北师大版七年级上册-第04讲-基本平面图形综合复习（培优）-教案 14页

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 04 讲--- 基本平面图形综合复习 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 认识线与角基本元素，了解其性质 2 认识多边形、正多边形、圆和扇形； 3 掌握多边形的相关概念，并会求多边形对角线的条数； 4 掌握圆弧、圆心角、扇形的概念； 5 会求扇形的圆心角度数和扇形的面积。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）线：直线、射线、线段 （1）线段：有两个端点，连接两个端点得到的图形就是线段。线段有两个端点且线段是有长度的。 2 射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸。端点字母 表示在前，顺序不能颠倒。 直线：将一条线段向两个方向无限延伸就形成了直线。直线没有端点，向两个方向无限延伸。 （2）线段的性质：两点之间，线段最短。 两点之间的距离： 两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离。 比较线段长短的方法：叠合法和度量法。 线段的中点：线段上把线段分为两个长度相等的线段的点，叫做线段的中点。 （二）角 （1）角:角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做 角的边。 （2）角的表示方法：（1）用三个字母表示，表示顶点的字母必须写在中间；（2）用一个大写字母， 此时以该字母为顶点的角只有一个；（3）用一个小写希腊字母或者一个数字表示。 （3）角的单位换算：1 度的 1 60 为 1 分，记作1' ，即 1 度=60 分，1 分的 1 60 为 1 秒，记作 ''1 （4）方向角：方向角是用来描述物体所在方向的一个重要的量，它是物体所在的方向与正北、正南方 向的夹角。 （5）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分为两个相等的角，这条射线叫做角的平 分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （三）多边形 （1）多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。组 成多边形的各条线段叫做多边形的边，相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角 叫做多边形的内角。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段，这样的线段叫做多边形的对角线。 （2）n 边形的内角和为 (n-2)×180º。正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 （四）圆 （1）圆:平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一端点形成的图形叫做圆， 固定的端点叫做这个圆的圆心，这条线段称为半径。 （2）圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作⌒AB ,读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆 心角，阴影部分就是扇形 AOB，∠AOB 就是圆中的一个圆心角。 3 一个圆内，分成的扇形的圆心角的度数之和等于圆周角 360 度。每一个扇形圆心角的度数等于 360 o 每一个扇形所占圆周的百分比 （3）弧长公式=圆的周长╳ 360 弧所对圆心角度数 。 扇形的面积=圆的面积╳ 360 扇形圆心角度数 。 典例分析 考点一：线 例 1、下列说法：① 两条直线最多有一个公共点，② 两条直线可能有无数个公共点，③ 两条线段可能有 无数个公共点，④ 一条直线和一条线段可能有无数个公共点，其中正确的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】根据直线、线段的相交的交点个数进行判断即可． ① 两条直线最多有一个公共点，错误； ② 两条直线可能有无数个公共点，正确； ③ 两条线段可能有无数个公共点，正确； ④ 一条直线和一条线段可能有无数个公共点，正确．故选 C 例 2、如图所示，图中共有线段多少条（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【解析】根据线段的定义结合图形即可得出答案，注意不要漏数或数重． 解：图中有线段 AE，AD，AC，AB，EC，DE，EB，BC，BD，DC 共 10 条， 故选：B． 例 3、平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同 n 个点最多可确定 15 条直线，则 n 的值为 ． 【解析】 解：∵平面内不同的两点确定 1 条直线， ；平面内不同的三点最多确定 3 条直线，即 =3； 平面内不同的四点确定 6 条直线，即 =6，∴平面内不同的 n 点确定 （n≥2）条直线， ∴平面内的不同 n 个点最多可确定 15 条直线时， =15，解得 n=﹣5（舍去）或 n=6． 故答案为：6． 例 4、某班 50 名同学分别站在公路的 A，B 两点处，A，B 两点相距 1000 米，A 处有 30 人，B 处有 20 人， 4 要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ） A．A 点处 B．线段 AB 的中点处 C．线段 AB 上，距 A 点 米处 D．线段 AB 上，距 A 点 400 米处 【解析】设 A 处学生走的路程，表示出 B 处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和． 解：设 A 处的同学走 x 米，那么 B 处的同学走（1000﹣x）米， 所有同学走的路程总和： L=30x+20（1000﹣x）=10x+20000 此时 0≤x≤1000，要使 L 最小，必须 x=0， 此时 L 最小值为 20000；所以选 A 点处．故选 A． 例 5、如图，在数轴上有 A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数），且 2AB=BC=3CD，若 A、D 两 点表示的数的分别为﹣5 和 6，点 E 为 BD 的中点，那么该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段 BD 的中点最近的整数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解析】根据 A、D 两点在数轴上所表示的数，求得 AD 的长度，然后根据 2AB=BC=3CD，求得 AB、BD 的长度，从而找到 BD 的中点 E 所表示的数． 解：∵|AD|=|6﹣（﹣5）|=11， 2AB=BC=3CD， ∴AB=1.5CD， ∴1.5CD+3CD+CD=11， ∴CD=2， ∴AB=3， ∴BD=8， ∴ED= BD=4， ∴|6﹣E|=4， ∴点 E 所表示的数是：6﹣4=2．∴离线段 BD 的中点最近的整数是 2．故选 D． 5 考点二：角 例 1、如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，且∠BOC=50°，则 ∠COD=（ ） A．50° B．25° C．100° D．75° 【解析】利用角平分线的性质求得∠AOD=∠COD= ∠AOC、∠AOC=∠BOC；然后由等量代换求得 ∠COD= ∠BOC=25°． 解：∵OD 是∠AOC 的平分线， ∴∠AOD=∠COD= ∠AOC； ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC=∠BOC， ∴∠COD= ∠BOC=25°．故选 B． 例 2、观察下图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？ （4）以此类推，如图④所示，若一个角内有 n 条射线，此时共有多少个角？ 【解析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有 n 条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了 （n﹣1）个角，则共有 n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为： ，可根据 这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论； 在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共 n 条射线，那么图中共有（n+2）条射线， 代入上面的规律，即可得到所求的结论． 解：由分析知： 6 （1）①图中有 2 条射线，则角的个数为： =1（个）； （2）②图中有 3 条射线，则角的个数为： =3（个）； （3）③图中有 4 条射线，则角的个数为： =6（个）； （4）由前三问类推，角内有 n 条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为 个． 例 3、已知∠AOB=80°，OC 是∠AOB 的平分线，OD、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC， （1）求∠DOE 的度数； （2）当 OC 在∠AOB 内绕 O 点旋转时，OD、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线， 问此时∠DOE 的大小是否和（1）中的答案相同？通过此过程，你能总结出怎样的 结论？有 【解析】（1）根据角平分线的定义求得∠AOC=∠BOD= ∠AOB= ×80°=40，再由角平分线的定义求得， ∠DOC= ∠BOC= ×40°=20°，∠EOC= ∠AOC= ×40°=20°，即可求解； （2）根据角平分线的定义求得，∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠BOC+∠AOC）= ∠AOB，从而解决问题． 解：（1）∵OC 是∠AOB 的平分线 ∴∠AOC=∠BOD= ∠AOB= ×80°=40°， ∵OD、OE 分别平分∠BOC、∠AOC， ∴∠DOC= ∠BOC= ×40°=20°∠EOC= ∠AOC= ×40°=20°， ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=20°+20°=40°； （2）当 OC 旋转时 ∵OD、OE 仍为∠BOC、∠AOC 的平分线， ∴∠DOC= ∠BOC，∠EOC= ∠AOC， ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠BOC+∠AOC）= ∠AOB= ×80°=40°， ∴∠DOE 大小不变，得出结论：OC 不论怎样变化，只要∠AOB 不变，总有∠DOE=∠AOB． 例 4、计算： （1）153°29′42″+26°40′32″； （2）110°36′﹣90°37′28″； （3）62°24′17″×4； （4）102°43′21″÷3 【解析】（1）180°10′14″； （2）19°58′32″； （3）249°37′8″； （4）34°14′27″． 7 考点三：多边形 例 1、对角线相等的正多边形是（ ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形或正五边形网版权所 有 【解析】根据正多边形的性质，可得答案． 解：正方形的对角线相等，正五边形的对角线相等，故选：D． 例 2、观察图中的图形，并阅读图形下面的相关文字： 三角形的对角线有 0 条，四边形的对角线有 2 条，五边形的对角线有 5 条，六边形的对角线有 9 条． 通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出 n 边形的对角线有多少条吗？ 【解析】根据对角线的概念，即连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．则从 n 边形的一 个顶点出发有（n﹣3）条对角线，n 个顶点共有 条对角线． 解：十边形的对角线有 =5×7=35（条）， n 边形的对角线有 条． 例 3、已知从 n 边形的一个顶点出发共有 4 条对角线，其周长为 56，且各边长是连续的自然数，求这个多 边形的各边长． 【解析】根据 n 边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求多边形的边数，再根据多边形的周长 的定义可求这个多边形的各边长． 解：依题意有 n﹣3=4， 解得 n=7， 设最短边为 x，则 7x+1+2+3+4+5+6=56， 解得 x=5． 故这个多边形的各边长是 5，6，7，8，9，10，11． 8 考点四：圆、圆弧、圆心角 例 1、将一个圆分成 1：2：3 三部分，每一部分的圆心角的度数分别是 ， ， ． 【解析】根据相等的圆心角所对的弧相等，则周角被分成 1：2：3 三部分，然后按照圆周为 360°被 6 等份 进行计算． 解：360°× =60°，360°× =120°，360°× =180°， 所以每一部分的圆心角的度数分别 60°，120°，180°．故答案为 60°，120°，180° 例 2、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C、D 是 上的三等分点，∠AOE=60°，则 ∠COE 是（ ） A．40° B．60° C．80° D．120° 【解析】解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°， ∴ 的度数是 120°， ∵C、D 是 上的三等分点，∴弧 CD 与弧 ED 的度数都是 40 度，∴∠COE=80° 例 3、已知圆弧所在圆的半径是 6，圆弧的度数为 90°，则弧长为 ． 【解析】由于圆弧的度数为 90°，可知半径为 6cm 的圆弧的弧长为其所在圆的 计算出圆的周长即可得出该 弧的长．解：弧长为= ×2π×6=3π．故答案为：3π． 考点五：扇形的面积等相关计算 例 1、半径为 6，圆心角为 120°的扇形的面积是（ ） A．3π B．6π C．9π D．12π有 【解析】根据扇形的面积公式 S= 计算即可．解：S= =12π，故选：D． 例 2、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长 为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175πcm2 B．350πcm2 C． πcm2 D．150πcm2 菁优网版 权所有 【解析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为 120°，扇形的半径为 25cm 和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积． 9 解：∵AB=25，BD=15， ∴AD=10， ∴S 贴纸=2×（ ﹣ ）=2×175π=350πcm2，故选 B． 例 3、如图，△OAB 中，OC=AC=BC=4，∠A=∠B=45°，C 为圆 O 上一点， OC 是三角形 AOB 的高，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【解析】S 阴影=S△AOB﹣S 扇形= ×8×4﹣ 290 4 360  。π 。 =16-4π 故图中阴影部分的面积为 16-4π 例 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm。把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到 △A1B1C1（如图所示），则线段 AB 所扫过的面积为（ ） A．5 cm2 B． πcm2 C． πcm2 D．5πcm2 【解析】由扇形的面积公式即可得出结论． ∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm， ∴线段 AB 扫过的面积是以点 A 为圆心，AB 为半径，圆心角是 90°扇形的面积 = cm2 选 B P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、如图，以 A、B、C、D、O 为端点的线段共有（ ）条． A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】解：以 A、B、C、D、O 为端点的线段有：AB，AO，AD，BO，BC，OC，OD，CD 共有 8 条线 段．故选 C． 2、计算：（1）48°39′+67°31′ （2）78°﹣47°34′56″ 10 （3）22°16′×5； （4）42°15′÷5 【解析】（1）116°10′； （2）30°25′4″； （3）111°20′； （4）8°27′． 3、如图，OB 是∠AOC 的平分线，∠AOD=82°，∠AOB=30°，求∠COD． 【解析】直接利用角平分线的定义得出∠BOC=∠AOB=30°，再利用∠COD=∠AOD﹣ ∠AOC 求出答案． 解：∵OB 平分∠AOC， ∴∠BOC=∠AOB=30°，即∠AOC=∠BOC+∠AOB=60°， ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=82°﹣60°=22° 4、从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003 个三角形，则这个多边形的边数 为（ ） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【解析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系 求解．解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003 个三角形， 则这个多边形的边数为 2003+1=2004．故选 C． 5、如图，分别以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，以 1 为半径作五个圆，则图中阴 影部分的面积之和为（ ） A． B．3π C． D．2π 【解析】圆心角之和等于 n 边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式 S= 计算即可求出圆形中的空白面积，再用 5 个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积． 解：n 边形的内角和（n﹣2）×180°，圆形的空白部分的面积之和 S= = π= π= π．所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣ π=5π﹣ π= π．故 选：C． 6、如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针旋转 60°得到△A′B′C，已知 AC=6，BC=4，则线段 AB 扫过的图形的 面积为（ ） 11 A． π B． π C．6π D． π 【解析】根据图形可以得出 AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′+S△ABC﹣S 扇形 BCB′﹣S△ A′B′C，由旋转的性质就可以得出 S△ABC=S△A′B′C 就可以得 出 AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′﹣S 扇形 BCB′求出其值即可． 解：∵△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C， ∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60°． ∵AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′+S△ABC﹣S 扇形 BCB′﹣S△A′B′C， ∴AB 扫过的图形的面积=S 扇形 ACA′﹣S 扇形 BCB′， ∴AB 扫过的图形的面积= ×π×36﹣ ×π×16= π 7、△ABC 中，∠C=90°，AB=10，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． π B． π C． π D． π 【解析】已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，两个扇形的面积的圆心角之和为 90 度，利用扇形面积公式即可求解． 解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10 ∴S 阴影部分= = ．故选 A．  课后反击 1、A，B，C 三点在同一直线上，线段 AB=5cm，BC=4cm，那么 A，C 两点的距离是（ ） A．1cm B．9cm C．1cm 或 9cm D．以上答案都不对 【解析】由已知条件知 A，B，C 三点在同一直线上，做本题时应考虑到 A、B、C 三点之间的位置，分情 况可以求出 A，C 两点的距离． 解：第一种情况：C 点在 AB 之间上，故 AC=AB﹣BC=1cm； 第二种情况：当 C 点在 AB 的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．故选 C． 2、如图，线段的条数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．12 版权所有 【解析】根据线段的定义结合图形可得出答案． 12 解：以 A、B、C、D、E、F 为端点的线段有：AB，AD，AE，BC，BF，CD，CF，DE，EF 共有 9 条线 段．故选 B． 3、如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A．南偏西 30°方向 B．南偏西 60°方向 C．南偏东 30°方向 D．南偏东 60°方向 【解析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向． 解：如图所示：可得∠1=30°， ∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30°方向， ∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西 30°方向．故选：A． 4、计算： （1）77°42′+34°45′ （2）108°18′﹣56°23′ （3） 180°﹣（34°54′+21°33′） 【解析】（1）77°42′+34°45′=111°87′=112°27′； （2）108°18′﹣56°23′=51°55′； （3）180°﹣（34°54′+21°33′）=180°﹣56°27′=123°33′． 5、如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出 2 个三角形；图（2）中可分割出 3 个三角形； 图（3）中可分割出 4 个三角形；由此你能猜测出，n 边形可以分割出 个三角形． 【解析】（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形； （3）以此类推，n 边形分割成了（n﹣1）个三角形． 6、从一个多边形的任何一个顶点出发都只有 6 条对角线，则它的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】可根据 n 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解． 13 解：设多边形有 n 条边，则 n﹣3=6，解得 n=9．故选：D． 7、将一个版圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为 1：7：10，那么最大扇形的圆心角的度数为 ． 【解析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数． 解：最大扇形的圆心角的度数=180°× =100°．故答案为 100°． 8、如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，OA=OC=1，∠AOC=90º，则图中阴影部分的面积 是（ ） A． B． C． D． + 【解析】OA=OB，∠AOC=90º，三角形 AOC 与三角形 BOC 属于等底同高，所 以 S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积． 解： OA=OB，∠AOC=90º ∴S△AOC=S△BOC， ∴S 阴影部分=S 扇形 AOC= = ．故选 A． 直击中考 1、（2016•新疆）一个扇形的圆心角是 120°，面积为 3πcm2，那么这个扇形的半径是（ ） A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm 版权所有 【解析】根据扇形的面积公式：S= 代入计算即可解决问题． 解：设扇形的半径为 R， 由题意：3π= ，解得 R=±3， ∵R＞0， ∴R=3cm， ∴这个扇形的半径为 3cm．故选 B． S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 14 1、n 边形的内角和为 (n-2)×180º； 2、弧长公式=圆的周长╳ 360 弧所对圆心角度数 。 ； 扇形的面积=圆的面积╳ 360 扇形圆心角度数 。 名师点拨 弧长公式=圆的周长╳ 360 弧所对圆心角度数 。 ； 扇形的面积=圆的面积╳ 360 扇形圆心角度数 。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是