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- 2021-10-26 发布
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03 从算术到代数
阅读与思考
算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.
用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：
1.任意性
即字母可以表示任意的数.
2.限制性
即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.
3.确定性
即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.
4.抽象性
即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.
例题与求解
【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：
1×3＋1＝4＝22
2×4＋1＝9＝32
3×5＋1＝16＝42
4×6＋1＝25＝52
…
请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________
(山东菏泽地区中考试题)
解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.
11
【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）
A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470
（江苏省竞赛试题）
解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.
【例3】设A＝＋…＋＋，求A的整数部分.
（北京市竞赛试题）
解题思路：从分析A中第n项的特征入手.
【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.
(1)用含n的代数式表示m；
(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.
（浙江省竞赛试题）
解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.
【例5】 化简.
11
（江苏省竞赛试题）
解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.
【例6】观察按下列规律排成的一列数：
，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）
（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝ 时，求m的值和这m个数的积.
（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.
解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），….
能力训练
A级
1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10 ＋＝102×（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.
(湖北省武汉市竞赛试题)
11
2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.
n＝2 n＝3 n＝4
s＝4 s＝8 s＝12
(山东省青岛市中考试题)
3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）， 当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．
(浙江省湖州市数学竞赛试题)
4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．
（广东省中考试题）
-=
5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（ ）
A.1000a＋1 B. 100a＋1 C. 10a＋1 D. a＋1
(重庆市竞赛试题)
6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（ ）
A. a10＋b19 B. a10-b19 C. a10-b17 D. a10-b21
(四川省眉山市竞赛试题)
7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A. B. C. a＋b－c D. 3(a＋b－c)
(希望杯邀请赛试题)
11
8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（ ）
（东方航空杯竞赛试题）
A. S1＞S2 B．Sl＜S2 C．S1＝S2 D．无法比较
9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．
（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；
剪裁次数
1
2
3
4
…
n
所得的总数
4
7
…
（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？
（山东省济南市中考试题）
10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；
（2）试求出用b表示a的关系式；
（3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？
（广东省广州市中考试题）
11
B级
1. 你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.
（1）通过计算，探索规律.
152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；
252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；
352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；
452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；
...
752＝5625可写成______；
852＝7225可写成______；
（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；
（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.
（福建省三明市中考试题）
2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，计算：
（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；
(2)22＋42＋…＋502＝__________________.
3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则＋＋…＋＋＝_______________.
(“希望杯”邀请赛训练题)
4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.
（重庆市竞赛试题）
11
5.A，B两地相距S千米，甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时（a＞b），甲、乙都从A地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（ ）
A． B． C． D．
6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（ ）
A．m（1＋a%）（1－b%）元 B．ma%（1－b%）元
C．m（1＋a%）b%元 D．m（1＋a%b%）元
（山东省竞赛试题）
7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）
A． B． C． D．
(“希望杯”邀请赛试题)
8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？
9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.
（重庆市竞赛试题）
10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.
11
（天津市竞赛试题）
11
专题03 从算术到代数
例1
例2 A
例3 原式=
= 故其整数部分为2008
例4 设图③中含有个正方形.
(1) 由,得
(2) 由得,因均是正整数, 所以当时,
此时
例5解法1: 时,;
时, ,
猜想: 个, 计算过程类似于
解法2: 时,
时,
猜想: 原式
验证如下:
反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设,得另一种解法
解法3: 原式
例6 (1)(※) 可分组为可知各组数的个数依次为.
11
按其规律应在第组中, 该组前面共有个数. 故当时,. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为
(2) 依题意, 为每组倒数第2个数, 为每组最后一个数,
设它们在第n组, 别.即,
得,
A级
1. 100 提示: 中, 根据规律可得故
2.
3. 提示: 根据题中定义的运算可列代数式,可得
故
4. 10
5. C
6. B
7. B
8. B
9.(1) 10 13 (2) 不能, 33不符合
10. (1) 或或
(2) 由,得
(3)
B级
11
1. (1)
(2)
(3)
2. (1)
(2) 提示: 原式
3. 提示: 由可得,
原式
4. 595 提示: 设17个连续整数为且,它后面紧接的17 个连续自然数应为,可得它们之和为595
5. D
6. C
7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.
8．用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a＋m＝b＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n－n，．
9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．
10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．
11
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