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- 2021-10-25 发布
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- 1 -
分流考试重点章节训练题 第二章有理数(一)
板块一:数轴
例 1:已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( )
A.ab b B.ab b C. 0a b D. 0a b
练 1、如图 ,a b为数轴上的两点表示的有理数,在 , 2 , ,a b b a a b b a 中,
负数的个数有( )(“祖冲之杯”邀请赛试题)
A.1 B.2 C.3 D.4
2、把满足2 5a 中的整数a 表示在数轴上,并用不等号连接。
例 2:如果数轴上点 A到原点的距离为 3,点 B 到原点的距离为 5,那么 A、B两点的
距离为 。
练 3、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为 3,则 3 _________ .a
4、已知数轴上有 A、B 两点,A、B 之间的距离为 1,点 A 与原点 O 的距离为 3,
那么所有满足条件的点 B与原点 O的距离之和等于 。(北京
市“迎春杯”竞赛题)
例 3:已知 0, 0a b 且 0a b ,那么有理数 , , ,a b a b 的大小关系
是 。(用“ ”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)
练 5、若 0, 0m n 且 m n ,比较 , , , ,m n m n m n n m 的大小,并用“ ”
号连接。
Oa b
- 2 -
例 4:已知 5a 比较 a 与 4 的大小
练 6、已知 3a ,试讨论 a 与 3 的大小 2、已知两数 ,a b,如果a 比b 大,试
判断 a 与 b 的大小
例 5: 有理数 , ,a b c 在数轴上的位置如图所示,式子 a b a b b c 化简
结果为( )
A.2 3a b c B.3b c C.b c D.c b
练 7、有理数 , ,a b c 在数轴上的位置如图所示,则化简 1 1a b b a c c
的结果为 。
8、已知 2a b a b b ,在数轴上给出关于 ,a b的四种情况如图所示,则成立
的是 。
① ② ③
④
9、已知有理数 , ,a b c 在数轴上的对应的位置如下图:则 1c a c a b 化简
后的结果是( )(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题)
A . 1b B . 2 1a b C . 1 2 2a b c
D.1 2c b
二、能力拓展
1、已知是有理数,且
2 2
1 2 1 0x y ,那以 x y的值是( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
1
2
或
3
2
D. 1或
3
2
Oab 1c
0a b 0 ab 0 a b 0 ab
Oa b-1 1 c
O a b-1 c
- 3 -
2、(07 乐山)如图,数轴上一动点 A向左移动 2 个单位长度到达点B ,再向右移动
5 个单位长度到达点C .若点C 表示的数为 1,则点 A表示的数为( )
A.7 B.3 C. 3 D. 2
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距 1个单位,点 A、B、C、D 对应的数
分别是整数 , , ,a b c d 且 2 10d a ,那么数轴的原点应是( )
A.A 点 B.B点 C.C 点 D.D点
4、数 , , ,a b c d 所对应的点 A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么a c 与b d
的大小关系是( )
A.a c b d B.a c b d C.a c b d D.不确定的
5、不相等的有理数 , ,a b c 在数轴上对应点分别为 A,B,C,若 a b b c a c ,
那么点 B( )
A.在 A、C点右边 B.在 A、C 点左边 C.在 A、C点之间 D.以上均有可能
6、设 1 1y x x ,则下面四个结论中正确的是( )(全国初中数学联赛
题)
A. y 没有最小值 B.只一个 x 使 y 取最小值
C.有限个 x (不止一个)使 y 取最小值 D.有无穷多个 x 使 y 取最小值
7、在数轴上,点 A,B 分别表示
1
3
和
1
5
,则线段 AB的中点所表示的数是 。
8 、 若 0, 0a b , 则 使 x a x b a b 成 立 的 x 的 取 值 范 围
是 。
9、 x 是有理数,则
100 95
221 221
x x 的最小值是 。
10、已知 , , ,a b c d 为有理数,在数轴上的位置如图所示:
且6 6 3 4 6,a b c d 求 3 2 3 2 2a d b a b c 的值。
11、(南京市中考题)(1)阅读下面材料:
O abd c
1 0
A 2 B
5
C
DCBA
BC0DA
- 4 -
点 A、B 在数轴上分别表示实数 ,a b,A、B 两点这间的距离表示为 AB ,当 A、B 两
点中有一点在原点时,不妨设点 A 在原点,如图 1,AB OB b a b ;当 A、
B 两点都不在原点时,
①如图 2,点 A、B 都在原点的右边 AB OB OA b a b a a b ;
② 如 图 3 , 点 A 、 B 都 在 原 点 的 左 边
AB OB OA b a b a a b ;
③如图 4,点 A、B在原点的两边 AB OA OB a b a b a b 。
综上,数轴上 A、B 两点之间的距离 AB a b 。
(2)回答下列问题:
①数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ,数轴上表示-2 和-5 的两点之间的
距离是 ,数轴上表示 1和-3的两点之间的距离是 ;
②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ,如果 2AB ,那么
x 为 ;
③当代数式 1 2x x 取最小值时,相应的 x 的取值范围是 ;
④求 1 2 3 1997x x x x 的最小值。
板块二:绝对值
一、知识导航
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
0
0 0
0
a a
a a
a a
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看 a 表示数a的点到原点的距离; a b 表示数 a 、数b 的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
B AO
ab o
B(A)O
o b
BAO
o ba
B A O
ob a
- 5 -
① 0a ②
22 2a a a ③ ab a b ④ 0
aa
b
b b
⑤
a b a b ⑥ a b a b
二、知识点反馈
例 1:已知 5, 3a b 且 a b b a那么a b 。
练 1、已知 1, 2, 3,a b c 且a b c ,那么
2
a b c 。(北
京市“迎春杯”竞赛题)
2、若 8, 5a b ,且 0a b ,那么a b 的值是( )
A.3 或 13 B.13 或-13 C.3 或-3 D.-3
或-13
例 2: 1 1x x 的最小值是( )
A.2 B.0 C.1 D.-1
练 3、已知 3 2x x 的最小值是a , 3 2x x 的最大值为b ,求a b的
值。
三、探索提高
1、如图,有理数 ,a b在数轴上的位置如图所示:
则在 , 2 , , , 2 , 4a b b a b a a b a b 中,负数共有( )(湖北省荆
州市竞赛题)
A.3个 B.1个 C.4个 D.2
个
2、若m 是有理数,则 m m一定是( )
A.零 B.非负数 C.正数 D.负数
-1 0a-2 b 1
- 6 -
3、如果 2 2 0x x ,那么 x 的取值范围是( )
A . 2x B . 2x C . 2x
D. 2x
4、 ,a b是有理数,如果 a b a b,那么对于结论(1)a 一定不是负数;(2)b
可能是负数,其中( )(第 15 届江苏省竞赛题)
A.只有(1)正确 B.只有(2)正确 C.(1)(2)都正确 D.(1)(2)都不
正确
5、已知 a a,则化简 1 2a a 所得的结果为( )
A. 1 B.1 C.2 3a D.3 2a
6、已知0 4a ,那么 2 3a a 的最大值等于( )
A.1 B.5 C.8 D.9
7、已知 , ,a b c 都不等于零,且
a b c abc
x
a b c abc
,根据 , ,a b c 的不同取值,x
有( )
A.唯一确定的值 B.3种不同的值 C.4 种不同的值 D.8种不同的值
8、满足 a b a b 成立的条件是( )(湖北省黄冈市竞赛题)
A. 0ab B. 1ab C. 0ab D. 1ab
9、若2 5x ,则代数式
5 2
5 2
x x x
x x x
的值为 。
10、若 0ab ,则
a b ab
a b ab
的值等于 。
11、已知 , ,a b c 是非零有理数,且 0, 0a b c abc ,求
a b c abc
a b c abc
的
值。
- 7 -
12、已知 , , ,a b c d 是有理数, 9, 16a b c d ,且 25a b c d ,求
b a d c 的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道
0
0 0
0
x x
x x
x x
,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数
式,如化简代数式 1 2x x 时,可令 1 0x 和 2 0x ,分别求得
1, 2x x (称 1, 2 分别为 1x 与 2x 的零点值)。在有理数范围内,零点
值 1x 和 2x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3种情况:
(1)当 时,原式= 1 2 2 1x x x ;
(2)当 1 2x 时,原式= 1 2 3x x ;
(3)当 2x 时,原式= 1 2 2 1x x x 。
综上讨论,原式=
2 1 1
3 1 2
2 1 2
x x
x
x x
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1) 分别求出 2x 和 4x 的零点值;(2)化简代数式 2 4x x
- 8 -
14、(1)当 x 取何值时, 3x 有最小值?这个最小值是多少?(2)当 x 取何值时,
5 2x 有最大值?这个最大值是多少?(3)求 4 5x x 的最小值。(4)求
7 8 9x x x 的最小值。
15、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站,如图,现在要在 AB 段
上修建一个加油站 M,为了使加油站选址合理,要求 A,B,C,D 四个汽车站到加油
站 M 的路程总和最小,试分析加油站 M在何处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的 1n n 台机床在工作,我们要设置一个零件供应站 P,
使这n台机床到供应站 P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的
情形:
① ②
如图①,如果直线上有 2台机床(甲、乙)时,很明显 P设在 1A 和 2A 之间的任何地方
都行,因为甲和乙分别到 P的距离之和等于 1A 到 2A 的距离.
如图②,如果直线上有 3 台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床 2A 处
A D C B
A1 A2
乙甲 P
A3(P)A1 A2
甲 乙
D
丙
- 9 -
最合适,因为如果 P放在
2A 处,甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为
1A 到
3A 的距离;
而如果 P 放在别处,例如 D处,那么甲和丙分别到 P 的距离之和仍是
1A 到
3A 的距离,
可是乙还得走从
2A 到 D近段距离,这是多出来的,因此 P 放在
2A 处是最佳选择。不
难知道,如果直线上有 4台机床,P应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方;有 5台
机床,P应设在第 3 台位置。
问题(1):有n机床时,P 应设在何处?
问题(2)根据问题(1)的结论,求 1 2 3 617x x x x 的最小
值。
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