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  • 2021-10-25 发布

北师大版七年级上册-第10讲-整式的加减 (培优)-教案

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1 学科教师辅导讲义 学员编号: 年 级:七年级 课 时 数:3 学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师: 授课主题 第 10 讲---整式的加减 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 理解同类项及合并同类项的概念,会识别同类项; 2 掌握合并同类项法则,能进行同类项的合并; 3 理解去括号法则,并能正确地去括号; 4 会进行整式的加、减运算。 授课日期及时段 T(Textbook-Based)——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 (一)合并同类项 1、同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项,如: nn 48 和 ; baba 22 72 和 。注意:①两个相同:字母相同;相同字母的指数相同;②两个无关:与系数无关;与字 母顺序无关。 2、合并同类项的含义:把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 (1)合并同类项的法则是:合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 2 (2)合并同类项的步骤: ①准确地找出同类项; ②利用合并同类项法则合并同类项,把同类项的系数加在一起,字母和字母的指数不变; ③利用有理数的加减计算出各项系数的和,写出合并后的结果 (二)去括号的法则 1、括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变; 2、括号前是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。 (三)整式的加减 1、整式的加减:实质就是将整式中的同类项进行合并,如果有括号应先去括号,再合并同类项 2、整式的加减结果注意以下三点: ①结果要是最简,即结果中不再含有同类项; ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列; ③不能出现带分数,带分数要转化为假分数。 典例分析 考点一:合并同类项 例 1、若﹣x3ya 与 xby 是同类项,则 a+b 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】本题考查了同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项中相同字母指数相同的概念,根据同类 项中相同字母的指数相同的概念求解 ∵﹣x3ya 与 xby 是同类项,∴a=1,b=3,则 a+b=1+3=4.故选 C. 例 2、若 5a|x|b3 与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项,则 x= ,y= . 【解析】根据同类项相同字母的指数相同可得出|x|=3,|y﹣1|=3,从而可得出 x 和 y 的值. ∵5a|x|b2 与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项 ∴|x|=3,|y﹣1|=3,解得:x=±3,y﹣1=±3. ∴y=4 或﹣2,故答案为:±3;4 或﹣2. 3 例 3、若关于 x、y 的多项式 xm﹣1y3+x3﹣my|n﹣2|+xm﹣1y+x2m﹣3y|n|+m+n﹣1 合并同类项后得到一个四次三项 式,求 m、n 的值(所有指数均为正整数) 【解析】根据多项式的项的系数和次数定义解题.多项式的次数是多项式中最高次项的次数,多项式的项 数为组成多项式的单项式的个数. 解:∵关于 x、y 的多项式 xm﹣1y3+x3﹣my|n﹣2|+xm﹣1y+x2m﹣3y|n|+m+n﹣1 合并同类项后得到一个四次三项式, ∴m﹣1=1,解得:m=2,多项式变为:xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1, ①当|n|=1, n=1 时,xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+3xy+2,符合题意; n=﹣1 时,xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy3+xy+xy=2xy3+2xy,不符合题意; ②当|n|=3, n =3 时,xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy+xy+xy3+3+1=2xy3+2xy+4,符合题意; n=﹣3 时,xy3+xy|n﹣2|+xy+xy|n|+n+1=2xy3+xy5+xy﹣2,不符合题意. 故 m=2,n=1 或 3. 考点二:去括号法则 例 1、下列计算正确的是( ) A.3a﹣(2b﹣c)=3a﹣2b﹣c B.3a+2(2b﹣3c)=3a+4b﹣3c C.6a﹣(﹣2b+5)=6a+2b﹣5 D.﹣(5x﹣3y)﹣(2x﹣y)=﹣5x+3y﹣2x﹣y 菁优网版 权所有 【解析】根据去括号法则对四个选项逐一进行分析,要注意括号前面的符号,以选用合适的法则. A、3a﹣(2b﹣c)=3a﹣2b+c,故本选项错误; B、3a+2(2b﹣3c)=3a+4b﹣6c,故本选项错误; C、6a﹣(﹣2b+5)=6a+2b﹣5,故本选项正确; D、﹣(5x﹣3y)﹣(2x﹣y)=﹣5x+3y﹣2x+y,故本 选项错误;故选 C. 例 2、要使等式 4a﹣( )=4a﹣2b﹣c+3d 成立,括号内应填上的项是( ) A.2b﹣c+3d B.2b﹣c﹣3d C.2b+c+3d D.2b+c﹣3d 菁优网版 权所有 【解析】根据去括号的法则可知,原式=4a﹣(2b+c﹣3d),故选:D. 例 3、化简:﹣[﹣(﹣a2)﹣b2]﹣[+(﹣b2)]的结果是( ) A.2b2﹣a2 B.﹣a2 C.a2 D.a2﹣2b2 所有 【解析】根据去括号的法则计算即可. ﹣[﹣(﹣a2)﹣b2]﹣[+(﹣b2)]=﹣(a2﹣b2)﹣(﹣b2)=﹣a2+b2+b2=2b2﹣a2 故选 A. 4 考点三:整式的加减 例 1、小黄做一道题“已知两个多项式 A,B,计算 A﹣B”.小黄误将 A﹣B 看作 A+B,求得结果是 9x2﹣2x+7.若 B=x2+3x﹣2,请你帮助小黄求出 A﹣B 的正确答案( ) A.8x2﹣5x+9 B.7x2﹣8x+11 C.10x2+x+5 D.7x2+4x+3 版权所有 【解析】根据题意列出关系式,去括号合并即可确定出 A﹣B. 根据题意得: (9x2﹣2x+7)﹣2(x2+3x﹣2) =9x2﹣2x+7﹣2x2﹣6x+4 =7x2﹣8x+11.故选 B. 例 2、若 x 的多项式 8x2﹣3x+5 与 3x3+2mx2﹣5x+3 相加后,不含 x2 项,则 m 等于( ) A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.﹣8 【解析】先把两个多项式相加,再根据不含 x2 项,可知 x2 项的系数为 0,那么 8+2m=0,即可求 m. ∵8x2﹣3x+5+3x3+2mx2﹣5x+3=3x3+(8+2m)x2﹣8x+8, 又结果中不含 x2 项, ∴8+2m=0, 解得 m=﹣4. 故选 C. 例 3、把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个 底面为长方形(长为 m cm,宽为 n cm)的盒子底部(如图②),盒子底面未被 卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是( ) A.4m cm B.4n cm C.2(m+n)cm D.4(m﹣n)cm 【解析】本题需先设小长方形卡片的长为 a,宽为 b,再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长, 再把它们加起来即可求出答案. 解:设小长方形卡片的长为 a,宽为 b, ∴L 上面的阴影=2(n﹣a+m﹣a), L 下面的阴影=2(m﹣2b+n﹣2b), ∴L 总的阴影=L 上面的阴影+L 下面的阴影=2(n﹣a+m﹣a)+2(m﹣2b+n﹣2b)=4m+4n﹣4(a+2b), 又∵a+2b=m,∴4m+4n﹣4(a+2b)=4n.故选:B. 5 考点四:整式的化简求值 例 1、先化简,再求值 3(a2+2a)﹣2(3a﹣a2+5),其中|a|=2. 【解析】原式去括号合并得到最简结果,利用绝对值的代数意义求出 a 的值,代入计算即可求出值. 原式=3a2+6a﹣6a+2a2﹣10=5a2﹣10, 由|a|=2,得到 a=2 或﹣2,则原式=20﹣10=10. 例 2、已知 x3m﹣1y3 与﹣ x5y2n+1 是同类项,求代数式:5mn2﹣[2mn2+(m2﹣4mn+3mn2)]的值. 【解析】利用同类项定义求出 m 与 n 的值,原式去括号合并后代入计算即可求出值. ∵ x3m﹣1y3 与﹣ x5y2n+1 是同类项, ∴3m﹣1=5,2n+1=3,解得:m=2,n=1, 则原式=5mn2﹣2mn2﹣m2+4mn﹣3mn2=﹣m2+4mn=﹣4+8=4. 例 3、当 a=2015,b=2014 时,求 5(a2b﹣3ab2)﹣2(a2b﹣7ab2)﹣(3a2b﹣ab2)的值. 对于此题,四位同学展开讨论. 小亮:这么大的数,没法算. 小刚:先去括号,合并同类项,化简后再代值,就简单了. 小龙:这个算式的结果是个常数. 小颖:这个算式的结果与 a、b 取值无关. 那么他们到底谁说的对?你能说明理由吗?优网版权 所有 【解析】直接去括号,进而合并同类项,进而得出答案. 小刚、小龙、小颖说得都对, 理由:5(a2b﹣3ab2)﹣2(a2b﹣7ab2)﹣(3a2b﹣ab2) =﹣5a2b﹣﹣15ab2﹣2a2b+14ab2﹣3a2b+ab2 =0. P(Practice-Oriented)——实战演练 6 实战演练  课堂狙击 1、在下列各对整式中,是同类项的为( ) A.3x,3y B. xy,22yx C.23,a3 D.3m3n2,﹣3m2n3 【解析】利用同类项和定义判定即可.利用同类项和定义可得 xy 与 22yx 是同类项,故选:B. 2、已知﹣6a5bn+4 和 5a2m﹣1b3 是同类项,则代数式 m﹣n 的值是( ) A.1 B.﹣1 C.4 D.﹣4 【解析】根据同类项的概念求解,解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”:相同字母的指数相同. ∵﹣6a5bn+4 和 5a2m﹣1b3 是同类项,∴2m﹣1=5,n+4=3,∴m=3,n=﹣1,则 m﹣n=3﹣(﹣1)=4.故选 C. 3、下列式子计算一定正确的是( ) A.3x2﹣5x2=﹣2x B.6x2+2x2=3x2 C.x2+x2=2x2 D.﹣2(x﹣2)=﹣2x﹣4 【解析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变,可得答案. A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故 A 错误; B、合并同类项系数相加字母及指数不变,故 B 错误; C、合并同类项系数相加字母及指数不变,故 C 正确; D、括号前是负数去括号全变号,故 D 错误; 故选:C. 4、下列去括号错误的是( ) A.2x2﹣(x﹣3y)=2x2﹣x+3y B. x2+(3y2﹣2xy)= x2﹣3y2+2xy C.a2+(﹣a+1)=a2﹣a+1 D.﹣(b﹣2a)﹣(﹣a2+b2)=﹣b+2a+a2﹣b2 菁优网版 权所有 【解析】利用去括号法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,进而判断得出即可. A、2x2﹣(x﹣3y)=2x2﹣x+3y,正确; B、 x2+(3y2﹣2xy)= x2+3y2﹣2xy,故错误; C、a2+(﹣a+1)=a2﹣a+1,正确; D、﹣(b﹣2a)﹣(﹣a2+b2)=﹣b+2a+a2﹣b2,正确; 5、合并同类项: (1)3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2 (2)﹣0.8a2b﹣6ab﹣1.2a2b+5ab+a2b 7 (3) (4)6x2y+2xy﹣3x2y2﹣7x﹣5yx﹣4y2x2﹣6x2y (5)4x2y﹣8xy2+7﹣4x2y+12xy2﹣4 (6)a2﹣2ab+b2+2a2+2ab﹣b2 【解析】(1)3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x2=2x2+x﹣6; (2)﹣0.8a2b﹣6ab﹣1.2a2b+5ab+a2b=﹣a2b﹣ab; (3) = ; (4)6x2y+2xy﹣3x2y2﹣7x﹣5yx﹣4y2x2﹣6x2y=﹣7x2y2﹣3xy﹣7x; (5)4x2y﹣8xy2+7﹣4x2y+12xy2﹣4=4xy2+3; (6)a2﹣2ab+b2+2a2+2ab﹣b2=3a2. 6、先去括号、再合并同类项 (1) 2(a﹣b+c)﹣3(a+b﹣c) (2) 3a2b﹣2[ab2﹣2(a2b﹣2ab2)] 【解析】根据括号前是正号,去掉括号及正号,括号里的各项都不变,括号前是负号,去掉括号及负号, 括号里的各项都变号,可得答案. (1)原式=2a﹣2b+2c﹣3a﹣3b+3c =(2a﹣3a)+(﹣2b﹣3b)+(2c+3c) =﹣a﹣5b+5c; (2)原式 =3a2b﹣2(ab2﹣2a2b+4ab2) =3a2b﹣10ab2+4a2b =7a2b﹣10ab2 7、一个多项式 A 减去多项式 2x2+5x﹣3,马虎同学将减号抄成了加号,计算结果是﹣x2+3x﹣7,那么这个 多项式 A 减去多项式 2x2+5x﹣3,正确的计算结果应该是 . 8 【解析】由题意和减去一个加数等于另一个加数求出多项式 A,用 A 减去 2x2+5x﹣3,去括号合并即可得到 结果. 由题意列得:(﹣x2+3x﹣7)﹣(2x2+5x﹣3) =﹣x2+3x﹣7﹣2x2﹣5x+3 =﹣3x2﹣2x﹣4, 则这个多项式减去 2x2+5x﹣3 列得: (﹣3x2﹣2x﹣4)﹣(2x2+5x﹣3) =﹣3x2﹣2x﹣4﹣2x2﹣5x+3 =﹣5x2﹣7x﹣1.故答案为:﹣5x2﹣7x﹣1 8、化简求值:4a2b﹣[ab2﹣(﹣2ab2+5a2b)]﹣2(3a2b﹣ab2),其中 a=﹣1,b=﹣ . 【解析】原式去括号合并得到最简结果,把 a 与 b 的值代入计算即可求出值. 原式=4a2b﹣ab2﹣2ab2+5a2b﹣6a2b+2ab2=3a2b﹣ab2, 当 a=﹣1,b=﹣ 时,原式=﹣2+ =﹣1 . 9、先化简,后求值. (1)(5a+2a2﹣3﹣4a3)﹣(﹣a+3a3﹣a2),其中 a=﹣2; (2)3a2﹣(5a2﹣ab+b2)﹣(7ab﹣7b2﹣3a2),其中 a=3,b=﹣1.菁优网版 权所有 【解析】 (1)原式=5a+2a2﹣3﹣4a3+a﹣3a3+a2=﹣7a3+3a2+6a﹣3, 当 a=﹣2 时, 原式=(﹣7)×(﹣8)+3×4+6×(﹣2)﹣3= 56+12﹣12﹣3=53 (2)原式 =3a2﹣5a2+ab﹣b2﹣7ab+7b2+3a2=a2﹣6ab+6b2, 当 a=3,b=﹣1 时, 原式=32﹣6×3×(﹣1)+6×(﹣1)2=9+18+6=33  课后反击 1、如果 xa+2y3 与﹣3x3y2b﹣1 是同类项,那么|3a﹣2b|的值是 .所有 9 【解析】根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同,可得 a、b 的值,根据有理数的减法,可得差, 根据绝对值的性质,可得答案. 由 xa+2y3 与﹣3x3y2b﹣1 是同类项,得 a+2=3,b﹣1=3. 解得 a=1,b=4. |3a﹣2b|=|2×1﹣2×4|=6,故答案为:6 2、如果单项式 2mxayb﹣1 与﹣5nx2a﹣3y 是关于 x,y 的单项式,且它们是同类项. (1)求(7a﹣11b)2003 的值. (2)若无论 x,y 取何值,2mxayb﹣1+5nx2a﹣3y=0 都成立。求(2m+5n)2004 的值.网版权所有 【解析】(1)根据所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项可得 a=2a﹣3,b﹣1=1, 再解即可得到 a、b 的值,进而可得答案.(2)根据合并同类项法则可得 2m+5n=0,再代入(2m+5n)2004 求值即可. 解:(1)由题意得:a=2a﹣3,b﹣1=1, 解得:a=3,b=2,(7a﹣11b)2003=1; (2)由题意得:2m+5n=0,(2m+5n)2004=0. 3、合并同类项 (1)3a 2﹣b2+4ab﹣2a2+ab﹣2b2 (2)3(2x2﹣y2)﹣2(3y2﹣2x2) (3)9x2+[4x2﹣3x﹣(2x2﹣6x)] (4)2(2b﹣3a)+(2a﹣3b) 【解析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变,可得答案。 (1)3a 2﹣b2+4ab﹣2a2+ab﹣2b2=a2+5ab﹣3b2 (2)3(2x2﹣y2)﹣2(3y2﹣zx2)=10x2﹣9y2 (3)9x2+[4x2﹣3x﹣(2x2﹣6x)]=11x2+3x (4)2(2b﹣3a)+(2a﹣3b)=﹣4a+b. 4、先去括号,再合并同类项: (1)6a2﹣2ab﹣2(3a2﹣ ab) (2)2(2a﹣b)﹣[4b﹣(﹣2a+b)] 10 (3)9a3﹣[﹣6a2+2(a3﹣ a2)] (4)2t﹣[t﹣(t2﹣t﹣3)﹣2]+(2t2﹣3t+1) 【解析】先去小括号,再去中括号,然后合并同类项即可; 解:(1)6a2﹣2ab﹣2(3a2﹣ ab)=6a2﹣2ab﹣6a2+ab=﹣ab; (2)2(2a﹣b)﹣[4b﹣(﹣2a+b)]=4a﹣2b﹣4b﹣2a+b=2a﹣5b; (3)9a3﹣[﹣6a2+2(a3﹣ a2)]=9a3+6a2﹣2a3+ a2=7a3+ a2; (4)2t﹣[t﹣(t2﹣t﹣3)﹣2]+(2t2﹣3t+1)=2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1=3t2﹣3t. 5、(1)化简 5(a2b﹣2ab2+c)﹣4(2c+3a2b﹣ab2) (2)先化简,再求值: ,其中 a=﹣2, . 【解析】(1)先去括号,然后合并同类项即可得出答案. (2)本题的关键根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简,然后把给定的值代入求值. 解:(1)原式=5a2b﹣10ab2+5c﹣8c-12a2b+4ab2 = -7a2b﹣6ab2﹣3c (2)原式= a﹣2a+ b2﹣ a+2b2=﹣3a+ b2, 当 a=﹣2,b= 时,原式= -3×(-2)+ × =12 6、张师傅再就业,做起了小商品生意.第一次进货时,他以每件 a 元的价格购进了 20 件甲种小商品,每 件 b 元的价格购进了 30 件乙种小商品(a>b);回来后,根据市场行情,他将这两种小商品以每件 元 的价格全部售出,则在这次买卖中,张师傅赚了( ) A.(5a﹣5b)元 B.(10a﹣10b)元 C.(20a﹣5b)元 D.(30a﹣20b)元 【解析】用(售价﹣甲的进价)×甲的件数+(售价﹣乙的进价)×乙的件数 列出关系式,去括号合并得 到结果,即为张师傅赚的钱数 解:根据题意列得:20( ﹣a)+30( ﹣b) 11 =20× +30× =10(b﹣a)+15(a﹣b) =10b﹣10a+15a﹣15b =5a﹣5b,则这次买卖中,张师傅赚 5(a﹣b)元.故应选 A. 7、老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下: +(﹣3x2+5x﹣7)=﹣2x2+3x﹣6 (1)求所捂的多项式; (2)若 x 是 x=﹣ x+3 的解,求所捂多项式的值; (3)若 x 为正整数,任取 x 几个值并求出所捂多项式的值,你能发现什么规律? (4)若所捂多项式的值为 144,请直接写出 x 的取值. 【解析】(1)(﹣2x2+3x﹣6)﹣(﹣3x2+5x﹣7) =﹣2x2+3x﹣6+3x2﹣5x+7 =x2﹣2x+1,即所捂的多项式是 x2﹣2x+1; (2)∵x 是 x=﹣ x+3 的解,∴x=4, ∴x2﹣2x+1=42﹣2×4+1=9, 即若 x 是 x=﹣ x+3 的解,所捂多项式的值是 9; (3)当 x=1 时,x2﹣2x+1=1﹣2+1=0; 当 x=2 时,x2﹣2x+1=4﹣4+1=1; 当 x=3 时,x2﹣2x+1=9﹣6+1=4; 当 x=4 时,x2﹣2x+1=16﹣8+1=9,由上可以发现规律是所捂多项式的值是代入的正整数 x﹣1 的平方; (4)若所捂多项式的值为 144,x 的取值是 13. ∵144=122,∴x 的值是 13. 直击中考 1、(2012•广州)下面的计算正确的是( ) A.6a﹣5a=1 B.a+2a2=3a3 C.﹣(a﹣b)=﹣a+b D.2(a+b)=2a+b 菁优网版权所有 12 【解析】考察合并同类项法则和去括号法则 A、6a﹣5a=a,故此选项错误; B、a 与 2a2 不是同类项,不能合并,故此选项错误; C、﹣(a﹣b)=﹣a+b,故此选项正确; D、2(a+b)=2a+2b,故此选项错误;故选:C. 2、(2012•雅安)如果单项式 与 是同类项,那么 a,b 分别为( ) A.2,2 B.﹣3,2 C.2,3 D.3,2 【解析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)即可求解. 单项式 与 是同类项,则 a=3,b=2.故选:D. 3、(2012•河北)如图,两个正方形的面积分别为 16,9,两阴影部分的面积分别为 a,b(a>b),则(a﹣b) 等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【解析】设重叠部分面积为 c,(a﹣b)可理解为(a+c)﹣(b+c),即两个正方形 面积的差. 设重叠部分面积为 c,a﹣b=(a+c)﹣(b+c)=16﹣9=7,故选 A. S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、合并同类项 2、去括号的法则 3、整式的加减 名师点拨 1、去括号的法则 (1)括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变; (2)括号前是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。 2、整式的加减 13 (1)整式的加减:实质就是将整式中的同类项进行合并,如果有括号应先去括号,再合并同类项 (2)整式的加减结果注意以下三点: ①结果要是最简,即结果中不再含有同类项; ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列; ③不能出现带分数,带分数要转化为假分数。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是

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