八年级下数学课件八年级下册数学课件《角的平分线》 北师大版 (5)_北师大版 28页

1.4角平分线(1) 一学习新知 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗?你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？ 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.CB1A2PDEO 证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE 几何语言表示：定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO ′思考分析你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它. 已知:如图所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP 证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴△POD和△BPOE都是Rt△∵PD=PE,OP=OP∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)∴∠POD=∠POE∴OC是∠AOB的平分线 逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO 例题讲析例1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.BFEDCA解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 二挑战自我 1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF 2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).A区 3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO 4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF 证明:∵AD是△ABC的角平分线且DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=EC 5.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.(1)如果CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC 解（1）∵AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°∴∠B=45°∴∠BDE=90°-45°=45°∴BE=DE在等腰直角三角形BDE中 （2）证明：由（1）的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD 四深入探索 已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？ABCDEFG 证明：∵EG为∠ACB的平分线∴∠BCE=∠ACE∵CG为∠ACD的平分线∴∠DCG=∠FCG∵EG∥BC∴∠FEC=∠BCE,∠FGC=∠GCD从而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG∴EF=FC,FC=FG从而EF=FG 五回顾与小结 定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO 逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).CB1A2PDEO 独立作业习题1.91,3题.祝你成功！ 结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.