【北师大版】七年级下册数学第四章+三角形第1节《认识三角形》第一课时 41页

第四章 三角形 4.1.1 认识三角形                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     认识三角形 三条线段 由不在同一直线的 首尾顺次连接 所组成的图形叫 三角形。 三个顶点 三个内角 A B C 三条边 C B A “ 三角形”可以用符号 “ Δ ” 表示 ΔABC C B A D ΔABD ΔACD ΔABC 你会吗 ？ 请你找出下图中的三角形，并用符号表示出来。 它们分别是： 可用顶点的两个大写字母表示。 A B C c b a 想 一 想 怎样表示三角形的三条边呢？ 方法一： 如： 边 AB 、 BC 、 CA 方法二： 可用一个小写字母表示。 但需要注意的是， 在一般情况下， 如： 边 a 、 b 、 c 顶点 B 所对的边 CA 用 b 表示 , 顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示。 顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示， ？ 在小学我们探究了三角形三个内角的和等于 180˚ ，你还记得这个结论的探索过程吗 ? 1 A B D 2 C 如图 , 当时我们是撕下两个角 , 把∠ A 移到了∠ 1 的位置 , 把∠ B 移到了∠ 2 的位置。 回顾与思考 拼一拼,说一说 如果只撕下一个角 , 你能用学过的知识拼凑并解释 “ 三角形的三个内角和是 180˚ ” 吗？ 1 2 3 (1) 做一个三角形纸片 , 它的三个内角分别为∠ 1,∠2 和∠ 3, 如下图 . 做一做 1 2 3 (2) 将∠ 1 撕下 , 并按上图进行摆放 , 其中∠ 1 的顶点与∠ 2 的顶点重合 , 它的一条边与∠ 2 的一条边重合 . 此时∠ 1 的另一条边 b 与∠ 3 的一条边 a 平行吗 ? 为什么 ? 1 a b 做一做 1 2 3 1 a b (3) 将∠２与∠３的公共边延长，它与 b 所夹的角为∠ 4. ∠3 与∠ 4 的大小有什么关系？为什么？ 4 做一做 想一想 由此你能得到什么结论？ 三角形的三个内角和等于 180 度 . 想一想 你会用几何语言进行证明吗？ 证明： 在△ ABC 的外部， 以 CA 为一边， CE 为另一边作∠ 1=∠A ， 作 BC 的延长线 CD ， 于是 CE∥BA ( 内错角相等，两直线平行 ). ∴∠B=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵∠ 1+∠2+∠ACB=180° ( 平角的定义 ) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° ( 等量代换 ) ） 1 2 C A E ） B D 想一想 还有其他证明方法吗？ 证法 2 ： ） 1 2 C A E ） B D 过 C 作 CE∥BA. 作 BC 的延长线 CD ， 于是∠ A=∠1 ( 两直线平行，内错角相等 ) ∠B=∠2 又∵∠ 1+∠2+∠ACB=180° ( 平角的定义 ) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° ( 两直线平行，同位角相等 ) ( 等量代换 ) C A B E F 证法 3 ： 过 A 作 EF∥BC 试一试 C A B E 证法 4 ： 过 A 作 AE∥BC 试一试 下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。 猜一猜 将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？ 猜一猜 三角形的分类 锐角三角形 三个内角都是锐角 钝角三角形 有一个内角是钝角 直角三角形 有一个内角是直角 按三角形内角的大小把三角形分为三类 直角边 直角边 斜边 1. 常用符号 “ Rt∆ABC ” 来表示 直角三角形 ABC . 2. 直角三角形的两个锐角之间 有什么关系？ 直角三角形 直角三角形的两个锐角互余 1. 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ③⑤ ①④⑥ ②⑦ 练一练 1. 一个三角形两个内角的度数分别如下 , 这个三角形是什么三角形 ? (1)30 度和 60 度 (2)40 度和 70 度 (3)50 度和 20 度 练一练 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 练一练 2. 在下面的空白处 , 分别填入 “ 锐角 ” ， “ 钝角 ” 或 “ 直角 ” ： （ 1 ）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （ 2 ）如果三角形的一个内角等于另外两个 内角之和，那么这个三角形是 三角形； （ 3 ）如果三角形的两个内角都小于 40 度，那么这个三角形是 三角形 . 钝角 锐角 直角 练一练 3. △ABC 中 , ∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则 ∠A= , ∠B= , ∠C= . 4. 在 △ABC 中 , ∠A=1/3∠B=1/5∠C, 则 △ABC 是 三角形 . 40° 80° 60° 钝角 5. 已知∠ ACB=90° ， CD⊥AB ，垂足为 D. ⑴ 图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边。 ⑵ ∠ ACD 和∠ A 有什么关系？∠ BCD 和∠ A 呢？ C B A D 练一练 C B A D 练一练 解：直角三角形有三个，分别是： Rt∆BDC Rt∆ADC Rt∆ACB 直角边是 AC 、 BC, 斜边 AB 直角边是 AD 、 CD, 斜边 AC 直角边是 BD 、 CD, 斜边 BC C B A D 练一练 解： ∠ ACD 和∠ A 互余 ∠ BCD 和∠ A 相等 又∵ ∠ ACD ＋∠ A ＋ ∠ ADC =180° 证明：在 Rt∆ADC 中 ,∵ CD⊥AB , ∴∠ADC =90° ∴ ∠ACD ＋∠ A =90° 又∵ ∠ ACD ＋ ∠ BCD= 90° ∴ ∠BCD=∠A 一个三角形中会有两个直角？可能两个内角是钝角或锐角吗？ 想一想 1. 已知∠ A ，∠ B ，∠ C 是△ ABC 的三个内角，∠ A ＝ 70° ，∠ C ＝ 30 ° ， ∠ B ＝（ ） . 2. 直角三角形一个锐角为 70° ，另一个锐角等于（ ） . 80 ° 20 ° 练一练 3. 在△ ABC 中，∠ A=80° ，∠ B=∠C ，则∠ C= （ ） . 4. 如果△ ABC 中，∠ A∶∠B∶∠C=2∶3∶5 ，此三角形按 角分类应为 （ ） . 50 ° 直角三角形 练一练 有关三角形的角度计算问题，有两种类型：一是直接利用三角形的内角和 180° 进行计算；二是设某一个角为 x （或将某一个角视为未知数），其余的角用 x 的代数式表示，从而根据题意列出方程（组）求解，这就是 “ 形题数解 ” 。 方法规律 实际问题 如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶， C 处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ ACB 的大小，当轮船距离灯塔 C 最近时，∠ ACB 是多少度？ 30 ° 70 ° B C A E 实际问题 30 ° 70 ° B C A E 解：∵∠ ABC+∠CBE= 180° ∴ ∠ABC= 180° －∠ CBE= 180° － 70°= 110° ∴ 在∆ ABC 中， ∠ ACB= 180° － ∠ ABC － ∠ A = 180° － 110° － 30° = 40° 实际问题 30 ° 90 ° B C A 解： 当轮船距离灯塔 C 最近时，则有 CB⊥AB 即∠ ACB = 90° ∴ 在∆ ABC 中， ∠ ACB= 180° － ∠ ABC － ∠ A = 180° － 90° － 30° = 60° 课堂小结 1. 三角形三个内角的和等于 180 ˚ . 2. 三角形按角的大小分类： ⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角； ⑵直角三角形 ：有一个内角为直角； ⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 。 3. 直角三角形的两个锐角互余。 请你谈一谈 : 通过这节课的学习 , 你对三角形又多了哪些认识 ? 作业 以三角形为主设计一幅美丽图案并说说你的设计意图，作品我们将公开展览。 2 、请你 做个 “ 小小设计师 ”