浙江省宁波市北仑区2019-2020学年七年级下学期期末数学试卷 （解析版） 20页

‎2019-2020学年浙江省宁波市北仑区七年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量仅有0.000005克，用科学记数法表示0.000005，正确的是（　　）‎ A．5×10﹣6 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×105‎ ‎2．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．（3cd）3＝9c3d3 B．（﹣3a3）2＝﹣9a5 ‎ C．[（﹣a）3]4＝﹣a12 D．（﹣a）•（a2）3＝﹣a7‎ ‎3．下列多项式能用公式法分解因式的是（　　）‎ A．4x2+（﹣y）2 B．﹣4x2﹣y2 C．x2+2xy﹣y2 D．x+1+‎ ‎4．若分式的值为0，则a的值为（　　）‎ A．4和﹣4 B．4 C．﹣4 D．4和0‎ ‎5．若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（　　）‎ A．m＝1，n＝3 B．m＝4，n＝5 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝﹣2，n＝3‎ ‎6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．如图所示，下列说法中，错误的是（　　）‎ A．∠A与∠EDC是同位角 B．∠A与∠C是同旁内角 ‎ C．∠A与∠ADC是同旁内角 D．∠A与∠ABF是内错角 ‎8．当a为何值时，方程组的解，x、y的值互为相反数（　　）‎ A．a＝﹣8 B．a＝8 C．a＝10 D．a＝﹣10‎ ‎9．把一张对边互相平行的纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．∠C′EF＝34° B．∠AEC＝146° C．∠BGE＝68° D．∠BFD＝112°‎ ‎10．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（﹣2）0×（）﹣1＝　 　．‎ ‎12．如图所示，直线a∥b，如果∠1＝45°，那么∠2的度数是　 　．‎ ‎13．已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝　 　．‎ ‎14．若分式方程＝4﹣无解，则a的值为　 　．‎ ‎15．多项式是完全平方式，则m＝　 　．‎ ‎16．若方程组的解是，请求出方程组中m，n的值，m＝　 　，n＝　 　．‎ ‎17．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则++…+＝　 　．‎ ‎18．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图2、图③两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1比C2大　 　cm．‎ 三、解答题(本题共8小题，19、20.、21、22、23年题8分，24、25题12分，26题14分，共78分)‎ ‎19．（1）计算：（3x2）3•（﹣2x4）÷（﹣9x7）；‎ ‎（2）因式分解：﹣2m3+24m2﹣72m．‎ ‎20．先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎21．解方程或方程组：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）+＝．‎ ‎22．某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300m2的绿化面积比乙工程队完成200m2的绿化面积少用2h．求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？‎ ‎23．对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：‎ a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）‎ 请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：‎ ‎（1）x2﹣6x﹣16；‎ ‎（2）x2+2ax﹣3a2．‎ ‎24．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．‎ ‎（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；‎ ‎（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；‎ ‎（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．‎ ‎25．阅读下列材料，然后解答后面的问题．‎ 我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．‎ 例：由2x+3y＝12得y＝＝4﹣x（x，y为正整数）．‎ ‎∴则有0＜x＜6，‎ 又∵y＝4﹣x为正整数，‎ ‎∴x为正整数．‎ 由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．‎ ‎∴2x+3y＝12的正整数解为．‎ 问题：‎ ‎（1）请你写出方程3x+y＝7的一组正整数解：　 　．‎ ‎（2）若为自然数，则满足条件的x值有　 　．‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎（3）为了开展“阳光体育”‎ 活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买1件），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元，问有几种购买方案．‎ ‎26．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．‎ ‎（1）填空：∠BAN＝　 　°；‎ ‎（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？‎ ‎（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量仅有0.000005克，用科学记数法表示0.000005，正确的是（　　）‎ A．5×10﹣6 B．5×10﹣5 C．5×106 D．5×105‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解：0.000005＝5×10﹣6，‎ 故选：A．‎ ‎2．下列运算中，正确的是（　　）‎ A．（3cd）3＝9c3d3 B．（﹣3a3）2＝﹣9a5 ‎ C．[（﹣a）3]4＝﹣a12 D．（﹣a）•（a2）3＝﹣a7‎ ‎【分析】选项A、B、C根据积的乘方运算法则计算即可判断，选项D根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可判断．积的乘方，等于每个因式乘方的积，即（ab）n＝anbn；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an＝am+n；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn．‎ 解：A．（3cd）3＝27c3d3，故本选项不合题意；‎ B．（﹣3a3）2＝9a6，故本选项不合题意；‎ C．[（﹣a）3]4＝a12，故本选项不合题意；‎ D．（﹣a）•（a2）3＝（﹣a）•a6＝﹣a7，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎3．下列多项式能用公式法分解因式的是（　　）‎ A．4x2+（﹣y）2 B．﹣4x2﹣y2 C．x2+2xy﹣y2 D．x+1+‎ ‎【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可．‎ 解：多项式能用公式法分解因式的是x+1+＝（1+）2，‎ 故选：D．‎ ‎4．若分式的值为0，则a的值为（　　）‎ A．4和﹣4 B．4 C．﹣4 D．4和0‎ ‎【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．‎ 解：∵分式的值为0，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴a的值为﹣4，‎ 故选：C．‎ ‎5．若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（　　）‎ A．m＝1，n＝3 B．m＝4，n＝5 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝﹣2，n＝3‎ ‎【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值．‎ 解：∵（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+mx+n，‎ ‎∴m＝2，n＝﹣3．‎ 故选：C．‎ ‎6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．‎ 解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎7．如图所示，下列说法中，错误的是（　　）‎ A．∠A与∠EDC是同位角 B．∠A与∠C是同旁内角 ‎ C．∠A与∠ADC是同旁内角 D．∠A与∠ABF是内错角 ‎【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．‎ 解：A．∠A与∠EDC是同位角，本选项正确；‎ B．∠A与∠C不是同旁内角，本选项错误；‎ C．∠A与∠ADC是同旁内角，本选项正确；‎ D．∠A与∠ABF是内错角，本选项正确；‎ 故选：B．‎ ‎8．当a为何值时，方程组的解，x、y的值互为相反数（　　）‎ A．a＝﹣8 B．a＝8 C．a＝10 D．a＝﹣10‎ ‎【分析】①﹣②×2得出﹣x﹣19y＝36，得出方程组，求出x、y的值，再把x＝2，y＝﹣2代入①求出a即可．‎ 解：当x、y互为相反数时，x+y＝0，‎ ‎∵，‎ ‎∴①﹣②×2得：﹣x﹣19y＝36，‎ 解方程组得：，‎ 把x＝2，y＝﹣2代入①得：6+10＝2a，‎ 解得：a＝8，‎ 故选：B．‎ ‎9．把一张对边互相平行的纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．∠C′EF＝34° B．∠AEC＝146° C．∠BGE＝68° D．∠BFD＝112°‎ ‎【分析】根据平行线的性质以及翻折不变性，分别求出∠C′EF；∠AEC；∠BGE；∠BFD即可判断．‎ 解：A、∵∠EFB＝34°，AC′∥BD′，‎ ‎∴∠EFB＝∠FEC′＝∠FEG＝34°，故正确，不符合题意；‎ B、由折叠可得∠C′EG＝68°，‎ 则∠AEC＝180°﹣∠C′EG＝112°，故错误，符合题意；‎ C、∵∠BGE＝∠C′EG＝68°，故正确，不符合题意；‎ D、∵EC∥DF，‎ ‎∴∠BFD＝∠BGC＝∠AEC＝112°，故正确，不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎10．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n ‎，然后对各小题求解即可作出判断．‎ 解：①∵6＝1×6＝2×3，‎ ‎∴F（6）＝，故本小题正确；‎ ‎②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，‎ ‎∴F（16）＝＝1，故本小题正确；‎ ‎③∵n2﹣n＝n（n﹣1），‎ ‎∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确；‎ ‎④∵n是一个完全平方数，‎ ‎∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，‎ ‎∴F（n）＝1，故本小题正确．‎ 综上所述，说法正确的个数是4．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（﹣2）0×（）﹣1＝　2　．‎ ‎【分析】利用零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算即可．‎ 解：（﹣2）0×（）﹣1＝1×2＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎12．如图所示，直线a∥b，如果∠1＝45°，那么∠2的度数是　45°　．‎ ‎【分析】要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．‎ 解：∵a∥b，‎ ‎∴∠3＝∠1＝45°．‎ ‎∴∠2＝∠3＝45°．‎ 故答案为：45°．‎ ‎13．已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝　8　．‎ ‎【分析】把3x﹣2y﹣3＝0变形为3x﹣2y＝3，再根据同底数幂的除法法则计算即可．‎ 解：由3x﹣2y﹣3＝0得3x﹣2y＝3，‎ ‎∴23x÷22y＝23x﹣2y＝23＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎14．若分式方程＝4﹣无解，则a的值为　﹣2　．‎ ‎【分析】根据题意得出方程无解时x的值，代入得出a的值．‎ 解：去分母得：a＝4（x+2）﹣2，‎ 整理得：x＝，‎ 分式方程无解，则＝﹣2，‎ 则a＝﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎15．多项式是完全平方式，则m＝　±1　．‎ ‎【分析】根据完全平方公式得到＝（x±1）2，然后再根据完全平方公式把右边展开即可得到m的值．‎ 解：根据题意得＝（x±1）2，‎ 而（x±1）2＝x2±x+1，‎ 所以m＝±1．‎ 故答案为±1．‎ ‎16．若方程组的解是，请求出方程组中m，n的值，m＝　6.5　，n＝　﹣1　．‎ ‎【分析】我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以得到 ‎，进而可得答案．‎ 解：由题意得：，‎ 解得：，‎ 故答案为：6.5；﹣1．‎ ‎17．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则++…+＝　　．‎ ‎【分析】先由|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用＝﹣裂项求和可得．‎ 解：∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，‎ ‎∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，‎ 解得a＝1，b＝2，‎ 则原式＝++……+‎ ‎＝1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎＝1﹣‎ ‎＝，‎ 故答案为：．‎ ‎18．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图2、图③两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1比C2大　10　cm．‎ ‎【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案．‎ 解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+5）cm，‎ ‎∴②阴影周长为：2（x+5+x）＝4x+10，‎ ‎∴③下面的周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b），‎ 上面的总周长为：2（x+5﹣a+x﹣a），‎ ‎∴总周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b）+2（x+5﹣a+x﹣a）＝4（x+5）+4x﹣4（a+2b），‎ 又∵a+2b＝x+5，‎ ‎∴4（x+5）+4x﹣4（a+2b）＝4x，‎ ‎∴C2﹣C3＝4x+10﹣4x＝10（cm），‎ 故答案为10．‎ 三、解答题(本题共8小题，19、20.、21、22、23年题8分，24、25题12分，26题14分，共78分)‎ ‎19．（1）计算：（3x2）3•（﹣2x4）÷（﹣9x7）；‎ ‎（2）因式分解：﹣2m3+24m2﹣72m．‎ ‎【分析】（1）根据幂的运算性质进行计算便可；‎ ‎（2）先提取公因式，再按照完全平方公式分解．‎ 解：（1）原式＝27x6•（﹣2x4）÷（﹣9x7）＝﹣54x10÷（﹣9x7）＝6x3；‎ ‎（2）原式＝﹣2m（m2﹣12m+36）＝﹣2m（m﹣6）2．‎ ‎20．先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎【分析】首先对分式进行化简、把除法转化为乘法、在进行混合运算，把分式转化为最简分式，然后确定x的整数值，把合适的值代入求值，x的值不可使分式的分母为零．‎ ‎【解答】原式＝‎ ‎＝．‎ x满足﹣2≤x≤2且为整数，若使分式有意义，x只能取0，﹣2．‎ ‎∴当x＝0时，原式＝（或：当x＝﹣2时，原式＝）．‎ ‎21．解方程或方程组：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）+＝．‎ ‎【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解：（1）方程组整理得：，‎ ‎①×2+②得：11x＝22，‎ 解得：x＝2，‎ 把x＝2代入①得：y＝3，‎ 则方程组的解为；‎ ‎（2）去分母得：3x+3﹣4x＝x﹣1，‎ 解得：x＝2，‎ 经检验x＝2是分式方程的解．‎ ‎22．某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300m2的绿化面积比乙工程队完成200m2的绿化面积少用2h．求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？‎ ‎【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成200平方米的绿化面积少用2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ 解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，‎ 根据题意得：＝﹣2，‎ 解得：x＝25，‎ 经检验，x＝25是分式方程的解．‎ 答：乙工程队每小时能完成25平方米的绿化面积．‎ ‎23．对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：‎ a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）‎ 请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：‎ ‎（1）x2﹣6x﹣16；‎ ‎（2）x2+2ax﹣3a2．‎ ‎【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．‎ 解：（1）x2﹣6x﹣16‎ ‎＝x2﹣6x+9﹣9﹣16‎ ‎＝（x﹣3）2﹣25‎ ‎＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）‎ ‎＝（x+2）（x﹣8）；‎ ‎（2）x2+2ax﹣3a2‎ ‎＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2‎ ‎＝（x+a）2﹣（2a）2‎ ‎＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）‎ ‎＝（x+3a）（x﹣a）．‎ ‎24．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．‎ ‎（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；‎ ‎（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；‎ ‎（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；‎ ‎（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；‎ ‎（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3．‎ 解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，‎ S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；‎ ‎（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，‎ ‎∵a+b＝10，ab＝20，‎ ‎∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；‎ ‎（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），‎ ‎∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，‎ ‎∴S3＝×30＝15．‎ ‎25．阅读下列材料，然后解答后面的问题．‎ 我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．‎ 例：由2x+3y＝12得y＝＝4﹣x（x，y为正整数）．‎ ‎∴则有0＜x＜6，‎ 又∵y＝4﹣x为正整数，‎ ‎∴x为正整数．‎ 由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．‎ ‎∴2x+3y＝12的正整数解为．‎ 问题：‎ ‎（1）请你写出方程3x+y＝7的一组正整数解：　或（只要写出其中的一组即可）　．‎ ‎（2）若为自然数，则满足条件的x值有　B　．‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎（3）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买1件），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元，问有几种购买方案．‎ ‎【分析】（1）求方程3x+y＝7的正整数解，可给定x一个正整数值，计算y的值，如果y的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解．‎ ‎（2）参照例题的解题思路进行解答；‎ ‎（3）设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，根据“甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元”列出方程，并解答．‎ 解：（1）由3x+y＝7，得y＝7﹣3x（x、y为正整数）．‎ 则当x＝1时，y＝4；‎ 当x＝2时，y＝1．‎ 故方程的正整数解是或（只要写出其中的一组即可）；‎ ‎（2）同样，若为自然数，‎ 则有：0＜x﹣2≤9，即2＜x≤11．‎ 当x＝3时，＝9；‎ 当x＝5时，＝3；‎ 当x＝11时，＝1．‎ 即满足条件x的值有3个，‎ 故选：B．‎ ‎（3）设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，‎ 依题意得：20x+30y＝180，‎ ‎2x+3y＝18，‎ y＝6﹣x，‎ ‎∵x，y是正整数，‎ 当x＝3时，y＝4．‎ 当x＝6时，y＝2．‎ 故有两种购买方案：①购买甲种体育用品3件，购买乙种体育用品4件；②购买甲种体育用品6件，购买乙种体育用品2件．‎ 故答案为：或（只要写出其中的一组即可）；B．‎ ‎26．宁波正着力打造“三江六岸”‎ 景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．‎ ‎（1）填空：∠BAN＝　60　°；‎ ‎（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？‎ ‎（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；‎ ‎（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；‎ ‎（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．‎ 解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，‎ ‎∴∠BAN＝180°×＝60°，‎ 故答案为：60；‎ ‎（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，‎ ‎①当0＜t＜90时，如图1，‎ ‎∵PQ∥MN，‎ ‎∴∠PBD＝∠BDA，‎ ‎∵AC∥BD，‎ ‎∴∠CAM＝∠BDA，‎ ‎∴∠CAM＝∠PBD ‎∴2t＝1•（30+t），‎ 解得 t＝30；‎ ‎②当90＜t＜150时，如图2，‎ ‎∵PQ∥MN，‎ ‎∴∠PBD+∠BDA＝180°，‎ ‎∵AC∥BD，‎ ‎∴∠CAN＝∠BDA ‎∴∠PBD+∠CAN＝180°‎ ‎∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，‎ 解得 t＝110，‎ 综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；‎ ‎（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．‎ 理由：设灯A射线转动时间为t秒，‎ ‎∵∠CAN＝180°﹣2t，‎ ‎∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，‎ 又∵∠ABC＝120°﹣t，‎ ‎∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，‎ ‎∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，‎ ‎∴∠BAC：∠BCD＝2：1，‎ 即∠BAC＝2∠BCD，‎ ‎∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．‎