北师大版七年级上册-第08讲-有理数的乘方及混合运算（培优）-学案 12页

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 08 讲---有理数的乘方及混合运算 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 掌握有理数的乘方； 2 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识梳理 （一）有理数的乘方 1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作： 读作：a 的 n 次方（或 a 的 n 次幂）其中 a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即： ... n a na a a a a    6444447444448个 （n 个 a） 2、有理数乘方运算方法：    进行运算）利用乘法的运算法则（ 将乘方转化为乘法）根据乘方的定义，先（方法一 2 1           确定幂的绝对值 的任何正整数次幂都是 负数的偶次幂是正数负数的奇次幂是负数， 数正数的任何次幂都是正 确定幂的符号方法二 )2( 00 )1( （二）有理数的混合运算 2 混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。 （三）科学记数法 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 10na  的形式，其中1 10a  ，n 是正整数，这种记数方 法叫做科学记数法。注意以下几点: （1）科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为 a（1 10a  ），另一个因数为10n ， n 的值等于整数部分的位数减 1； （2）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于 1 的正数也可以用科学 记数法表示。例如： 50.00001 10 ； 典例分析 考点一：定义新运算 例 1、请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣ ，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣ ，… 你规定的新运算 a⊕b=______（用 a，b 的一个代数式表示） 例 2、定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，则（2@3）@4= 例 3、若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式 ，则 C125+C126=（ ） A．C135 B．C136 C．C1311 D．C127 考点二：计算 例 1、为了求 1+3+32+33+…+3100 的值，可令 M=1+3+32+33+…+3100，则 3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M 3 ﹣M=3101﹣1，所以 M= ，即 1+3+32+33+…+3100= ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015 的值是______． 例 2、在数学兴趣小组活动中，小明为了求 …+ 的值，在边长为 1 的正方形中，设计 了如图所示的几何图形．则 …+ 的值为______（结果用 n 表示）． 例 3、阅读理解：给定次序的 n 个数 a1，a2，…，an，记 Sk=a1+a2+…ak，为前 k 个数的和（1≤k≤n），定义 A=（S1+S2+…+Sn）÷n 称它们的“凯森和”，如 a1=2，a2=3，a3=3，则 s1=2，s2=5，s3=8，凯森和 A=（2+5+8） ÷3=5，若有 99 个数 a1，a2，…，a99 的“凯森和”为 100，则添上 21 后的 100 个数 21，a1，a2，…，a99 的 凯森和为______． 考点三：转换运算 例 1、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 ⇒ 密文（加密），接收方由密文 ⇒ 明文（解密），已 知有一种密码，将英文 26 个小写字母 a，b，c，…，z 依次对应 0，1，2，…，25 这 26 个自然数（见表格）， 4 当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10 除以 26 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明 文 s 对应密文 c 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ） A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc 例 2、我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码 0 和 1），它们两者之间可以互 相换算，如将（101）2，（1011）2 换算成十进制数应为：（101）2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5， （1011）2=1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，将二进制（1001）2 换算成十进制数的结果是 ． 考点四：偶次幂的非负性 例 1、若   021 2  ba ，则  2012ba  的值是（ ） A．﹣1 B． 1 C． 0 D． 2012 例 2、已知     0532 22  cba ，求 22 cba  值． 考点五：有理数的混合运算 例 1、计算：（1）      342810 2  （2）          9 163249 2 5 考点六：综合题 例 1、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个 30 分钟后可分裂成 个细胞； （2）这样的一个细胞经过 3 小时后可分裂成 个细胞； （3）这样的一个细胞经过 n（n 为正整数）小时后可分裂成 个细胞． 例 2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…通过观察，用所发现 的规律确定 215 的个位数字是 ． P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、关于﹣（﹣a）2 的相反数，有下列说法：①等于 a2；②等于（﹣a）2；③值可能为 0；④值一定是正数．其 中正确的有 2、计算：   22 3232 （ ） A.0 B.-54 C.-72 D.-18 3、下列式子中正确的是（ ） 6 A.    324 222  B.    243 222  C.    234 222  D.     432 232  4、计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0﹣9 和字母 A﹣F 共 16 个计数符号，这些记 数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的 26=20+6，可用十六进制表示为 1A；在十 六进制中，E+D=1B 等．由上可知，在十六进制中，2×F=（ ） 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．30 B．1E C．E1 D．2F 5、计算（﹣2）1999+（﹣2）2000 的结果是 6、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量．把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ） A、13×107kg B、0.13×108kg C、1.3×107kg D、1.3×108kg 7、一种细菌的半径是 0.000045 米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ） A、4.5×105 B、45×106 C、4.5×10﹣5 D、4.5×10﹣4 8、已知（39+ ）×（40+ ）=a+b，若 a 是整数，1＜b＜2，则 a= ． 9、我们定义 =ad﹣bc，例如 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若 x、y 均为整数，且满足 1＜ ＜3，则 x+y 的值 ． 10、计算： （1）     332 2222  7 （2）        7 21322 246    2 2 3 3185 2532      11、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染 等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在 适宜条件下， 1 株水葫芦每 5 天就能新繁殖 1 株 （不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）． （1）假设江面上现有 1 株水葫芦，填写下表： 第几天 5 10 15 … 50 … 5n 总株数 2 4 … … （2）假定某流域内水葫芦维持在约 33 万株以内对净化水质有益．若现有 10 株水葫芦，请你尝试利用计算 （3） 8 器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有 33 万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要 求写出必要的尝试、估算过程！）  课后反击 1、计算：   322 32  的结果是（ ） A.-21 B.35 C.-35 D.-29 2、  65 表示的意义是（ ） A.6 个-5 相乘的积 B.-5 乘以 6 的积 C.5 个-6 相乘的积 D.6 个-5 相加的和 3、国家统计局发布的 2009 年一季度国民经济运行情况显示：一季度国内生产总值（GDP）65745 亿元，同 比增长 6.1%，增速比上年同期回落 4.5 个百分点，根据以上信息，得出如下结论： ①2008 年第一季度国内生产总值（GDP）为：65745×（1+6.1%）亿元； ②2008 年第一季度国内生产总值（GDP） 亿元； ③2008 年第一季度比 2007 年同期国内生产总值增长 10.6%； ④2007 年第一季度的国内生产总值为 65745÷（1+6.1%）÷（1+6.1%+4.5%）亿元． 其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②③ 4、某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂 成 10 个并死去 1 个，…，按此规律，5 小时后细胞存活的个数是（ ） A． 31 B． 33 C． 35 D． 37 5、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折 5 次，用剪刀沿 5 次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（ ） A． 17 段 B． 32 段 C． 33 段 D． 34 段 9 6、2011 年 8 月 12 日，第 26 届世界大学生夏季运动会将在深圳开幕．本届大运会的开幕式举办场地和主要 分会场深圳湾体育中心总建筑面积达 256520m2．数据 256520m2 用科学记数法（保留三个有效数字）表示 为（ ） A、2.565×105m2 B、0.257×106m2 C、2.57×105m2 D、25.7×104m2 7、国家卫生和计划生育委员会公布 H7N9 禽流感病毒直径约为 0.0000001m，则病毒直径 0.0000001m 用科 学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。 A、0.10×10﹣6m B、1×10﹣7m C、1.0×10﹣7m D、0.1×10﹣6m 8、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第 2002 个数应是（ ） A． 20022 B. 122002  C． 20012 D．以上答案不对 9、若   023 2  nm ，则 nm 2 的值为（ ） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 10、某程序如图，当输入 x=5 时，输出的值为 11、图中是一幅“苹果图”，第一行有 1 个苹果，第二行有 2 个，第三行有 4 个，第四行 有 8 个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个． （可用乘方形式表示） 12、喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复 几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第 次后可拉出 128 根面条 10 13、计算： （1）      32 4525.048 5      （2）   3 269 2 2 113 3 2      直击中考 1、【2008•张家界】如果实数 a，b 满足   013 2  ba ，那么 ab 等于（ ） A． 1 B．﹣1 C．﹣3 D． 3 2、【2009•莱芜】计算 7 的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543， 78=5764801…归纳各计算结果中的个位数字规律，可得 20097 的个位数字为 ． 3、【2008•崇文区一模】观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观 察，用你所发现的规律确定 32008﹣1 的个位数字是 ． 4、【2013•牡丹江】定义一种新的运算 a﹠b=ab，如 2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ． 11 S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、有理数乘方表示的意义； 2、有理数混合运算的运算法则； 3、负数的奇次幂和偶次幂。 名师点拨 有理数的乘方和有理数的混合运算属于基础知识点，在进行运算时，要注意底数的正负性和指数的奇 偶性，这方面较为容易出错，在计算乘、除、乘方时可以选择优先确定结果的正负性，再进行计算。 学霸经验  本节课我学到了 12  我需要努力的地方是