新人教版_七年级数学上册总复习，异构精品2套 60页

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。 所有正数组成的集合，叫 做正数集合； 所有负数组成的集合叫做负数集合； 所有整数组成的集合叫整数集合； 所有分数组成的集合叫分数集合； 所有有理数组成的集合叫有理数集合； 所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。 1.1正数和负数 （1）正数：大于零的数叫做正数。如：1,0.25，…，69。 负数：小于零的数叫做负数。如：-1，-3.8，-1/4，…，-25。 零： 零既不是正数也不是负数 整数：正数、0、负数 （2）用正负数表示两个意义相反的量。 第一章 有理数 （1）有理数的分类 （3）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 如2与-2，-5与5，a与-a等。 ①通常用a和-a表示一对相反数 ②若a与b互为相反数，则a+b=0 ③互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a| ④若|a|=|b|,则a=b,或a=-b(a与b互为相反数) （2）、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素 、 、 。原点 正方向 单位长度 1.2有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 有理数的两种分类： 正整数 0 有理数　　 负整数　 正分数 负分数 分数 整数 正数 负数 正整数　 正分数 有理数　 负整数 负分数 0　……………. 非负数 一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ， 0的绝对值是 。 是它本身 它的相反数 0 （4）、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，符号表示为( |a| ) 注意：①|a|≥0即对任意有理数a，它的绝对值是非负数 ②绝对值最小数为0 （5）、有理数数的比较： ①在数轴上表示的两个数右边的总 比左边的大。 ②两个正数比较大小，绝对值大的数大； 两个负数绝对值大的反而小。 ③正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 ④作差法：a-b＞0↔a＞b ⑤作商法：a／b＞1,b＞0↔a＞b ★有理数的运算 符号 计算绝对值 加法 同号 异号 减法 减去一个数等于 乘法 同号 异号 除法 同号 异号 除以一个数等于 乘方 取相同的符号 绝对值相加 取绝对值大的符号 较大绝对值减较小绝对值 得正 得正 得负 得负 绝对值相乘 绝对值相除 加上这个数的相反数 乘以这个数的倒数 )( baba  b aba 1  （n个a相乘） nn aa 22)(  1212)(   nn aa 注意：-14=– (1×1×1×1)=–1 (-1)4=(-1) ·(-1) ·(-1) ·(-1)=1 运算律 1、加法交换律： 2、加法结合律： 3、乘法交换律： 4、乘法结合律： 5、分配律： 有理数混合运算的运算顺序 　　先算乘方，再算乘除，最后算加减。 如果有括号就先算括号里面的。 同级运算从左到右进行。 （4）、科学计数法 1、 把一个绝对值大于10的数表示成a×10的形式（a是 整数数位只有一位的数，n是比原整数数位小1的正整数）， 如236000000=2.36×108；-2450000=-2.45×106 2、将用科学计数法表示的数还原，如： 1.52×104=15200 （5）、有效数字、近似数 一个数字从左边第一个非0的数字起到末位止， 叫做这个数的有效数字。 如：0.003020有四个有效数字，分别是3、0、2、0。 第 二 章 整 式 的 加 减 1.整式的概念: (1)单项式:都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 ①单项式的系数：单项式中的数字因数。 ②单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和 ※注意 ①圆周率π是常数； ②只含有字母因式的单项式的系数是1或－1时，“1”通常 省略不写，如x2，－a2b等； ③单项式次数只与字母指数有关。如23a6的次数为6 ④单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 ⑤单项式的系数包括它前面的符号。 ⑥单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身;非零常数 的次数是0。 (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。 1、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 2、多项式中不含字母的项叫做常数项。 3、一个多项式有几项，就叫做几项式。 4、多项式的每一项都包括项前面的符号。 5、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 (3)多项式排列: ①把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来， 叫做把多项式按这个字母的降幂排列． ②把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来， 叫做把多项式按这个字母的升幂排列． （4）单项式与多项式统称整式。 （分母含有字母的代数式不是整式） 2. 同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项 叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3.把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和,且字母部分不变。 注意:①.若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零, 如:-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0×ab2=0。 ②.多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。 ③.通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从 大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列, 如:-4x2+5x+5或 写5+5x-4x2。 4.整式的加减就是合并同类项的过程。 5.整式去括号变化规律: （1）.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内 各项的符号与原来的符号相同；如：+（x-3）=x-3 （2）.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内 各项的符号与原来的符号相反。如：-（x-3）=-x+3 6．整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号， 然后再合并同类项. 第三章 一元一次方程 1:等式的概念：用等号表示相等关系的式子叫做等式. 2:等式的基本性质(1)等式两边加上(或减去)同一个数或 同一个代数式,所得的结果仍是等式. 即若a=b，则 a±c=b±c. (2) 等式两边乘以(或除以)同一个不为0的数或代数式, 所 得的结果仍是等式. 如果a=b,那么ac=bc; 如果a=b（c≠0）,那么a/c=b/c 此外等式还有其它性质: 若a=b，则b=a. 若a=b，b=c,则a=c. 说明:①等式两边不可能同时除以为零的数或式子 ②等式的性质是解方程的重要依据. 3:方程的概念：含有未知数的等式叫方程，方程中 一定含有未知数，而且必须是等式，二者缺一不可. 说明:代数式不含等号,方程是用等号把代数式连接而成 的式子,且其中一定要含有未知数. 4:一元一次方程的概念：只含有一个未知数,并且未知数的次 数是1的方程叫一元一次方程.任何形式的一元一次方程,经变 形后,总能变成形为ax=b(a≠0,a、b为已知数)的形式,这种形 式的方程叫一元一次方程的一般式. 注意：a≠0这个重要条件,它也是判断方程是否是一元一次方 程的重要依据. 一般地，如果不设定a≠0，则关于x的方程ax=b的解有 如下讨论： 当a≠0时，方程有唯一解 x=b/a； 当a=0,b=0时，方程的解为一切数； 当a=0,b≠0时，方程无解。 关于绝对值方程|x|=a的解：当a≥0时，x=±a; 当a＜0时，无解。 5:方程的解与解方程:使方程两边相等的未 知数的值叫做方程的解,求方程解的过程叫 解方程. 6:关于移项:⑴移项实质是等式的基本性质1的 运用. ⑵移项时,一定记住要改变所移项的符号. 7:解一元一次方程的一般步骤:去分母、去 括号、移项、合并同类项、将未知数的系 数化为1. （具体解题时，有些步骤可能用不上，有 些步骤可以颠倒顺序，有些步骤可以合写， 以简化运算，要根据方程的特点灵活运用.） 说明:去分母时,易漏乘方程左、 右两边代数式中的某些项. 8:方程的检验 检验某数是否为原方程的解，应将该 数分别代入原方程左边和右边，看两 边的值是否相等. 注意：应代入原方程的左、右两边分别计 算，不能代入变形后的方程的左边和右边. • 1、仔细审题，透彻理解题意。即弄清已知量、未 知量及其相互关系，并用字母（如X）表示题中的 一个合理未知数（如题中所求的量）； • 2、根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个 相等关系；（关键的一步） • 3、根据相等关系，正确列出方程，即所列的方程 应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位 要相同；题中条件应充分利用； • 4、求出所列方程的解； • 5、检验后明确地、完整地写出答案（注意单位） 　这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程 成立，又能使应用题有意义。 一元一次方程解应用题 v v v v v v 顺水 静水 水流 逆水 静水 水流 ＝ ＋ ＝ － 10 xx  利润＝售价－成本 利润 利润率＝ 成本 打 折的售价＝原价  利息＝本金 利率 存期 本息和＝本金＋实得利息 第四章 图形认识初步 1、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种 图形叫做几何图形。几何图形分为平面图形 和立体图形。 （1）平面图形：图形所表示的各个部分都在 同一平面内的图形，如直线、三角形等。 （2）立体图形：图形所表示的各个部分不在 同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。 图1 从正面看 从左面看 从上面看 图2 从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后 描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视 图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 2、从不同方向观察几何体 3、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成 的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形 称为立体图形的展开图。 （1）圆柱和圆锥的侧面展开图 （2）棱柱和棱锥的展开图 （3）根据展开图判断立体图形的规律： A展开图全是长方形或正方形时------长方体或正方体； B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱； 若展开图中含有2个三角形3个长方形-----三棱柱； 若展开图中全是三角形（4个）-----（三）棱锥。 C展开图中含有圆和长方形-----圆柱； D展开图中含有扇形------圆锥。 4、点、线、面、体 ⑴体：几何体简称为体。 ⑵面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。 ⑶线：面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。 ⑷点：线与线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形的组成：由点线面体组成。点是构成图形的基 本元素，而点本身也是最简单的几何图形。 5、直线：把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。 ⑴表示方法：直线AB或直线L ⑵点与直线的关系：点在直线上、点在直线外 ⑶直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（两点 确定一条直线）； ⑷交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们 就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 7.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个 点叫做线段的端点。 ①表示方法 ②画法 ③基本性质：两点之间，线段最短。 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 ④线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的 中点。 ⑤比较线段长短的方法：A叠合法；B度量法。 6、射线：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。 ①表示方法：端点字母必须写在前 ②射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同---- 端点相同、延伸方向也相同。 8、直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个 方面区别） ①表示法 ②延伸性：直线向两端无限延伸， 射线向一方无限延伸， 线段没有延展性 ③端点个数：直线没有端点， 射线只有一个端点， 线段有两个端点 ④画图叙述：过AB两点作直线AB； 以O为端点作射线OA； 连接AB。 ⑤特征 ⑥性质 9.角：①具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形 叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条 边。（角的静态定义 ） ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置 所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做 角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（角的动态 定义 ） 10、角的表示方法： （1）用三个大写英文字母表示； （2）用一个大写英文字母表示； （3）用阿拉伯数字表示； （4）用小写希腊字母表示。 11、角的度量：“°” “′” “″” 度分秒。 12、角的大小的比较方法：（1）重叠法； （2）度量法。 13、注意： （1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射 线必须有公共端点，两者缺一不可； （2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓 长短，即角的大小与它的边的长短无关； （3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、 图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小 若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大 或缩小若干倍. 另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时， 顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示 这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分 前后. 14、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分 线。 15、余角、补角 （1）概念：余角----如果两个角的和相加等于直角即 90°，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。 补角----如果两个角的和相加等于平角即180°，那么这 两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 （2）性质：等角的余角相等；等角的补角相等。 互为余角的有关性质： ①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2 互余，则∠1+∠2＝90°； ②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3 ＝90°，则∠2＝∠3. 互为补角的有关性质： ①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、 ∠B互补，则∠A+∠B＝180°. ②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°， ∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C. 16、方位角：必须以正南。正北方向为基准。 17.角的种类： 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：等于180°的角叫做平角。 知识结构 相 交 线 两条 直线 相交 邻补角、对顶角 对顶角相等 垂线及其性质 点到直线的距离 两条 直线 被第 三条 直线 所截 同位角、内错角、同旁内角 平 行 线 平行公理 平移 判定 性质 1. 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1) 12 1 2 与 是邻补角。 2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中， (1) 有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 如图(2). (2) 1 2 3 4 1 2, 3 4   与 与 是对顶角。 (2)一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，这两个角是对顶角。 3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。 4. 对顶角性质:对顶角相等。 1 3 2 3 1 2(        与 互补， 与 互补 同角的补角相等) 两个特征:(1) 具有公共顶点; (2) 角的两边互为反向延长线。 5. n条直线相交于一点， 就有n(n-1)对对顶角。 1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角 是 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一 条直线的垂线。它们的交点叫垂足。 090 2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线 段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与 直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。 5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指 垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。 1. 平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两 种:(1)相交; (2)平行。 3. 平行线的基本性质: (1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 4.同位角、内错角、同旁内角的概念 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线 相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它 们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。 平 行 线 的 性 质 平 行 线 的 判 定 两直线平行 条件 结论 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 条件 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 结论 两直线平行 夹 在 两 平 行 线 间 的 垂 线 段 的 长 度, 叫 做 两 平 行 线 间 的 距 离 。 1. 命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。 命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯 定或者否定的判断。两者缺一不可。 2. 命题的组成: 每个命是由题设、结论两部分组成。 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成 “如果……，那么……”的形式。或 “若……，则……”等形式。 3. 真命题和假命题: 命题是一个判断，这个判断可能是正确的， 也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。 真命题就是: 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题就是: 如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。 1. 平移变换的定义: 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到 一个新图形，这样的图形运动，叫做平移变换，简称平移。 2. 平移的特征: (1)平移不改变图形的形状和大小。 (2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。 3. 决定平移的因素是平移的方向和距离。 4. 经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。 5. 经过平移，对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线 段平行且相等。 22 )5()25(848  14 5)2( 5 35 2 13  )2(3)3(3 22  ) 3 2()4(824  )3()6()2(1632 3       9 5) 3 1(53.1 )2()6(4 )3(1 22009   25.0) 6 1( 2 15) 3 22()2( 24  有理数的乘方 当 x = -3时， 等于( )x  A、 B、  23    = 3 3   解: x     所以选 A 因为 x· x 针对第14题训练 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是(　　) A．30°　B．45°　C．60° D．90° [答案] D 阶段综合测试八(期末四) 针对第8题训练 钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为(　　) A．90° B．82.5° C．67.5° D．60° 阶段综合测试六(期末二) [答案] B 例1：读下列语句，并画出图形。 1、有一条直线ｌ，点Q在直线ｌ外，过点Q的直线m 交直线ｌ于点R 2、直线a过点P，且点P在直线b上。 l Q . . R m (1） . a b P （2) 例2：已知线段AB=5cm，在直线AB上画线段BC=3cm，求 AC的长。 A . . .B C 解：(1) ∵ AB=5 ,BC=3 ∴AC=AB+BC=5+3=8(cm) (2) ∵ AB=5 ,BC=3 ∴AC=AB-BC=5-3=2(cm) （C) . 思考：情况（1）添加AB、BC的中点分别为M、 N点，试求MN的长度。 MN=4cm 我们学会了分类讨论思想！ A B C D l (2)如图，AC=8cm，CB=6cm,如果O是线段 AB的中点，求线段OC的长度。 A BCO 例3：如图,已知OB平分∠AOC,且∠2:∠3:∠4=2:5:3, 求∠1,∠2,∠3,∠4的度数. 2 1 4 3 A B C D x=30 ∴ ∠1 =60°， ∠2= 60° ∴ ∠3 = 150°，∠4=90°。 O 我们可以方程的思想来解决有关几何问题！ 解： ∵ OB平分∠AOC， ∴ ∠1=∠2 ∴∠1:∠2:∠3:∠4=2:2:5:3 设 ∠1=2x°, ∠2=2x°, ∠3=5x°，∠4=3x° 由题意的： 2x+2x+5x+3x=360 3．已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC 的度数． ∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－15°＝55°； 当 OC 在∠AOB 外部时， ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋15°＝85°. 答：∠AOC 的度数为 55°或 85°. 解：当 OC 在∠AOB 内部时， 利用方程思想解题 我们在求有关线段长度或角的大小的问题时，可把一个量 设为未知数，列方程求解．方程思想是指对所求问题通过列方 程求解的一种思维方法，是解几何题的重要策略． 例2：一个角的余角比这个角的补角的一半少 8°，那么这 个角的余角是多少？ 思路导引：可设这个角为 x，通过列方程求解． 4．如图 4－2，B、C 两点把线段 AD 分成 2∶ 4∶ 3 三部分， M 是 AD 的中点，CD＝6，求线段 MC 的长． 图 4－2 5．已知一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角的度数． 为 180°－x，根据题意得， 180°－x＝4(90°－x)， 解得 x＝60°. 答：这个角的度数为 60°. 解：设这个角的度数为 x，则这个角的余角为 90°－x，补角 6．如图 4－3，OM 是∠AOB 的平分线，OC 在∠BOM 内， 已知∠AOC＝80°，∠BOC＝20°，求∠MOC 的角度． 图 4－3 ∠ 的余角=90°-62°32′ =27°28′  练习1、已知∠ =62°32′，∠ 的余 角是多少度？ ∠ 的 补角是多少度？    解：∠ 的余角=90°- ∠  ∠ 的补角=180o -∠  ∠ 的补角=180o - 62°32′ =117°28′  答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。