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- 2021-10-25 发布
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三法巧求线段的长度
齐 齐
方法一:直接推理法
根据题设图形的特征,利用中点的性质或者图中线段的和差关系,直接推理进行求解.
例1 如图1所示,已知线段AB=80 cm,M为AB的中点,点P在MB上,点N为PB的中点,且NB=14 cm,求线段AP的长.
思路分析:由图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,所以欲求线段AP的长,只要求出线段AM与MP的长或者线段PB的长即可.
解:由题意可得PB=2NB=2×14=28(cm),所以AP=AB-PB=80-28=52(cm).
评注:直接推理计算,需要认真观察图形,灵活运用图中线段的和、差、倍、分关系,然后进行变换迅速解题.
方法二:利用整体求解法
根据题中线段间的关系,通过整体思想,把所要求解的线段作整体处理的方法.
例2 如图2所示,点P在线段AB上,AB=10 cm,点M为AP的中点,N为BP的中点,求线段MN的长度.
思路分析:虽然由图可知MN=MP+NP,但无法分别求出MP和NP的长.再仔细分析发现MP+NP=AB,于是把MN作整体化处理,则可以把问题简单化.
解:由MP=AP,NP=PB得MN=MP+NP=(AP+PB)=AB=×10=5(cm).
评注:当无法确定某些线段的长度时,可考虑整体求解.
方法三:运用分类讨论法
根据所研究对象的性质差异,分不同情况予以分析的解决方法.
例3 在一条直线上有A,B,C三个点,M为AB的中点,N为BC的中点,若AB=a,BC=b,试用a,b表示线段MN的长度.
思路分析:由于题目没有说清楚A,B,C三点之间确切的位置关系,所以要根据A,B,C三点的位置和a,b的大小关系进行分类讨论.
解:(1)如图3-①所示,点B在A,C两点之间时,MN=BM+BN=(AB+BC)=(a+b);
(2)如图3-②所示,点A在B,C两点之间,即b>a时,MN=BN-BM=(BC-AB)=(b-a);
(3)如图3-③所示,点C在A,B两点之间,即a>b时,MN=BM-BN=(AB-BC)=(a-b).
评注:解答这类问题首先要审题,弄清楚点之间的位置关系,只有这样才能做到无遗漏.