六年级下册数学试题-小升初：第一讲 计算之公式应用、分数的拆分（解析版）全国通用 14页

第一讲计算之公式应用、分数的拆分引言：重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1速算巧算2分数的计算技巧为明显趋势（分值大体在6分～12分），本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。教学目标1.回顾提取公因数（式）和凑整的应用。2.精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。提高班教师版使用说明：本版的学生版上，出现拓展题，但老师作为例题来讲解呈现。出发点是让老师对该知识点的讲解有一定的拓展。专题回顾【例1】★★（习题库）3.764×34.6+623.5×0.346+0.0346解：原式=3764×0.0346+6235×0.0346+0.0346=(3764+6235+1)×0.0346=10000×0.0346=346【例2】计算：1－ 解：原式=0【例1】★★★解：原式=此题学生容易做成，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。【例2】★★★（北大附中入学选拔试题）求3333333×6666666乘积的各位数字之和。解：原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222=11111110000000-2222222=11111107777778所以，各位数字之和为8×7=56专题精讲.下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。 常用公式：1、1+2+3+4+…n＝；2、12+22+32+42+…+n2＝3、13+23+33+43+…+n3＝(1+2+3+4+…+n)2＝；4、5、平方差公式:6、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.可以合写在一起，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”7、……8、9、×＝123…n…321(n≤9)；10、12+32+52+…+（2n-1）2＝11、；；；……12、等比数列求和公式：一、循环小数化分数 请同学们比较1与0.99999999……的大小,在讨论中引入循环小数化分数的推导.铺垫：以此题为例推导：设：为A,那么100A=10000A=所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12【点评】循环小数化分数分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环加上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数做差得来。【例1】★★+=。 解：原式=0.5++=此题也可以把两个循环小数展开，加完后得到，再化成分数。【例1】★★★(“希望杯”赛题)计算解：原式===一、常见公式的应用【例2】★★（首师大附中入学选拔试题）解：原式=【拓展练习】★★★（小学数学奥林匹克预赛试题）解：原式=【例3】★★★★（教研组精选题）对自然数a和n，规定a▽n=，例如3▽2=32+3=12，那么：1)1▽2+2▽2+…+99▽2=； 2)2▽l+2▽2+…+2▽99=；解：（1）原式=12+1+22+2+……+992+99=12+22+32+…+992+1+2+3+…+99=×99×100×（2×99+1）+4950=333300（2）原式=21+20+22+2+23+22+…+299+298=20+21+22+23+…+298+21+22+…+299=（20+21+22+23+…+298）×（１＋２）=（299-1）×3=3×299-3【拓展练习】★★★（教研组精选题）计算36+49+64+81+……+400解：原式=12+22+32+42+…+202-(12+22+32+42+52)=×20×（20+1）×（2×20+1）-×5×（5+1）×（2×5+1）=2870-55=2815【例1】★★计算解：原式== =×2006×(2006+1)=2013021【例1】★★★★(浙江省小学数学活动课夏令营)=。解：原式==×(1+19)×10+1-=100【点评】对于2倍等比数列求和，有“借来还去”的妙法。本题对于后面的等比数列部分，可以“借来”，则有最后两个数的和等于前面一个数，依此前推，则总得数为两个，即为1,但这不是最终结果，因为要“还去”，即1-。一般地，对于Sn=a1+21a1+22a1+2n-1a1=(2n-1)a1【例2】★★★(浙江省小学数学活动课夏令营)（1）=（2）12342+87662+2468×8766=解：（1）解设a=31415926原式=a2-(a-1)(a+1)=1（2）原式=12342+87662+2×1234×8766 =(1234+8766)2=100000000【点评】这里介绍平方差公式与完全平方公式的变形应用：【例1】★★★（习题库）解：原式=====【例2】★★★★（习题库）解：原式= ==+=+=4000【点评】本题利用性质：对各个分数进行计算、比教。一、分数的拆分【例1】★★★★(2005年江苏省吴江市小学数学联赛)在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。=====解：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：=本题10的约数有:1,10,2,5.例如：选1和2，有： 本题具体的解共有：【点评】分子是1，分母是非零自然数的分数叫单位分数。人类对分数的认识就是从单位分数开始的。大约在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分数表示成单位分数之和，如=，也有人把单位分数叫做埃及分数。101中学根据这一知识点，出过一道入学考试题：幼儿园阿姨要把7个苹果平均分给12个小朋友，每个苹果不能超过5份。请帮阿姨设计一种分法。（画图表示）【拓展1】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。=解：从分母N的约数中任意找出两个m和n（m>n）,有：=所以，例如选5和2，有：=另外的解让学生去尝试练习。【拓展2】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。=-=解： 【点评】这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.专题展望欲看计算精彩，敬请继续关注：秋季班“计算之三大绝招：裂项、通项、换元”真题实战1.（浙江省小学数学活动课夏令营）2.0.76++解：原式=++===3.解： 1.（清华附中入学考试题）计算：解：原式=(1994—1993)+(1992一199l)+(4-3)+(2-1)=(1十)×1994=11632.（源自人大附中）算式1234567876545321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)的结果等于自然数_________的平方.解：原式＝111111112×82＝888888882，所以结果等于88888888的平方.3.（北京二中入学选拔试题）计算12-22+32-42+…+20052-20062+20072解：原式=20072-20062+20052-……+52-42+32-22+12=（2007+2006）（2007-2006）+（2005+2004）（2005-2004）+……+（3+2）（3-2）+1=2007+2006+2005+2004+……+3+2+1=×（2007+1）×2007=20150284.（习题库）解：原式= 数学语絮钻进去——跳出来——推开去 广大奥数“研究生”，现在迫切希望尽快提高学习效率，畅游奥数世界，从而达到学得更透、用得更活、想得更快、算得更准这样的理想境界。甚至有些“研究生”已经学了很长时间，都还没有一个头绪，只是跟在老师后面走，解题还没有从“经验型”转向“研究型”，请注意，我一直将奥数学员称作奥数“研究生”，有两层用意，一是其实我们很多学员在奥数这一“专业”领域，已经造诣非凡，无愧于“研究生”这样的称号（不是说有些奥数题，连数学家都做不出来吗？当然，这样的情况有褒贬不一的意味，其实我们正应该从中看到我们所缺乏的数学研究的正道，往往靠“剑走偏锋”，学了很多小的解题技巧，并不能成为一代“剑客”“剑宗”“剑圣”的。）二是，我们既然是“研究生”，要拿出“研究”问题的一套态度、方法出来。所以，在这里，向大家隆重推荐“钻进去——跳出来——推开去”的学习方法与理念。 第一， 钻进去。接触一个新的专题，一定要“钻进去”，要知道这一专题的主要数学模型，要摸清它的几种变化，要学会它的分析方法与常用套路，只有深入钻研，才能真正把握。要解决学得要透的问题。第二， 跳出来。 仅仅停留在第一阶段还不够，那样容易“只见树木不见森林”，只摸到“大象”的腿说不出它的样子。我们要跳出来，这里要“跳”，意指不能仅仅从归纳出这一专题的数学模型的角度，归纳出这一数学模型所需要的所有数量关系式，是在第一阶段钻研时必须要做的功课，而现在，我们必须从更高的层面“俯视”这一专题，它的数学模型的最基本的数量关系，最关键的要素条件，最经典的解题绝招，最常用的分析方法。这是在这一阶段要注意思考的问题。 第三，推开去。  我们的奥数“研究生”初步接触奥数时，总是觉得每一道奥数题都是崭新的面孔，它的数量关系带有强烈的“个性”；稍高一个层次的“研究生”会觉得，奥数题是分很多专题的，每个专题有“规律”；最高水平的“研究生”，他的感觉是某道行程题可以看作工程题，某道工程题可以看作几何题，某道几何题它在用“比例”，用分数的“量率对应”，“鸡兔同笼”哪里还要用“假设法”——方程法是首选，而“假设法”的用处可多着呢？他的这些感觉一点也不矛盾，而是从更高的层次把握了题目中的数量关系，他会觉得，有的题少了一个条件不影响结果，而且更好解题。这就是“推开去”，也就是我们经常提到的“融会贯通”。相信大家通过努力，一定能达到这样的境界。而且，这是数学乃至其他很多学科研究学问的通则。 谈到这儿，我想起伟大的华罗庚先生的学习方法——厚薄法。他老人家的意思是说，他在学习数学的时候，对一本数学书，先把它读得厚了，怎么变厚了呢？要理解这本书的概念、定理、方法，就要参考很多的其它内容啊，书不是变“厚”了吗？然后再把它读“薄”了，怎么又变“薄”了呢？就是跳出来，回头看，书中的内容被概括，被提炼，只剩下精华了，能不“薄”吗？这厚薄过程之后呢，就是学以致用了，就是咱们所说的“推开去”，也就是应用与推广。我们不要忘了，数学家华罗庚先生对数学知识——优化统筹法，用其毕生的精力去推广，在非数学领域中应用，其用意良深啊。