2020秋初中七年级（初一）新生入学摸底数学考试测试卷及答案 共四套 25页

2020 秋初中七年级（初一）新生入学摸底数学考试测试卷及答案（一） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只．有． 一项．．是符合题目要求的) 1.下列各数中，是负数的是 （ ） A.-（-5） B. ｜-5｜ C. （-5）2 D. -52 2.下列代数式①﹣1，② a2，③ x2y，④ ，⑤ ，⑥3a+b，⑦0，⑧ 中，单项式 的个数有 （ ） A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 3.2019 年 10 月 1 日庆祝祖国七十华诞的隆重阅兵活动，由徒步方队、装备方队和空中梯队 三部分组成，总规模约 1.5 万人，各型飞机 160 余架，装备 580 台套，是几次阅兵中规模最 大的一次. 1.5 万这个数用科学记数法表示为 （ ） A. 150×102 B. 15×103 C. 1.5×104 D. 0.15×105 4.下列说法正确的是 （ ） A.分数都是有理数 B. ﹣a 是负数 C.有理数不是正数就是负数 D. 绝对值等于本身的数是正数 5．下列比较大小，正确的是 A．-3<-4 B．9-（-3）<|-3| C．- 1 2 >- 1 3 D． 1| |6  >- 1 7 6.下列计算正确的是 （ ） A. x5﹣x4=x B. x+x=x2 C. x3+2x5=3x8 D.﹣x3+3x3=2x3 7.下列各项中，去括号正确的是 （ ）A. x2－2(2x－y＋2)＝x2－4x－2y＋4 B. －3(m＋n)－mn＝－3m＋3n－mn C. －(5x－3y)＋4(2xy－y2)＝－5x＋3y＋8xy－4y2 D. ab－5(－a＋3)＝ab＋5a－3 8.当 110)支,用含 x 的式子分别表示在甲、乙两个商店购买 该品牌水性笔的费用. (2)若小华要购买该品牌笔 30 支,你认为在甲、乙两商店中,到哪个商店购买比较省钱?说明 理由. 25.（8 分）阅读材料：我们知道，4x+2x-x=（4+2-1）x=5x，类似地，我们把（a+b）看成 一个整体，则 4（a+b）+2（a+b）-（a+b）-（4+2-1）（a+b）=5（a+b）．“整体思想”是中 学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用：（1）把（a-b）看成一个整体，合并 3（a-b）2-7（a-b）2+2（a-b）2 的结果是____________． （2）已知 x2-2y=5，求 21- 2 1 x2+y 的值； （3）拓广探索：已知 a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求 2（a-c）+2（2b-d）-2（2b-c）的值． 参考答案 一、选择题(本大题有 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只． 有一项．．．是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A D D C B B A C C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案写在题中横线上） 13. 合格； 14. 4.8 ,- (- 5 2 ) 15. 百 ； 16. 6 5 ； 17. -27； 18. 6 或 10. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算：（本题满分 6 分，每小题 3 分） 解：(1)数轴：略； -2.5< -2 < 3 1 < 0< 3< 2 9 . （2）原式 = c 20.解方程：（本题满分 12 分，每小题 4 分） 解：（1）原式 = -6 ； （2）原式 = -4999 ； （3）原式 = - 3 2 . 21. （本题满分 8 分，第（1）题 3 分；第（2）题 5 分） 解：(1)原式= 7ab－6b2 ………………………………………………………………3 分 (2)原式= 442 2  xyx …………………………………………………………3 分 由|x﹣1|+（y+2）2=0, 解得:x=1, y=-2 ………………………………………4 分 当 x=1, y=-2 时，原式=-6 ………………………………………………………5 分 22. （本题满分 6 分） 解：（1）巡警巡逻时离岗亭最远是 9 米； …………………………………………………2 分 （2）根据题意，可得：9﹣8+6﹣10+7﹣12+3﹣2=﹣7， 即 A 在岗亭西方 7 千米处； ………………………………………………………4 分 （3）该巡警巡逻时，共走了|+9|+|-8|+|+6|+|-10|+|+7|+|-12|+|+3|+|-2|=57（km）， 所以该摩托车这天巡逻共耗油：57×0.03=1.71 升．……………………………6 分 23.（本题满分 8 分） 解：（1）A= 345 2  xx ； ……………………………………………………………4 分 （2）2A+B = 4511 2  xx …………………………………………………………8 分 24.（本题满分 8 分） 解： (1)在甲商店需要:10×1.5+0.6×1.5×(x-10)=(0.9x+6)元, 在乙商店需要:1.5×0.8×x=1.2x(元). ………………………………4 分 (2)到甲商店购买比较省钱. 理由:当 x=30 时,0.9x+6=33,1.2x=36,因为 33<36, 所以小华要购买该品牌笔 30 支,到甲商店购买比较省钱. ……………………8 分 25. （本题满分 10 分） 解：（1） -2（a-b）2 …………………………………………………………2 分 （2）21- 2 1 x2+y =21- 2 1 （x2-2y）=21- 2 5 =18 2 1 ……………………………5 分 （3）2（a-c）+2（2b-d）-2（2b-c） = 2a - 2c + 4b - 2d - 4b + 2c =（2a-4b）+（4b-2c）+（2c-2d） = 2×3 +2×（-5）+2×10 = 16 ………………………………………………………………10 分 2020 秋初中七年级（初一）新生入学摸底数学考试测试卷及答案（二） 一、填一填（每小题 2 分，共 20 分） 1. 填上合适的单位名称： 一间教室面积是 54（ ） 青青体重 40（ ）。 2. 0.78 平方千米=（ ）公顷 4.2 吨=（ ）千克。 3．一个圆锥的底面半径是 3 厘米，体积为 18.84 立方厘米，这个圆锥的高是( ) 厘米。 4. 今年的小麦产量比去年的增产二成三,表示今年比去年增产( )%,也就是今 年的产量相当于去年的( )%。 5. 一种大豆的出油率是 10%，300 千克大豆可出油（ ）千克，要榨 300 千克 豆油需大豆（ ）千克。 6. 一辆公共汽车共载客 42 人，其中一部分人在中途下车，每张票价 6 元，另一 部分人到终点下车，每张票价 9 元，售票员共收票款 318 元，中途下车的有（ ） 人。 7．一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是 6.80，这个小数最小可能是（ ）， 最大可能是（ ）。 8. 50 以内 6 的倍数有（ ）。 9. 一段木头砍成 4 段要 6 分钟，砍成 8 段要（ ）分钟。 10.下面的图形中圆的半径为 2 ㎝，阴影部分的面积为（ ）。 二、选择（每题 2 分，共 12 分） 1. 一件商品，先提价 20%，以后又降价 20%，现在的价格与原来相比，（ ） A．提高了 B．降低了 C．不变 D．无法确定 2. 1 元和 2 角的纸币共 20 张,共 15.2 元,2 角的纸币有( )张。 A.14 B.6 C.12 D.18 3．在钟面上，12 时 15 分的时候，时针和分针所成的角是（ ） A. 平角 B. 直角 C. 钝角 D. 锐角、 4．下列图形中，对称轴最多的是（ )。 A. 长方形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 圆 5．两个数的比值是 1.2，如果比的前项扩大 2 倍，后项缩小两倍，比值是（ ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 6．王师傅加工一批零件，1/2 小时加工了这批零件的 3/8，全部加工完还需要（ ） 小时。 三、判断（6 分） 1. 在一个比例里，如果内项的积等于 1，那么两个外项的积一定是 1。 （ ） 2. 一个圆和一个正方形的周长相等，比较它们的面积，结果是圆的面积大。（ ） 3. 长方体的底面积一定，高和体积成反比例。（ ） 4. 小刚在教室中的座位用数对表示为（3，5），代表着他坐在第三行第五列。 （ ） 5. 两条线段互相平行，它们也一定相等。（ ） 6. 盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个，要想摸出的球一定有 2 个是同色的，至少要摸出 4 个球。 （ ） 四、算一算。（共 26 分） 1. 能简算的要简算。（12 分） 2. 求未知数的值。（9 分） 3．图中的两个正方形的边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积． 五、应用题。（每小题 5 分，共 30 分） 1. 一个等腰三角形，底角和顶角的度数比是 1：3。它的一个底角是多少度？ 2. 新区器材厂用一根长 120 厘米的铁丝做成一个长方体框架，这个长方体长宽 高的比是 3：2：1，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 3. 公园里栽了 149 棵杨树，再栽上 22 棵就是所栽柳树的 3 倍。栽了多少棵柳树？ （用方程解答） 4. 食堂买来茄子和土豆共 380 kg，茄子的质量比土豆的 3 倍还多 8kg，茄子和 土豆各有多少千克？ 5. 儿童节期间，学校准备用 800 元钱买节日礼物，其中 30%的钱买糖果，剩余 的钱按 3：5 用来购买文具和图书。学校购买文具和图书各用了多少元? 6. 一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部涂水 泥，每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥？ 六、图图变换（6 分） 画出三角形 AOB 绕点 0 点逆时针旋转 90°后的图形。 参考答案 2020 秋初中七年级（初一）新生入学摸底数学考试测试卷及答案（三） 一、填空题： 1．一个学生用计算器算题，在最后一步应除以 10，错误的乘以 10 了，因 此得出的错误答数 500，正确答案应是______． 2．把 0，1，2，…，9 十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立： □+□=□ □-□=□ □×□=□□ 3．两个两位自然数，它们的最大公约数是 8，最小公倍数是 96，这两个自 然数的和是______． 4．一本数学辞典售价 a 元，利润是成本的 20％，如果把利润提高到 30％， 那么应提高售价______元． 5．图中有______个梯形． 6．小莉 8 点整出门，步行去 12 千米远的同学家，她步行速度是每小时 3 千米，但她每走 50 分钟就要休息 10 分钟．则她______时到达． 7．一天甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了 6 道，丙做的是 甲的 2 倍，比乙多 22 道，则他们一共做了______道数学题． 8．在右图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对）， 每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为______． 9．有 a、b 两条绳，第一次剪去 a 的 2/5，b 的 2/3；第二次剪去 a 绳剩下 的 2/3，b 绳剩下的 2/5；第三次剪去 a 绳剩下的 2/5，b 绳的剩下部分的 2/3， 最后 a 剩下的长度与 b 剩下的长度之比为 2∶1，则原来两绳长度的比为______． 10．有黑、白、黄色袜子各 10 只，不用眼睛看，任意地取出袜子来，使得 至少有两双袜子不同色，那么至少要取出______只袜子． 二、解答题： 1．字母 A、B、C、D、E 和数字 1997 分别按下列方式变动其次序： A B C D E 1 9 9 7 B C D E A 9 9 7 1（第一次变动） C D E A B 9 7 1 9（第二次变动） D E A B C 7 1 9 9（第三次变动） …… 问最少经过几次变动后 ABCDE1997 将重新出现？ 2．把下面各循环小数化成分数： 3．如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是 1 千米，A、B、C、D 四位 运动员同时从交点 O 出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时 4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米，每小时 12 千米．问从出发到四人再次相 遇，四人共跑了多少千米？ 4．某路公共汽车，包括起点和终点共有 15 个车站，有一辆车除终点外，每一站 上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位， 问这辆公共汽车最少要有多少个座位？ 5、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 40 米.甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了 15 分钟又 与丙相遇，求 A、B 两地间的距离。 画图如下： 6、一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有 5 张牌 的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有 3 张牌是红桃。 参考答案 一、填空题： 1．（5） 500÷10÷10=5 2．（1+7=8，9-3=6，4×5=20） 首先考虑 0 只能出现在乘积式中．即分析 2×5，4×5，5×6，8×5 几种情 况．最后得以上结论． 3．（56） 96÷8=12=3×4，所以两个数为 8×3=24，4×8=32，和为 32+24=56． 5.(210) 梯形的总数为：BC 上线段总数×BD 上线段总数，即（4+3+2+1）× （6+5+4+3+2+1）=210 6．（中午 12 点 40 分） 3 千米/小时=0.05 千米/分，0.05×50=2.5 千米，即每小时她走 2.5 千米．12 ÷2.5=4.8，即 4 小时后她走 4×2.5=10 千米．（12-10）÷0.05=40（分），最 后不许休息，即共用 4 小时 40 分． 7．（58） 画图分析可得 22-6=16 为甲做题数，所以可得乙 10 道，丙 16×2=32 道，一 共 16+10+32=58（道）． 8．（36） 长方形的宽是“一”与“二”两个正方形的边长之和．长方形的长是“一”、 “二”、“三”三个正方形的边长之和．长-宽=30-22=8 是“三”正方形的边长．宽 又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=22-8 ×2=6，中间小正方形面积=6×6=36． 9．（10∶9） 10．（13） 考虑最坏的情形，把某一种颜色的袜子全部先取出，然后，在剩下两色袜子 中各取出一只，这时再任意取一只都必将有两双袜子不同色，即 10+2+1=13（只）． 二、解答题： 1．（20） 由变动规律知，A、B、C、D、E 经 5 次变动重新出现，而 1997 经过 4 次即 重新出现，故要使 ABCDE1997 重新出现最少需 20 次（即 4 和 5 的最小公倍数．） 3．（15 千米） 4．（56 个） 本题可列表解．除终点，我们将车站编号列表： 共需座位： 14+12+10+8+6+4+2=56（个） 5、分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点 C 相遇时，丙在 D 点，则因为过 15 分钟后甲、丙在点 E 相遇，所以 C、D 之间的距离就等于（40＋60）×15=1500 （米）。 又因为乙和丙是同时从点 B 出发的，在相同的时间内，乙走到 C 点，丙才走 到 D 点，即在相同的时间内乙比丙多走了 1500 米，而乙与丙的速度差为 50-40 ＝10（米/分），这样就可求出乙从 B 到 C 的时间为 1500÷10＝150（分钟）， 也就是甲、乙二人分别从 A、B 出发到 C 点相遇的时间是 150 分钟，因此，可求 出 A、B 的距离。 解：①甲和丙 15 分钟的相遇路程： （40＋60）×15=1500（米）。 ②乙和丙的速度差： 50-40=10（米/分钟）。 ③甲和乙的相遇时间： 1500÷10=150（分钟）。 ④A、B 两地间的距离： （50＋60）×150＝16500（米）＝16.5 千米。 答：A、B 两地间的距离是 16.5 千米. 7、 一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有 5 张 牌的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有 3 张牌是红桃。 分析与解答 一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌。 ①为了“保证”5 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸 出了两张王牌.把四种花色看作 4 个抽屉，要想有 5 张牌属于同一抽屉，只需再 摸出 4×4+1＝17（张），也就是共摸出 19 张牌.即至少摸出 19 张牌，才能保证 其中有 5 张牌的花色相同。 ②因为每种花色有 13 张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三 种花色的所有牌共计 13×3＋2=41（张），这时，只需再摸一张即一共 42 张牌， 就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出 42 张牌才能保证四种花色的牌都有。 ③最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计 41 张，只剩红桃牌.这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了.即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃牌。 2020 秋初中七年级（初一）新生入学摸底数学考试测试卷及答案（四） 一、填空题： 1．41.2×8.1+11×9.25+537×0.19=______． 2．在下边乘法算式中，被乘数是______． 3．小惠今年 6 岁，爸爸今年年龄是她的 5 倍，______年后，爸爸年龄是小 惠的 3 倍． 4．图中多边形的周长是______厘米． 5．甲、乙两数的最大公约数是 75，最小公倍数是 450．若它们的差最小， 则两个数为______和______． 6．鸡与兔共有 60 只，鸡的脚数比兔的脚数多 30 只，则鸡有______只，兔 有______只． 7．师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的 2 倍，师傅的产品放在 4 只筐中．徒弟产品放在 2 只筐中，每只筐都标明了产品 数量：78，94，86，77，92，80．其中数量为______和______2 只筐的产品是徒 弟制造的． 8．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人 速度的 3 倍，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔 20 分钟有一辆公共汽 车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔 ______分发一辆公共汽车． 9．一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时 候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果 1997，则这个被加了两次的页码 是______． 10．四个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶 数，而且两个分母是奇数的分数之和等于两个分母是偶数的分数之和．这样的两 个偶数之和至少为______． 二、解答题： 1．把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是 2∶3∶5． 2．如图，把四边形 ABCD 的各边延长，使得 AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′， 得到一个大的四边形 A′B′C′D′，若四边形 ABCD 的面积是 1，求四边形 A′B′ C′D′的面积． 3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转 5 圈时，乙轮 转 7 圈，丙轮转 2 圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？ 4．（1）图（1）是一个表面涂满了红颜色的立方体，在它的面上等距 离地横竖各切两刀，共得到 27 个相等的小立方块．问：在这 27 个小立方块中， 三面红色、两面红色、一面红色，各面都没有颜色的立方块各有多少？ （2）在图（2）中，要想按（1）的方式切出 120 块大小一样、各面都没有 颜色的小立方块，至少应当在这个立方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？ （3）要想产生 53 块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切几刀？ 5、甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强 和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇， 然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站 300 米时又追上小明， 问：甲、乙两站的距离是多少米？ 6、 平面上给定 17 个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于 1，证 明：在这 17 个点中必有 9 个点可以落在同一半径为 1 的圆内。 参考答案 一、填空题 1．（537.5） 原式=412×0.81+537×0.19+11×9.25=412×0.81+（412+125）×0.19+11 ×9.25 =412×（0.81+0.19）+1.25×19+11×（1.25+8） =412+1.25×（19+11）+88=537.5 2．（5283） 从*×9，尾数为 7 入手依次推进即可． 3．（6 年） 爸爸比小惠大：6×5-6=24（岁），爸爸年龄是小惠的 3 倍，也就是比她多 2 倍，则一倍量为：24÷2=12（岁），12-6=6（年）． 4．（14 厘米）． 2+2+5+5=14（厘米）． 5．（225，150） 因 450÷75=6，所以最大公约数为 75，最小公倍数 450 的两整数有 75×6， 75×1 和 75×3，75×2 两组，经比较后一种差较小，即 225 和 150 为所求． 6．（45，15） 假设 60 只全是鸡，脚总数为 60×2=120．此时兔脚数为 0，鸡脚比兔脚多 120 只，而实际只多 30，因此差数比实际多了 120-30=90 （只）．这因为把其中的兔换成了鸡．每把一只兔换成鸡．鸡的脚数将增加 2 只，兔的脚数减少 4 只，那么鸡脚与兔脚的差数增加了 2+4=6（只），所以换 成鸡的兔子有 90÷6=15（只），鸡有 60-15=45（只）． 7．（77，92） 由师傅产量是徒弟产量的 2 倍，所以师傅产量数总是偶数．利用整数加法的 奇偶性可知标明“77”的筐中的产品是徒弟制造的．利用“和倍问题”方法．徒 弟加工零件是 （78+94+86+77+92+80）÷（2+1）=169（只） ∴169-77=92（只） 8．（8 分） 紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公 汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车 要用 10 分才能追上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速度）×10．对汽车 超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距 离除以 5 倍的步行速度．即 10×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分） 9．（44） 10．（16） 满足条件的偶数和奇数的可能很多，要求的是使两个偶数之和最小的那 仍为偶数，所求的这两个偶数之和一定是 8 的倍数．经试验，和不能是 8， 二、解答题： EC，则△CDE、△ACE，△ADB 的面积比就是 2∶3∶5．如图． 2．（5） 连结 AC′，AC，A′C 考虑△C′D′D 的面积，由已知 DA=D′A，所以 S△C′ D′D=2S△C′AD．同理 S△C′D′D=2S△ACD，S△A′B′B=2S△ABC，而 S 四边 形 ABCD=S△ACD+S△ABC，所以 S△C′D′D+SS△A′B′B=2S 四边形 ABCD．同样 可得 S△A′D′A+S△B′C′C=2S 四边形 ABCD，所以 S 四边形 A′B′C′D′=5S 四边形 ABCD． 3．（14，10，35） 用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为 5∶7∶ 2，根据齿数与转数成反比例的关系． 甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10， 乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以 甲齿∶乙齿∶丙齿=14∶10∶35 由于 14，10，35 三个数互质，且齿数需是自然数，所以甲、乙、丙三个齿 轮齿数最少应分别是 14，10，35． 4．（1）三面红色的小方块只能在立方体的角上，故共有 8 块． 两面红色的小方块只能在立方体的棱上（除去八个角），故共有 12 块． 一面红色的小方块只能在立方体的面内（除去靠边的那些小方格），故共有 6 块． （2）各面都没有颜色的小方块不可能在立方体的各面上．设大立方体被分 成 n3 个小方块，除去位于表面上的（因而必有含红色的面）方块外，共有（n-2） 3 个各面均是白色的小方块．因为 53=125＞120，43=64＜120，所以 n-2=5，从而， n=7，因此，各面至少要切 6 刀． （3）由于一面为红色的小方块只能在表面上，且要除去边上的那些方块， 设立方体被分成 n3 个小方块，则每一个表面含有 n2 个小方块，其中仅涂一面红 色的小方块有（n-2）2 块，6 面共 6×（n-2）2 个仅涂一面红色的小方块．因为 6 ×32=54＞53，6×22=24＜53，所以 n-2=3，即 n=5，故各面至少要切 4 刀． 5、甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和 小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇， 然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站 300 米时又追上小明， 问：甲、乙两站的距离是多少米？ 先画图如下： 分析 结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察： ①第一阶段——从出发到二人相遇： 小强走的路程=一个甲、乙距离+100 米， 小明走的路程=一个甲、乙距离-100 米。 ②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2 个甲、乙距 离-100 米+300 米=2 个甲、乙距离+200 米， 小明走的路程=100+300=400（米）。 从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶 段的 2 倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的 2 倍，即第一阶段应走 400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为 200＋100=300（米）。 6、 平面上给定 17 个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于 1，证 明：在这 17 个点中必有 9 个点可以落在同一半径为 1 的圆内。 分析与解答 如果 17 个点中，任意两点之间的距离都小于 1，那么，以这 17 个 点中任意一点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这 17 个点必然全落在这个圆内. 如果这 17 个点中，有两点之间距离不小于 1（即大于 1 或等于 1），设这两点为 O1、O2，分别以 O1、O2 为圆心，1 为半径作两个圆（如图）. 把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于 1，因此 其他 15 个点中的每一点，到 O1、O2 的距离必有一个小于 1.也就是说这些点必落 在某一个圆中.根据抽屉原理必有一个圆至少包含这 15 个点中的8 个点.由于圆心 是 17 个点中的一点，因此这个圆至少包含 17 个点中的 9 个点.