相交 ; (2) 平行。 3. 平行线的基本性质 : (1) 平行公理 ( 平行线的存在性和唯一性 ) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (2) 推论 ( 平行线的传递性 ) 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 4. 同位角、内错角、同旁内角的概念 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线 相交构成的八个角中， 不共顶点的角之间的特殊位置关系。 它 们与对顶角、邻补角一样， 总是成对存在着的。 平行线的性质 平行线的判定 两直线平行 条件 结论 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 条件 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 结论 两直线平行 夹在两平行线间的垂线段的长度 , 叫做两平行线间的距离。 1. 命题的概念 : 判断一件事情的句子， 叫做命题。 命题必须是一个完整的句子 ; 这个句子必须对某件事情做出肯 定或者否定的判断。 两者缺一不可。 2. 命题的组成 : 每个命是由题设、结论两部分组成。 题设是已知事项 ; 结论是由已知事项推出的事项。命题常写成 “如果 …… ，那么 ……” 的形式。或 “若 …… ，则 ……” 等形式。 真命题和假命题 : 命题是一个判断， 这个判断可能是正确的， 也可以是错误的。由此可以把命题分成 真命题和假命题 。 真命题就是 : 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题就是 : 如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。 1. 平移变换的定义 : 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到 一个新图形，这样的图形运动， 叫做平移变换，简称平移。 平移的特征 : (1) 平移不改变图形的形状和大小。 (2) 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。 决定平移的因素是平移的 方向和距离。 经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。 经过平移， 对应角相等 ; 对应线段平行且相等 ; 对应点所连的线 段平行且相等。 44 新人教版数学七上 期末复习 45 理清知识脉络，紧抓主干知识 正数和负数 加法 有理数 数轴 相反数 比较大小 绝对值 减法 除法 乘方 加法法则 加法运算律 加法法则 加减混合运算 乘法 乘法法则 乘法运算律 除法法则 乘除混合运算 乘方运算 科学记数法 近似数 有理数 带负号的数就是负数； 温度 0℃ 就是没有温度； 直线就是数轴； 数轴是直线，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示； 数轴上到原点距离等于 3 的点所表示的数是 3 、 -3 ； 数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的点是正数，原点表示的数是 0 ； 正整数和负整数统称为整数； 正分数和负分数统称为分数。 典型例题：判断下列命题是否正确 47 典 型 例 题 如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 ； 如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是 ； 如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数是 ； 如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是 ； 如果一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是 。 0 非负数 -1 或 1 非正数 负数 48 例 一种圆形零件的直径规格如图： 表示这种零件的标准尺寸是 30mm ， 加工时要求这种零件的直径最大不 超过 , 最小不小于 . 典型例题 49 科学记数法与近似数 近似数精确度的两种形式： 精确到哪一位 有效数字 ： 科学记数法：用字母 N 表示数， 则 N = a ×10 n (1≤| a | ＜ 10 ， n 是整数 ) ． 关键是 熟练掌握 a 和 n 的确定 50 典型例题 用科学记数法记出下列各数： (1) 月球的质量约是 7 340 000 000 000 000 万吨； (2) 银河系中的恒星数约是 160 000 000 000 个； (3) 地球绕太阳转的轨道半径约是 149 000 000 千米 . 近似数与科学记数法相结合 51 定义新运算 8 - x +1 52 运算是重点，正确率是关键 加、减、乘、除、乘方的运算法则要理清 注意混合运算的顺序 运算法则是根本，运算律和一些技巧要合理使用，是选择性的，不是必须的 53 例 计算： 16+(-25)+24+(-32) ． 解：原式 = (16+24)+[(-25)+(-32)] = 40+(-57) = -17 ． 把正数和负数分别结合在一起计算就比较简便． 常用的一些运算的注意事项或简便方法 例 7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1 ． 解：原式 = [(-4)+(4)]+[5+(-3)+ (-2)]+(7+6+3+8+1) = 0+0+25 = 25 ． 把相加得零的数结合起来相加．计算比较简便． 54 解：原式 　 作分数加法时，先把同分母的或相加得整数的结合起来相加．计算比较简便． 常用的一些运算的注意事项或简便方法 解：原式 先定符号，合理使用分配律 55 常用的一些运算的注意事项或简便方法 解：原式 通过算式的规律确定负因数的个数为 1005 个，为奇数，因此符号为负 . 56 例 用“ <” ，“ >” 填空 （ 1 ）如果 ab >0 ， a + b >0 ，那么 a ___0 ， b ___0 ； （ 2 ）如果 ab >0 ， a + b <0 ，那么 a ___0 ， b ___0 ； （ 3 ）如果 ab <0 ， a > b ，那么 a ___0 ， b ___0 运算中更一般的问题 （略高要求） 两数的同正、同负、异号如何用两数之和、积去表示 例 比较大小 (1) 当 b ＞ 0 时， a ， a - b ， a + b 哪个最大？哪个最小？ (2) 当 b ＜ 0 时， a ， a - b ， a + b 哪个最大？哪个最小？ 会根据加数的正负判断和或差的大小关系 57 (5) 两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号； (6) 两个数相加，和一定大于任一个数； (7) 两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数 . 判断题 (1) 同号两数相乘，取相同的符号，并把绝对值相乘 ; (2) 两数相乘，如果积为正数，这两个因数同号 ; (3) 两数相乘，如果积为负数，这两个因数异号 ; (4) 几个有理数相乘，其中负因数的个数为奇数，那么积一定是负数 ; 运算中更一般的问题 （略高要求） 58 1. 判断对错 : (1)0 是单项式 , 也是整式 ； (3) 单项式 的次数是 7 次； (2) 是二次三项式； 典型例题 2. 当 m 等于什么时 , 是关于 x , y 的二次多项式 ? 59 例 若 M ， N 都是 4 次多项式，则 M ＋ N 为（ ） A. 4 次多项式 B. 8 次多项式 C. 次数不超过 4 次的整式 D. 次数不低于 4 次的整式 C 典型例题 60 合并同类项是要熟练掌握的基本方法 (2) 当 m 取何值时， -3 y 3 m x 3 与 4 x 3 y 6 是同类项 ? (1) k 为何值时， 3 x k y 与 - x 2 y 是同类项？ 例题 系数相加 不变 原式 61 合并同类项是要熟练掌握的基本方法 系数相反 找出 同类项 例题 62 去括号、添括号法则是导致错误的一个关键点 例题 先去括号，再合并同类项： 注意括 号前面 的符号 63 化简 条件 代入 结果 多项式的化简与求值 注意解题步骤，结果要有化简和求值两部分 . 64 渗透思想方法，提升综合能力 65 数学推理能力，数学表达能力 66 数学推理能力，数学表达能力 67 整体代入的思想 68 数形结合思想 例题 一个负有理数 a 在数轴上的位置为 A ，那么在数轴上与 A 相距 d ( d >0) 个单位的点中，与原点距离最远的点所对应的数是多少？ a a+d B A a-d C d d 0 O a a+d B A a-d C d d 0 O 通过数形结合容易发现与原点距离最远的点所对应的数为 a – d . 69 运算律与图形 a a b c a （ b+c ） = ab+ac 数形结合思想 70 数形结合思想 71 计算 (1) 1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+…+99+(-100) ． =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) ( 共 50 个 ) =-50 1+(- 2)+(- 3)+4+5+(- 6)+(- 7)+8+… +2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008+2009+(- 2010)+(- 2011) =[1+(- 2)+(- 3)+4]+[5+(- 6)+(- 7)+8]+… +[2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008]+2009+(- 2010)+(- 2011) =0+0+…+0+2009+(-2010)+(-2011) =-2012 运算方法与技巧 寻找规律和方法，并把方法通过计算过程体现出来 72 在数 1,2,3, …,2010 前分别添加“＋”或“－”，求其所有可能的运算结果中最小的非负数 . 运算方法与技巧 因为 1+2+3+ …+2010=2021055 为奇数，所以在 1,2,3,…,2010 前分别添加“＋”或“－”的运算结果为奇数 . 又因为 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-2006-2007+2008)-2009+2010=1, 则其所有可能的运算结果中最小的非负数为 1. 连续四个整数通过这种方式可以得到 0 73 例题 青蛙落在数轴上表示 2011 这个数的点上．它第一步往左跳 1 个单位，第二步往右跳 2 个单位，第三步往左跳 3 个单位，第四步往右跳 4 个单位，依此类推，当跳了 100 步时，青蛙恰好落在了 M 点．你能求出点 M 所表示的数吗？ 实际问题与有理数运算 方法一： M 表示的数 m =2011-1+2-3+4-…-99+100 =2011+(1+1+…+1) ( 共 50 个 ) =2061 ； 方法二：每相邻两步的结果可以看作是向右跳一个单位，则 100 步就是向右跳 50 个单位，则 M 表示的数 m =2011+50=2061 ； 74 运算方法与技巧 倒序相加法（用于等差数列求和） 例 计算 1+3+5+7+…+2009+2011 的值． 　 用字母 S 表示所求算式，即 S =1+3+5+…+2009+2011 ． ① 　又 S =2011+2009+…+5+3+1 ． ② 将 ① ， ② 两式左右分别相加，得 2 S =(1+2011)+(3+2009)+…+(2009+3)+(2011+1) =2012+2012+…+2012+2012 ( 共 1006 个 2012) =2012×1006 ． 从而有 S =1006×1006=1012036 ． 可先研究第 n 项，进行化简得 n /2 75 运算方法与技巧 裂项法 76 分析、探究、现场学习类问题 77 发现、归纳、表达 78 观察下列每题给出的数，找出规律，分别写出第 n 个数是什么 （ 1 ） ， ， ， ， … ； （ 2 ）  2 ， 4 ，  8 ， 16 ， … ； （ 3 ） 4 ， 10 ， 28 ， 82 ， … ； （ 4 ） ， ， ， ， … 发现、归纳、表达 79 发现、归纳、表达 第 2 行的规律并不容易发现，但可以通过第 1 行得到 通过这个问题，让学生学会在题目中去寻找方法 80 发现、归纳、表达 （ 1 ）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，他的猜想正确吗？为什么？ （ 2 ）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想 . 区分一般性与特殊性； 说明一个结论是错误的，只需要举出反例即可 . 81 下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表： 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a a a a a a a a a a a …… 发现、归纳、表达 梯形和三角形个数 1 2 3 4 5 6 n 梯形或平行四边形的周长 5 a 6 a 9 a 10 a … … 13 a 14 a 当 n 为奇数时，周长为 (2 n +3) a ； 当 n 为偶数时，周长为 (2 n +2) a ； 82 下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表： 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a a a a a a a a a a a …… 发现、归纳、表达 梯形和三角形个数 1 2 3 4 5 6 2 n -1 2 n 梯形或平行四边形的周长 5 a 6 a 9 a 10 a … … 13 a 14 a (4 n +1) a (4 n +2) a 不难发现规律，分奇数、偶数来考虑 83 错位相减法（用于等比数列求和） 运算方法与技巧、边学边用 模仿上面的结果可能会误选 B ，应该在理解的基础上模仿上面的方法，动手进行计算 . 84 边学边用、信息技术中的数学 本例渗透了计算机的基本知识 ——“ 二进制计算”，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式 . c 85 按下图所示的程序计算，若开始输入的值为 x= 2, 则最后输出的结果是多少？若开始输入的值为 x= 1, 则会怎么样？ 信息技术中的数学问题 若已知输出结果为 232 ，求输入的正整数 x. 232 2 ， 6 或 21 86 如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 48 ，我们发现第 1 次输出的结果为 24 ，第 2 次输出的结果为 12 ， … ，第 2011 次输出的结果为 . 信息技术中的数学问题 输入 x x 为偶数 x +3 0.5 x 输出 x 为奇数 经过几次运算，输出结果为 3 和 6 循环出现 6 87 定义新运算 -9 -3 一元一次方程复习 回顾与思考 知识结构 方 程 去括号 解题步骤 等式的性质 移项 合并 方程的概念 一元一次方程 概念 解法 去分母 系数化为 1 知识点复习一 ( 概念 ) 方程是指含有未知数的等式，方程 是等式，但等式不一定是方程。 一元一次方程是只指含有一个 未知数，且未知数的最高次数是 1 的方程。 它的标准形式是： ax+b=0 ( ) 它的最简形式是： ax=b ( ) 1 、什么是方程？方程和等式的区别是什么？ 2. 什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么 ？ 知识点练习一 1. 下列说法中正确的是 （ A ） A. 方程是等式 　 B. 等式是方程 C. 含有字母的等式是方程 D. 不含有字母的方程是等式 ２ . 若关于 x 的方程 2x 2m-3 +m=0 是一元一次方程， 则 m=_____ ，方程的解是＿＿。 知识点复习二 １ . 什么是方程的解， 　什么是解方程？ 方程的解是指能使方程左右 两边相等 的 未知数的值 。 解方程是指 求出 方程 的解的 过程 。 -1 X=3 7 2 、若 x ＝－ 3 是方程 x ＋ a ＝ 4 的解，则 a 的值是 . 1 、方程 5 － x ＝ 2 中未知数的系数是 ，方程的解是 。 １ . 等式性质有哪些？并以字母的形式表示出来 等式性质 1 ： 如果 a=b ，那么 a + c=b + c 需注意的是“同一个数，或同一个式子”。 知识点练习三 、 等式性质 2 ： 如果 a=b ， 那么 ac=bc 如果 a=b ， 那么 a/c=b/c 需注意的是“两边都乘，不要漏乘”；“同除一个非 0 的数” 2 、已知 x = y ，下列变形中不一定正确的是（ ） A.x-5=y-5 B.-3x=-3y C.mx=my D. 1 、若 a+2b = x + 10 ，则 2a + 2b = x + 10+ . a D 知识点复习四 、 2 、 去括号 ：注意符号 3 、 移项 ： ① 将含有未知数的项移到等式的 一边；将常数项 移到另一边； ② 注意“变号” 4 、 合并 （乘法分配律的逆用） 5 、 系数化 1 ：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5. 解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 它的 根据 是什么？ 1 、 去分母 ：不要漏乘分母为 1 的项。 （ 1 ）去分母 ： 不要漏乘不含分母的项 （ 2 ）去括号： 去括号后的符号变化 , 并且不要漏乘括号中的每一项 例：去括号 A 、 + （ 2X- 5)= ___________ B 、 - (2X- 5)=__________ C 、 3 （ 3X+1)= ___________ D 、 -2(3X- 5)= _________ （ 3 ）移项： 移动的项要变号 例 ：方程 3X+20=4X-25+5 移项正确的是： A 、 3X--4X=-5-25-20 B 、 3X-4X=-25+5-20 5 、解一元一次方程的一般步骤 3(3Y-1)- 12 =2(5Y-7) 2X- 5 - 2X+5 9X+3 - 6X+10 √ × 解方程 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 ∴ 去分母得 去括号，得 移项，合并同类项，得 下面方程的解法对吗？若不对，请改正 。 不对 两边同时除以 10, 得 火眼金睛 知识点练习四 、 例题 1 、解方程： 解： 去分母 ，方程两边都乘以 12 ， 得 3 （ x-1 ） =2 （ 3-2x ）－ 30 去括号 ，得 3x-3=6-4x-30 移项， 得 3x+4x=6-30+3 合并， 得 7x=-21 系数化 1 ，得 x=-3 1、若方程3x＋5＝11与6x＋3a＝22的解相同，则a的值为（ ） A、3 B、10 C、3/11 D、10/3 2、如果－b 2 ＋a＋5＝－b 2 －5，那么a的值（ ） A、5 B、 － 5 C、10 D、 － 10 D D 3、解方程 　　时，下列选项出错的一步是（ ） A、2（x － 1） － 3（4 － x）＝1 B、2x － 2 － 12＋3x＝1 C、5x＝15 D、x＝3 A 回顾与思考 数学乐园 4、在解方程5x-2=7x-2时，小糊计算如下： 两边同加2，得：5x-2+2=7x-2+2 得：5x=7x 两边同除以x，得：5=7 所以他说此方程无解。 你觉得他做得对吗？为什么？ 那“因为ac=bc，所以a=b”推理对吗？ ？ 5 、 解下列方程 ⑴ 　 3 （ x － 5 ） － 2 （ x ＋ 2 ）＝ 5 （ x － 7 ） ⑵ ⑶ 跟踪练习 2 、 方程 5b － 3x ＝ － 14x 的解是 x ＝ ，求关于 y 的方程 by ＋ 2 ＝ b （ 1 － 2y ）的解。 解：由题意可得： x ＝－ 2 是 方程 2x ＋ 4 ＝ x/2 － a 的 解 ， 则 -4+4=-1-a ，从而得出： a =-1 将 a =-1 代入 代数式 a 2 － 1/a 中，得 原式 = （ -1 ） 2 -1/ （ -1 ） =2 6 、已知 x ＝－ 2 是方程 2x ＋ 4 ＝ x/2 － a 的解，求 a2 － 1/a 的值 10 B 1/9 3. 解方程 ，较简便的是（ ） A. 先去分母 B. 先去括号 C. 先两边同除以 D. 先两边同乘以 1. 已知 9x-3y- =0 ，观察并思考，怎样求出 3x-y 的值？ 2.“*” 是新规定的某种运算符号，设 x*y=x+y ，则（ -2 ） *m=8 中， m 的值为 。 第四章 图形认识初步 1 、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。几何图形分为 平面图形 和 立体图形 。 （ 1 ）平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。 （ 2 ）立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。 图 1 从正面看 从左面看 从上面看 图 2 从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 2 、从不同方向观察几何体 3 、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形称为立体图形的展开图。 （ 1 ）圆柱和圆锥的侧面展开图 （ 2 ）棱柱和棱锥的展开图 （ 3 ）根据展开图判断立体图形的规律： A 展开图全是长方形或正方形时 ------ 长方体或正方体； B 展开图中含有三角形时 ----- 棱锥或棱柱； 若展开图中含有 2 个三角形 3 个长方形 ----- 三棱柱； 若展开图中全是三角形（ 4 个） ----- （三）棱锥。 C 展开图中含有圆和长方形 ----- 圆柱； D 展开图中含有扇形 ------ 圆锥。 4 、点、线、面、体 ⑴ 体：几何体简称为体。 ⑵ 面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。 ⑶ 线：面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。 ⑷ 点：线与线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形的组成：由点线面体组成。点是构成图形的基本元素，而点本身也是最简单的几何图形。 5 、直线 ：把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。 ⑴ 表示方法：直线 AB 或直线 L ⑵ 点与直线的关系：点在直线上、点在直线外 ⑶ 直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（ 两点确定一条直线 ）； ⑷ 交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 7. 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 ① 表示方法 ② 画法 ③ 基本性质： 两点之间，线段最短。 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 ④ 线段的中点 : 把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。 ⑤ 比较线段长短的方法： A 叠合法； B 度量法。 6 、射线 ：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。 ① 表示方法：端点字母必须写在前 ② 射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同 ---- 端点相同、延伸方向也相同。 8 、直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个方面区别） ① 表示法 ② 延伸性：直线向两端无限延伸， 射线向一方无限延伸， 线段没有延展性 ③ 端点个数：直线没有端点， 射线只有一个端点， 线段有两个端点 ④ 画图叙述：过 AB 两点作直线 AB ； 以 O 为端点作射线 OA ； 连接 AB 。 ⑤ 特征 ⑥ 性质 9. 角： ① 具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。（角的静态定义 ） ② 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（角的动态定义 ） 10 、角的表示方法： （ 1 ）用三个大写英文字母表示； （ 2 ）用一个大写英文字母表示； （ 3 ）用阿拉伯数字表示； （ 4 ）用小写希腊字母表示。 11 、角的度量：“ °” “′” “″” 度分秒。 12 、角的大小的比较方法：（ 1 ）重叠法； （ 2 ）度量法。 13 、注意： （ 1 ）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可； （ 2 ）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关； （ 3 ）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变 . 如一个 37° 的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是 37° 不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍 . 另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后 . 14 、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分线。 15 、余角、补角 （ 1 ）概念：余角 ---- 如果两个角的和相加等于直角即 90° ，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。 补角 ---- 如果两个角的和相加等于平角即 180° ，那么这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 （ 2 ）性质： 等角的余角相等；等角的补角相等。 互为余角的有关性质： ①∠1 ＋ ∠2 ＝ 90° ，则 ∠1 、 ∠2 互余；反过来，若 ∠1 ， ∠2 互余，则 ∠1+∠2 ＝ 90° ； ② 同角或等角的余角相等，如果 ∠l 十 ∠2 ＝ 90° ， ∠1+∠ 3 ＝ 90° ，则 ∠2 ＝ ∠ 3. 互为补角的有关性质： ① 若 ∠ A +∠ B ＝ 180° ，则 ∠ A 、 ∠ B 互补；反过来，若 ∠ A 、 ∠ B 互补，则 ∠ A +∠ B ＝ 180°. ② 同角或等角的补角相等 . 如果 ∠ A +∠ C ＝ 180° ， ∠ A +∠ B ＝ 180° ，则 ∠ B ＝ ∠ C . 16 、方位角： 必须以正南。正北方向为基准。 17. 角的种类： 锐角：大于 0° ，小于 90° 的角叫做锐角。 直角：等于 90° 的角叫做直角。 钝角：大于 90° 而小于 180° 的角叫做钝角。 平角：等于 180° 的角叫做平角。 例 1. 由 5 个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的三视图。 主视图 左视图 俯视图 典型习题 小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数。 你能摆出这个几何体吗？ 试画出这个几何体的主视图与左视图。 主视图： 左视图： 1 1 2 2 1 、 图1---11是由几个小立方体 所搭几何体的俯视图， 归纳：正方体 的表面展开图 有以下 11 种。你能看 出有什么规律吗？ 一 四 一型 二 三 一型 阶 梯 型 你能解决下列问题吗？ 1 、图中共有几条线段？几条射线？几条直线？能用字母表示出来的分别用字母表示出来。 A B C 2 、判断下列说法是否正确： （ 1 ）延长射线 OA ；（ 2 ）直线比射线长，射线比线段长；（ 3 ）直线 AB 和直线 CD 相交于点 m ；（ 4 ） A 、 B 两点间的距离就是连结 A 、 B 两点间的线段 。 3. 用一个钉子把一根细木条钉在木板上 , 用手拔木条 , 木条能转动 , 这表明 ___________ ; 用两个钉子把 细木条钉在木板上 , 就能固定细木条 , 这说明 ________________ 。 4. 如图所示 , 一只蚂蚁要从圆柱体 A 点沿表面尽可能地爬到 B 点 , 因为那里有它的食物 , 而它饿得快不行了 , 怎么爬行路线最短 ? · · A B 过一点有无数条直线 两点确定一条直线 探究一、有关距离问题 1. 如图 , 在一条笔直的公路 a 两侧 , 分别有 A 、 B 两个村庄 , 现要在公路 a 上建一个汽车站 C, 使汽车站到 A 、 B 两村距离之和最小 , 问汽车站 C 的位置应该如何确定 ? a A B · · 2. 平原上有 A 、 B 、 C 、 D 四个村庄 , 如图所示 , 为解决当地缺水问题 , 政府准备投资修建一个蓄水池 , 不考虑其他因素 , 请你画图确定蓄水池 H 的位置 , 使它与四个村庄的距离之和最小 . · · · · A B C D 3. 如图 , 蚂蚁在圆锥底边的点 A 处 , 它想绕圆锥爬行一周后回到点 A 处 , 你能画出它爬行的最短路线吗 ? A 有关线段的计算问题 (1) 如图 ,A 、 B 、 C 、 D 是直线 l 上顺次四点，且线段 AC=5 ， BD=4 ，则线段 AB-CD=_____. A B C D l (2) 如图， AC=8cm ， CB=6cm, 如果 O 是线段 AB 的中点，求线段 OC 的长度。 A B C O （ 3 ）已知 AB=16cm ， C 是 AB 上一点，且 AC=10cm ， D 为 AC 的中点， E 是 BC 的中点，求线段 DE 的长。 5 9 （ 4 ）同一直线上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，已知 AD= DB ， AC= CB ，且 CD=4cm ，求 AB 的长。 5 9 (5) 已知线段 AC 和线段 BC 在同一直线上，若 AC=5.6cm,BC=2.4cm. 求线段 AC 的中点与线段 BC 中点之间的距离。 (6). 如图所示 , 洋河酒厂有三个住宅区 A 、 B 、 C 各分别住有职工 30 人、 15 人、 10 人 , 且这三个区在酒家大道上 (A 、 B 、 C) 三点共线 , 已知 AB=100 米 ,BC=200 米 . 为了方便职工上下班 , 该厂的接送车打算在此间只设一个停靠点 , 为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小 , 那么该停靠点的位置应设在 _____ 区 . A B C 125 例 3 ：已知 ∠ α 和 ∠ β 互为补角，并且 ∠ β 的一半比 ∠ α 小 30° ，求 ∠ α 、 ∠ β ． 解：设 ∠ α = x ° ，则 ∠ β =180° － x ° ． 根据题意 ∠ β= 2( ∠ α － 30°) ， 得 180 － x ° = 2( x ° － 30°) ， 解得 x ° = 80° ． 所以， ∠ α = 80° ， ∠ β = 100 ° ． 60 ° 东 西 南 北 方位角： 1 、方位角是以正南、正北方向为基准，描述物体的运动方向。 2 、北偏东 45 ° 通常叫做东北方向，北偏西 45 ° 通常叫做西北方向，南偏东 45 ° 通常叫做东南方向，南偏西 45 ° 通常叫做西南方向。 3 、方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。 O A 练习、在右图中画出表示下列方向的射线： （ 1 ）北偏西 30 ° （ 2 ）北偏东 50 ° （ 3 ）西南方向