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- 2021-10-25 发布
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学科教师辅导讲义
学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3
学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:
授课主题 第 14 讲 --- 一元一次方程及其解法
授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结
教学目标
1 了解一元一次方程的概念,理解方程的解的概念;
2 掌握等式的基本性质;
3 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤;
授课日期及时段
T(Textbook-Based)——同步课堂
体系搭建
一、知识框架
二、知识概念
(一)一元一次方程及方程的解的概念
1、方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程的概念:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数
的指数都是 1,这样的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。判断一个数是不是方程的解,
只需将这个数代入方程,若方程的左边等于右边,则这个数是方程的解,否则不是。
2
(二)等式的性质
等式基本性质 1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
等式的基本性质 2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为 0 的数),所得结果仍是等式。
(三)解一元一次方程
1、移项:方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。
2、解一元一次方程的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为 1。但在解题时上
面的步骤不一定全部用到,要结合方程特点灵活掌握选用求解步骤。
典例分析
考点一:一元一次方程
例 1、下列叙述中,正确的是( )
A.方程是含有未知数的式子 B.方程是等式
C.只有含有字母 x,y 的等式才叫方程 D.带等号和字母的式子叫方程
【解析】根据方程的定义方程是含有未知数的等式,结合选项选出正确答案即可。故选 B
变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题
去分母 在方程两边同时乘各分母的最小
公倍数
等式基本性质 2 不要漏乘不含分母的项,
分数线起到括号的作用
去括号 先去小括号,再去中括号,最后
去大括号
去括号法则、分配律
括号前是负号,去括号后,
括号内各项均变号
移项 把含未知数的项移到方程的一
边,其他项都移到方程的另一边
等式基本性质 1 移项要变号
合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a 的形式 合并同类项法则
系数相加,字母及其指数
均不变
未知数的系
数化为 1
在方程两边同除以未知数的系数
a ,得到方程的解 bx a
等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒
3
例 2、若(m+3)x|m|﹣2﹣8=2 是关于 x 的一元一次方程,则 m 的值是( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.不能确定
【解析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是 1(次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式
是 ax+b=0(a,b 是常数且 a≠0).
解:由(m+3)x|m|﹣2﹣8=2 是关于 x 的一元一次方程,得
|m|﹣2=1,且 m+3≠0.解得 m=3,故选:A.
例 3、下列说法:
① 若 a+b=0,且 ab≠0,则 x=1 是方程 ax+b=0 的解;
② 若 a﹣b=0,且 ab≠0,则 x=﹣1 是方程 ax+b=0 的解;
③ 若 ax+b=0,则 x=﹣ ;
④ 若(a﹣3)x|a﹣2|+b=0 是一元一次方程,则 a=1.
其中正确的结论是( )
A.只有① ② B.只有② ④ C.只有① ③ ④ D.只有① ② ④
【解析】① ab≠0,所以一次项系数不是 0,则 x=1 是方程 ax+b=0 的解;
② 若 a﹣b=0,且 ab≠0,则 x=﹣1 是方程 ax+b=0 的解;
③ 若 ax+b=0,则 x=﹣ 没有说明 a≠0 的条件
④ 若(a﹣3)x|a﹣2|+b=0 是一元一次方程,则 a=1 也是正确的.其中正确的结论是只有① ② ④ 选 D
例 4、有下列结论:
① 若 a+b+c=0,则 abc≠0;
② 若 a(x﹣1)=b(x﹣1)有唯一的解,则 a≠b;
③ 若 b=2a,则关于 x 的方程 ax+b=0(a≠0)的解为 x=﹣ ;
④ 若 a+b+c=1,且 a≠0,则 x=1 一定是方程 ax+b+c=1 的解;
其中结论正确的个数有( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
【解析】各项整理得到结果,即可作出判断.
① 错误,当 a=0,b=1,c=﹣1 时,a+b+c=0+1﹣1=0,但是 abc=0;
② 正确,方程整理得:(a﹣b)x=a﹣b,由方程有唯一解,得到 a﹣b≠0,即 a≠b,此时解为 x=1;
4
③ 错误,由 a≠0,b=2a,方程解得:x=﹣ =﹣2;
④ 正确,把 x=1,a+b+c=1 代入方程左边得:a+b+c=1,右边=1,故若 a+b+c=1,且 a≠0,则 x=1 一定是
方 程 ax+b+c=1 的解,故选 C
例 5、已知(k2﹣9)y2+(k﹣3)y+2=0 是关于 y 的一元一次方程
(1)求 k 与 y 的值;
(2)求代数式(3y+7+2k)×(9009y2﹣2k+1)的值.
【解析】(1)由题意,得 k2﹣9=0 且 k﹣3≠0,解得 k=﹣3,y= ;
(2)(3y+7+2k)×(9009y2﹣2k+1)=(1+7﹣6)[(1001﹣2×(﹣3)+1]=2016
考点二: 等式的性质
例 1、己知 a=2b﹣1,下列式子:① a+2=2b+1;② =b;③ 3a=6b﹣1;④ a﹣2b﹣1=0,其中一定成
立的有( )
A.① ② B.① ② ③ C.① ② ④ D.① ② ③ ④
【解析】① ∵a=2b﹣1,∴a+2=2b﹣1+2,即 a+2=2b+1,故此小题正确;
②∵a=2b﹣1,∴a+1=2b,∴ =b,故此小题正确;
③∵a=2b﹣1,∴3a=6b﹣3,故此小题错误;
④∵a=2b﹣1,∴a﹣2b+1=0,故此小题错误.所以① ② 成立.故选 A
例 2、用“●” “■” “▲”分别表示三种不同的物体,如图所示,前两架天平保持平衡,若要使第三架天平也平
衡,那么“?”处应放“■” 5 个.
所有
【解析】设“●” “■” “▲”分别为 x、y、z,根据前两个天平列出等式,然后用 y 表示出 x、z,相加即可.
解:设“●” “■” “▲”分别为 x、y、z,
由图可知,2x=y+z ①,x+y=z ②,
② 两边都加上 y 得,x+2y=y+z ③,
由① ③ 得,2x=x+2y,
∴x=2y,代入②得,z=3y,∵x+z=2y+3y=5y,∴“?”处应放“■”5 个.故答案为:5
5
例 3、有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重,另外两个球都轻 1 克,为了找出这两个轻球,用天平
称了三次,结果如下:第一次①+②比③+④重,第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻,第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样
重.那么,两个轻球的编号是 .
【解析】∵① +② 比③ +④ 重,
∴③ 与④ 中至少有一个轻球,
∵⑤ +⑥ 比⑦ +⑧ 轻,
∴⑤与⑥ 至少有一个轻球,
∵① +③ +⑤ 和② +④ +⑧一样重可知两个轻球编号是④⑤ 故答案:④ ⑤
考点三:解一元一次方程
例 1、解方程
(1) = (2) (x﹣6)= ﹣ (x+2)
(3) ﹣ =1.6 (4) ﹣ = +1
【解析】(1)x=3 (2)x= (3)x= (4)x=﹣9.2
例 2、解含绝对值的方程
(1)|x+1|+|x﹣3|=4 (2)|x+3|﹣|x﹣1|=x+1 (3)|x﹣1|+|x﹣5|=4
【解析】 (1)x=﹣1 或 x=3 (2)x=3 或 x=﹣5 或 x=﹣1 (3)1≤x≤5
6
例 3、已知方程 与 +1 有相同的解,求 m 的值
【解析】解:由 得:(2m﹣5x)=4(m+5x)
整理得:﹣25x=2m∴x=﹣
由 +1 解得:x=
根据题意得: ,整理得:﹣83m=550
∴m=﹣ ,故 m 的值为﹣
例 4、规定一种新运算: .如 .已知 ,求 x 的值.
【解析】解:根据题意得:3(2x﹣1)﹣2(1﹣x)=0,得:x=
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
课堂狙击
1、下列各式中,不属于方程的是( )
A.2x+3﹣(x+2) B.3x+1﹣(4x﹣2)=0 C.3x﹣1=4x+2 D.x=7
【解析】本题主要考查的是方程的定义,含有未知数的等式叫方程,据此可得出正确答案 A.
2、若 3x2m﹣3+7=1 是关于 x 的一元一次方程,则 m 的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是 1(次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式
是 ax+b=0(a,b 是常数且 a≠0).则 x 的次数是 1,即可得到关于 m 的方程,即可求解.
解:根据题意得:2m﹣3=1,解得:m=2.故选 B.
3、若(m﹣2)x|2m﹣3|=6 是一元一次方程,则 m 等于( )
A.1 B.2 C.1 或 2 D.任何数
7
【解析】根据一元一次方程的特点可得 ,解得 m=1.故选 A.
4、若方程 2x﹣kx+1=5x﹣2 的解为﹣1,则 k 的值为( )
A.10 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8
【解析】依题意,得 2×(﹣1)﹣(﹣1)k+1=5×(﹣1)﹣2,即﹣1+k=﹣7,解得,k=﹣6.故选:C.
5、 20 4 2x x x 是一元一次方程m +m 的解,则m=
【解析】将 x=0 带入方程得 2 4m , 2m ,注意到是一元一次方程, 2 0, 2m m 故
6、下列变形:①如果 a=b,则 ac2=bc2;②如果 ac2=bc2,则 a=b;③如果 a=b,则 3a﹣1=3b﹣1;④如果 ,
则 a=b,其中正确的是( )
A.① ② ③ ④ B.① ③ ④ C.① ③ D.② ④
【解析】解:① 如果 a=b,则 ac2=bc2,正确;
② 如果 ac2=bc2,则 a=b(c≠0),故此选项错误;
③ 如果 a=b,则 3a﹣1=3b﹣1,正确;
④ 如果 ,则 a=b,正确.故选:B.
7、a,b,c,d 为实数,规定一种新的运算: =ad﹣bc,那么 =2011 时,x= .
【解析】∵ =ad﹣bc,∴ =2×5﹣3(1﹣x).
∴2×5﹣3(1﹣x)=2011,解得:x=668.故答案为:668
8、解下列方程
(1)2x﹣4(x﹣5)=3﹣5x (2) ﹣ =1 (3)2(5y﹣7)+6=3(2y﹣1)
(4) ﹣1= ﹣ (5)|4x+3|=2x+9 (6)|3x﹣2|﹣|x+1|=x+2
8
【解析】(1)x=﹣ (2)x=0.2 (3)y=1.25
(4)x=0.5 (5)x=3 ,x=﹣2 (6)x=﹣ ,x=5
9、根据流程右边图中的程序,当输出数值 y 为 1 时,输入数值 x 为( )
A.﹣8 B.8 C.﹣8 或 8 D.不存在
【解析】∵输出数值 y 为 1,
∴ x+5=1 时,解得 x=﹣8,﹣ x+5=1 时,解得 x=8,
∵﹣8<1,8>1,都不符合题意,故不存在.故选 D.
课后反击
1、在下列方程中①x2+2x=1,② ﹣3x=9,③ x=0,④3﹣ =2 ,⑤ =y+ 是一元一次方程的有()
个
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据一元一次方程的定义,即可解答.
① x2+2x=1,是一元二次方程; ② ﹣3x=9,是分式方程;③ x=0,是一元一次方程;
④ 3﹣ =2 ,是等式;⑤ =y+ 是一元一次方程;一元一次方程的有 2 个,故选:B
2、若(m+2)x ﹣2m=1,是关于 x 的一元一次方程,则 m=( )
A.±2 B.2 C.﹣2 D.1
【解析】根据一元一次方程的定义列出方程,解方程即可。
由题意得,m2﹣3=1,m+2≠0,解得,m=2.故选:B
3、对于 ax+b=0(a,b 为常数),表述正确的是( )
A.当 a≠0 时,方程的解是 x= B.当 a=0,b≠0 时,方程有无数解
C.当 a=0,b=0,方程无解 D.以上都不正确
【解析】A、当 a≠0 时,方程的解是 x=﹣ ,故错误 B、当 a=0,b≠0 时,方程无解,故错误;
C、当 a=0,b=0,方程有无数解,故错误; D、以上都不正确. 故本题选 D.
4、已知 x=﹣1 是关于 x 的方程 7x3﹣3x2+kx+5=0 的解,则 k3+2k2﹣11k﹣85= .版权所有
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【解析】根据方程解的定义,将方程的解代入方程可得关于字母系数 k 的一元一次方程,从而可求出 k 的
值,然后将其代入求值式即可得到答案.
解:将 x=﹣1 代入方程得:﹣7﹣3﹣k+5=0,解得:k=﹣5.
∴k3+2k2﹣11k﹣85=(﹣5)3+2×(﹣5)2﹣11×(﹣5)﹣85=﹣125+50+55﹣85=﹣105.故答案为﹣105
5、如图,下列四个天平中,相同形状的物体的重量是相等的,其中第①个天平是平衡的,根据第①个天平,
后三个天平仍然平衡的有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【解析】解:因为第①个天平是平衡的,所以一个球的重量=两个圆柱的重量;
② 中 2 个球的重量=4 个圆柱的重量,根据等式 1,即可得到①的结果;
③ 中,一个球的重量=两个圆柱的重量;
④ 中,一个球的重量=1 个圆柱的重量;综上所述,故选 C.
6、下列变形正确的是( )
A.若 3x﹣1=2x+1,则 3x+2x=﹣1+1 B.若 ,则 2﹣3x﹣1=2x
C.若 3(x+1)﹣5(1﹣x)=2,则 3x+3﹣5﹣5x=2 D.若 ,则 6﹣10x﹣1=2(2x+1)
【解析】A、若 3x﹣1=2x+1,则 3x﹣2x=1+1,故本选项错误;
B、 ,则 2﹣3x+1=2x,故本选项错误;
C、若 3(x+1)﹣5(1﹣x)=2,则 3x+3﹣5+5x=2,故本选项错误;
D、 ,则 6﹣10x﹣1=2(2x+1),故本选项正确;故选 D.
7、下列等式的变形中,正确的是( )
① 若 x+3=16,则 x+6=19 ② 若 a+b=c+d,则 a+2b+c=b+2c+d
③ 若 3a=4b,则 3ac=4bc ④ 若 3a=4b,则 = .
A.① B.① ③ C.① ③ ④ D.① ② ③ ④
【解析】① 若 x+3=16,两边都加 3,x+16=19,故① 正确;
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② a+b=c+d,两边都加(b+c),a+2b+c=b+2c+d,故② 正确;
③ 若 3a=4b,两边都乘以 c,3ac=4bc,故③ 正确;
④ 若 3a=4b,两边都除以(x2+1), = ,故④ 正确;故选:D.
8、解方程:
(1) (2) (3)3(5x﹣7)﹣4(8x+3)=1
(4) (5) (6)
【解析】(1)x= (2)x=5 (3)x=﹣2
(4)x=﹣3 (5)x=1 (6)x=
9、解方程:
(1)|x﹣3|+|x|=|3x﹣4| (2) |= (3)|2x﹣1|+|x﹣2|=|x+1|
【解析】(1)x=1 (2)x= 或 x=﹣ (3) ≤x≤2
10、有关 x 的方程|x+1|+|x+5|=a 无解,求 a 的取值范围
【解析】当 x<﹣5 时,原方程等价于﹣x﹣1﹣x﹣5=a.解得 x= ,由方程无解,得 ≥﹣5,
解得 a≤4;
当﹣5≤x<﹣1 时,原方程等价于﹣1﹣x+x+5=a,由方程无解,得 a>4 或 a<4;
当 x≥﹣1 时,原方程等价于 x+1+x+5=a,解得 x= ,由方程无解,得 <﹣1,解得 a<4;
综上所述:a 必须同时满足以上三种情况,故 a<4
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直击中考
1、【2015•大连】方程 3x+2(1﹣x)=4 的解是( )
A.x= B.x= C.x=2 D.x=1
【解析】解:去括号得:3x+2﹣2x=4,解得:x=2,故选 C.
2、【2015•济南】若代数式 4x﹣5 与 的值相等,则 x 的值是( )
A.1 B. C. D.2
【解析】解:根据题意得:4x﹣5= ,去分母得:8x﹣10=2x﹣1,解得:x= ,故选 B.
3、【2008•武汉】已知关于 x 的方程 4x﹣3m=2 的解是 x=m,则 m 的值是( )
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
解:由题意得:x=m,∴4x﹣3m=2 可化为:4m﹣3m=2,可解得:m=2.故选:A.
S(Summary-Embedded)——归纳总结
重点回顾
1、一元一次方程的概念:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指
数都是 1,这样的方程叫做一元一次方程。
2、解一元一次方程的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为 1。但在解题时上面
的步骤不一定全部用到,要结合方程特点灵活掌握选用求解步骤。
名师点拨
1、解方程步骤
变形名称 具体做法 变形依据 注意的问题
去分母 在方程两边同时乘各分母的最小
公倍数
等式基本性质 2 不要漏乘不含分母的项,
分数线起到括号的作用
去括号 先去小括号,再去中括号,最后
去大括号
去括号法则、分配律
括号前是负号,去括号后,
括号内各项均变号
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学霸经验
本节课我学到了
我需要努力的地方是
移项 把含未知数的项移到方程的一
边,其他项都移到方程的另一边
等是基本性质 1 移项要变号
合并同类项 把方程化为 ( 0)ax b a 的形式 合并同类项法则
系数相加,字母及其指数
均不变
未知数的系
数化为 1
在方程两边同除以未知数的系数
a ,得到方程的解 bx a
等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒