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- 2021-10-25 发布
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2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区七年级第二学期期末数学试卷
一、选择题
1.下列艺术字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式运算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.a2•a3=a5
C.(﹣3x)3÷(﹣3x)=﹣9x2 D.(﹣ab2)2=﹣a2b4
3.下列事件中,属于必然事件的是( )
A.抛出的篮球会下落
B.打开电视,正在播《新闻联播》
C.任意买一张电影票,座位号是3的倍数
D.校篮球队将夺得区冠军
4.计算(x+3)(x﹣3)的结果为( )
A.x2+6x+9 B.x2﹣6x+9 C.x2+9 D.x2﹣9
5.如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2=30°,则∠1的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.下列各组数据,能构成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cm B.2cm,2cm,5cm
C.3cm,4cm,5cm D.7cm,5cm,1cm
7.如图,D,E是△ABC中BC边上的点,且BD=DE=EC,那么( )
A.S1<S2<S3 B.S1>S2>S3 C.S1=S2=S3 D.S2<S1<S3
8.李老师用直尺和圆规作已知角的平分线.
作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点D,交OB于点E
②分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
③画射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
9.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是( )
A. B.
C. D.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上).
11.化简 (a+b)(a﹣b)= .
12.如图,用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD,设AB为x米,则菜园的面积y(平方米)与x(米)的关系式为 .(不要求写出自变量x的取值范围)
13.如图有一张直角三角形纸片,两直角边AC=4cm,BC=8cm,把纸片的部分折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则△ACD的周长为 .
14.一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行,蚂蚁停在阴影部分的概率为 .
三、解答题(本大题共6个题,共54分,解答过程写在答题卡上)
15.(16分)(1)(﹣1)2020+(﹣)2﹣(3.14﹣π)0;
(2)(a﹣1)(a+1)﹣(a﹣2)2;
(3)(20x2y﹣10xy2)÷(﹣5xy);
(4)(2x3y)2•(﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷(2x2).
16.先化简,再求值:(x+3y)2﹣2x(x+2y)+(x﹣3y)(x+3y),其中x=﹣1,y=2.
17.如图所示,有两个村庄A,B在一公路CD的一侧,如果把A,B村庄的位置放在格点图中.
(1)请作出A点关于CD的对称点A′;
(2)若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P,使得驿站到两个村庄的线段距离和最小,请作出P点的位置.
18.如图,E,F分别在AB,CD上,∠1=∠D,∠2+∠C=90°,EC⊥AF.
求证:AB∥CD.(每一行都要写依据)
19.已知:如图,点E,D,B,F在同一条直线上,AD∥CB,∠E=∠F,DE=BF.求证:AE=CF.(每一行都要写依据)
20.已知:AB=AC,AF=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AD⊥CF交CF的延长线于D.求证:AD=AE.
四、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,答案写在答题卡.上)
21.若x2+2mx+9是完全平方式,则m= .
22.在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,若∠O=120°,则∠A= .
23.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,∠A=30°,D为斜边AB的中点.若BC=2,则CD= .
24.若(x﹣3)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项,则a+b的值为 .
25.如图a是长方形纸带,∠DEF=15°,将纸带沿EF折叠成图b,则∠AEG的度数 度,再沿BF折叠成图c.则图中的∠CFE的度数是 度.
五、解答题(共3个小题,共30分)
26.如图,C为线段AE上一动点,(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.
求证:(1)AD=BE
(2)△APC≌△BQC
(3)△PCQ是等边三角形.
27.如图1,∠FBD=90°,EB=EF,CB=CD.
(1)求证:EF∥CD;
(2)如图2所示,若将△EBF沿射线BF平移,即EG∥BC,∠FBD=90°,EG=EF,CB=CD,请问(1)中的结论是否仍成立?请证明.
28.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.
小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是 (直接写结论,不需证明);
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.
参考答案
一、单选题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上).
1.下列艺术字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
B、是轴对称图,故本选项符合题意;
C、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
D、不是轴对称图形,故本选项不合题意.
故选:B.
2.下列各式运算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.a2•a3=a5
C.(﹣3x)3÷(﹣3x)=﹣9x2 D.(﹣ab2)2=﹣a2b4
【分析】分别根据合并同类项法则,同底数幂的乘法法则,单项式除以单项式的运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可.
解:A.a2+a2=2a2,故本选项不合题意;
B.a2•a3=a5,故本选项符合题意;
C.(﹣3x)3÷(﹣3x)=9x2,故本选项不合题意;
D.(﹣ab2)2=a2b4,故本选项不合题意.
故选:B.
3.下列事件中,属于必然事件的是( )
A.抛出的篮球会下落
B.打开电视,正在播《新闻联播》
C.任意买一张电影票,座位号是3的倍数
D.校篮球队将夺得区冠军
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.
解:A、抛出的篮球会下落,是必然事件;
B、打开电视,正在播《新闻联播》,是随机事件;
C、任意买一张电影票,座位号是3的倍数,是随机事件;
D、校篮球队将夺得区冠军,是随机事件;
故选:A.
4.计算(x+3)(x﹣3)的结果为( )
A.x2+6x+9 B.x2﹣6x+9 C.x2+9 D.x2﹣9
【分析】根据平方差公式即可得出结果.
解:(x+3)(x﹣3)=x2﹣32=x2﹣9.
故选:D.
5.如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2=30°,则∠1的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可.
解:如图,
作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥AB∥CD,
∴∠2=∠AEF=30°,∠1=∠FEC,
∵∠AEC=90°,
∴∠1=90°﹣30°=60°,
故选:C.
6.下列各组数据,能构成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cm B.2cm,2cm,5cm
C.3cm,4cm,5cm D.7cm,5cm,1cm
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可.
解:A、1+2=3,不能构成三角形;
B、2+2<5,不能构成三角形;
C、3+4>5,能构成三角形;
D、1+5<7,不能构成三角形.
故选:C.
7.如图,D,E是△ABC中BC边上的点,且BD=DE=EC,那么( )
A.S1<S2<S3 B.S1>S2>S3 C.S1=S2=S3 D.S2<S1<S3
【分析】根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论.
解:∵BD=DE=EC,
∴S△ABD=S△ADE=S△AEC,
即S1=S2=S3,
故选:C.
8.李老师用直尺和圆规作已知角的平分线.
作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点D,交OB于点E
②分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
③画射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
【分析】根据作图的过程知道:OE=OD,OC=OC,CE=CD,所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC.
解:如图,连接EC、DC.
根据作图的过程知,
在△EOC与△DOC中,
∵,
∴△EOC≌△DOC(SSS).
故选:A.
9.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据匀速直线运动的路程、时间图象是一条过原点的斜线,修车时自行车没有运动,所以修车时的路程保持不变是一条直线,修车后为了赶时间,加大速度后再做匀速直线运动,其速度比原来变大,斜线的倾角变大,即可得出答案.
解:
小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线,
修车时自行车没有运动,所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线,
修车后为了赶时间,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,此时的路程、时间图象仍是一条斜线,只是斜线的倾角变大.
因此选项A、B、D都不符合要求.
故选:C.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
【分析】题中相等的边较多,且都是在同一个三角形中,因为求“角”的度数,将“等边”转化为有关的“等角”,充分运用“等边对等角”这一性质,再联系三角形内角和为180°求解此题.
解:∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴∠C=∠BDC=2∠A
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式,得∠A+2•2∠A=180°
解得∠A=36°
故选:D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上).
11.化简 (a+b)(a﹣b)= a2﹣b2 .
【分析】根据平方差公式直接将(a+b)(a﹣b)展开即可.
解:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
故答案为a2﹣b2.
12.如图,用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD,设AB为x米,则菜园的面积y(平方米)与x(米)的关系式为 y=﹣2x2+20x .(不要求写出自变量x的取值范围)
【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为(20﹣2x)米,然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式.
解:∵AB的边长为x米,而菜园ABCD是矩形菜园,
∴BC=20﹣2x,
∵菜园的面积=AB×BC=x•(20﹣2x),
∴y=﹣2x2+20x.
故填空答案:y=﹣2x2+20x.
13.如图有一张直角三角形纸片,两直角边AC=4cm,BC=8cm,把纸片的部分折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则△ACD的周长为 12cm .
【分析】根据折叠的性质得到AD=BD,根据三角形的周长公式计算,得到答案.
解:由折叠的性质可知,AD=BD,
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=12(cm),
故答案为:12cm.
14.一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行,蚂蚁停在阴影部分的概率为 .
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得.
解:由图形知,
S①=S②,
∴阴影部分的面积为正方形面积的一半,
∴蚂蚁停在阴影部分的概率为,
故答案为:.
三、解答题(本大题共6个题,共54分,解答过程写在答题卡上)
15.(16分)(1)(﹣1)2020+(﹣)2﹣(3.14﹣π)0;
(2)(a﹣1)(a+1)﹣(a﹣2)2;
(3)(20x2y﹣10xy2)÷(﹣5xy);
(4)(2x3y)2•(﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷(2x2).
【分析】(1)根据实数的运算法则即可求出答案.
(2)根据整式的运算法则即可求出答案.
(3)根据整式的运算法则即可求出答案.
(4)根据整式的运算法则即可求出答案.
解:(1)原式=1+﹣1=.
(2)原式=a2﹣1﹣(a2﹣4a+4)
=a2﹣1﹣a2+4a﹣4
=4a﹣5.
(3)原式=﹣4x+2y.
(4)原式=4x6y2•(﹣2xy)+(﹣8x9y3)÷(2x2)
=﹣8x7y3+4x7y3
=﹣4x7y3.
16.先化简,再求值:(x+3y)2﹣2x(x+2y)+(x﹣3y)(x+3y),其中x=﹣1,y=2.
【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式,以及单项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.
解:原式=x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2
=2xy,
当x=﹣1,y=2时,原式=2×(﹣1)×2=﹣4.
17.如图所示,有两个村庄A,B在一公路CD的一侧,如果把A,B村庄的位置放在格点图中.
(1)请作出A点关于CD的对称点A′;
(2)若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P,使得驿站到两个村庄的线段距离和最小,请作出P点的位置.
【分析】(1)直接利用对称点的性质进而得出答案;
(2)直接利用轴对称设计求最短路线的方法得出P点位置.
解:(1)如图所示:A′点即为所求;
(2)如图所示:点P即为所求.
18.如图,E,F分别在AB,CD上,∠1=∠D,∠2+∠C=90°,EC⊥AF.
求证:AB∥CD.(每一行都要写依据)
【分析】直接利用互余的性质以及三角形内角和定理、平行线的判定方法进而分析得出答案.
【解答】证明:∵EC⊥AF(已知),
∴∠CHF=90°(垂直的定义),
∴∠1+∠C=90°(三角形内角和定理),
∵∠2+∠C=90°(已知),
∴∠1=∠2(同角的余角相等),
又∵∠1=∠D(已知),
∴∠2=∠D(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
19.已知:如图,点E,D,B,F在同一条直线上,AD∥CB,∠E=∠F,DE=BF.求证:AE=CF.(每一行都要写依据)
【分析】由AD∥CB,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠ADB=∠CBD,由等角的补角相等可得出∠ADE=∠CBF,结合DE=BF,∠E=∠F可证出△ADE≌△CBF(ASA),再利用全等三角形的性质可证出AE=CF.
【解答】证明:∵AD∥CB(已知),
∴∠ADB=∠CBD(两直线平行,内错角相等),
∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等).
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴AE=CF(全等三角形的对应边相等).
20.已知:AB=AC,AF=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AD⊥CF交CF的延长线于D.求证:AD=AE.
【分析】根据SAS证明△AFC与△AGB全等,进而利用全等三角形的性质得出∠AFC=∠AGC,进而利用AAS证明△ADF与△AEG全等解答即可.
【解答】证明:在△AFC与△AGB中
,
∴△AFC≌△AGB(SAS),
∴∠AFC=∠AGC,
∴∠AFD=∠AGE,
∵AE⊥BG交BG的延长线于E,AD⊥CF交CF的延长线于D.
∴∠ADF=∠AEG=90°,
在△ADF与△AEG中
,
∴△ADF≌△AEG(AAS),
∴AD=AE.
四、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,答案写在答题卡.上)
21.若x2+2mx+9是完全平方式,则m= ±3 .
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍.
解:∵x2+2mx+9是完全平方式,
∴x2+2mx+9=(x±3)2=x2±6x+9,
∴2m=±6,
m=±3.
故答案为:±3.
22.在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,若∠O=120°,则∠A= 60° .
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数,然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
解:∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB
=(∠ABC+∠ACB)
=(180°﹣∠A)
=90°﹣A,
∴在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+A=120°,
∴∠A=60°,
故答案为:60°.
23.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,∠A=30°,D为斜边AB的中点.若BC=2,则CD= 2 .
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB.
解:∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,
∴AB=2BC=2×2=4,
∵D为斜边AB的中点,
∴CD=AB=×4=2.
故答案为:2.
24.若(x﹣3)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项,则a+b的值为 12 .
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算,合并后根据积中不含x的二次项和一次项,确定出a与b的值,即可求出a+b的值.
解:原式=x3+ax2+bx﹣3x2﹣3ax﹣3b
=x3+(a﹣3)x2+(b﹣3a)x﹣3b,
由积中不含x的二次项和一次项,
得到a﹣3=0,b﹣3a=0,
解得:a=3,b=9,
则a+b=3+9=12.
故答案为:12.
25.如图a是长方形纸带,∠DEF=15°,将纸带沿EF折叠成图b,则∠AEG的度数 150 度,再沿BF折叠成图c.则图中的∠CFE的度数是 135 度.
【分析】根据长方形纸条的对边平行,利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2=∠EFG,继而求出图b中∠GFC的度数,再减掉∠GFE即可得图c中∠CFE的度数.
解:如图,延长AE到H,由于纸条是长方形,
∴EH∥GF,
∴∠1=∠EFG,
根据翻折不变性得∠1=∠2=15°,
∴∠2=∠EFG,∠AEG=180°﹣2×15°=150°,
又∵∠DEF=15°,
∴∠2=∠EFG=15°,∠FGD=15°+15°=30°.
在梯形FCDG中,∠GFC=180°﹣30°=150°,
根据翻折不变性,∠CFE=∠GFC﹣∠GFE=150°﹣15°=135°.
故答案为:150;135.
五、解答题(共3个小题,共30分)
26.如图,C为线段AE上一动点,(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.
求证:(1)AD=BE
(2)△APC≌△BQC
(3)△PCQ是等边三角形.
【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质证明即可;
(2)根据全等三角形的性质和判定证明即可;
(3)根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可.
【解答】证明:(1)∵△ABC和△CDE是正三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE;
(2)∵ADC≌△BEC,
∴∠ACP=∠BCQ,AC=BC,∠CAP=∠CBQ,
∴△APC≌△BQC(ASA);
(3)∵CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,∠ADC=∠BEC,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,
∴△CPQ是等边三角形.
27.如图1,∠FBD=90°,EB=EF,CB=CD.
(1)求证:EF∥CD;
(2)如图2所示,若将△EBF沿射线BF平移,即EG∥BC,∠FBD=90°,EG=EF,CB=CD,请问(1)中的结论是否仍成立?请证明.
【分析】(1)连接FD,根据等腰三角形的性质和平角的定义得出∠EFB+∠CDB=90°,根据直角三角形两锐角互余得出∠BFD+∠BDF=90°,进一步得出∠EFD+∠CDF=180°,即可证得EF∥CD;
(2)连接FD,延长CB到H,根据平移的性质,等腰三角形的性质,直角三角形两锐角互余的性质证得∠EFD+∠CDF=180°,即可证得EF∥CD.
【解答】(1)证明:如图1,连接FD,
∵EB=EF,CB=CD,
∴∠EBF=∠EFB,∠CBD=∠CDB,
∵∠FBD=90°,
∴∠EBF+∠CBD=90°,∠BFD+∠BDF=90°,
∴∠EFB+∠CDB=90°,
∴∠EFD+∠CDF=180°,
∴EF∥CD;
(2)成立,
证明:如图2,连接FD,延长CB到H,
∵EG∥BC,
∴∠EGF=∠HBF,
∵∠FBD=90°,
∴∠HBF+∠CBD=90°,∠BFD+∠BDF=90°,
∴∠EGF+∠CBD=90°,
∵EG=EF,CB=CD,
∴∠EGF=∠EFB,∠CBD=∠CDB,
∴∠EFB+∠CDB=90°,
∴∠EFD+∠CDF=180°,
∴EF∥CD.
28.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.
小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是 EF=BE+DF (直接写结论,不需证明);
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF
的周长.
【分析】(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,由“SAS”可证△ABE≌△ADG,可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,再由“SAS”可证△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
(2)延长EB到G,使BG=DF,连接AG,即可证明△ABG≌△ADF,可得AF=AG,再证明△AEF≌△AEG,可得EF=EG,即可解题;
(3)延长EA到H,使AH=CF,连接BH,由“SAS”可证△ABH≌△CBF,可得BH=BF,∠ABH=∠CBF,由“SAS”可证△EBH≌△EBF,可得EF=EH,可得EF=EH=AE+CF,即可求解.
【解答】证明:(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=100°,∠EAF=50°,
∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=50°,
∴∠EAF=∠FAG=50°,
在△EAF和△GAF中,
∵,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG=DF+DG,
∴EF=BE+DF,
故答案为:EF=BE+DF;
(2)结论仍然成立,
理由如下:如图2,延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D,
∵在△ABG与△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,
∵2∠EAF=∠BAD,
∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=∠BAD=∠EAF,
∴∠GAE=∠EAF,
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD;
(3)如图,延长EA到H,使AH=CF,连接BH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=7=AD=CD,∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠BAH=∠BCF=90°,
又∵AH=CF,AB=BC,
∴△ABH≌△CBF(SAS),
∴BH=BF,∠ABH=∠CBF,
∵∠EBF=45°,
∴∠CBF+∠ABE=45°=∠HBA+∠ABE=∠EBF,
∴∠EBH=∠EBF,
又∵BH=BF,BE=BE,
∴△EBH≌△EBF(SAS),
∴EF=EH,
∴EF=EH=AE+CF,
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.