2020八年级数学上册 专题突破讲练 三角形的内外角关系试题 （新版）青岛版 13页

三角形的内外角关系 一、三角形的内角和定理 ‎1. 定理：三角形的内角和是180°‎ 要点：① 定理的证明根据是平行线的性质。 ‎ ‎ ② 定理的证明方法有多种，选取以下两种方法加以掌握。‎ 证明方法 把三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ//BC，这样就相当于把∠B移到了∠1的位置，把∠C移到了∠2的位置。‎ 延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠Ａ移到了∠1的位置，把∠Ｂ移到了∠2的位置。‎ ‎2. 推论：①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎∵∠A＋∠B＋∠C＝180° 又∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° ∴∠A与∠B互余。 ‎ ‎② 等边三角形的每一个内角都是60°。‎ ‎∵∠D＋∠E＋∠F＝180°，又∠D=∠E=∠F，∴3∠D＝180°，∴∠D=∠E=∠F=60°‎ 定理的应用：‎ ‎① 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。‎ 13‎ 如：在△ABC中，∠C＝180°－（∠A＋∠B）‎ ‎② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角。‎ 如：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则可设∠A、∠B、∠C为2x、3x、4x，利用方程求得度数。‎ 二、三角形的外角 ‎1. 外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。‎ 如∠ACD与∠BCE均为外角。‎ ‎2. 三角形外角的性质 ‎（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。‎ ‎（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。‎ 提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角。因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的外角和是360°。‎ 三、三角形的外角与内角的关系 ‎1. 三角形的一个外角与它相邻的内角互补，如图：∠1与∠4是邻补角，即∠1＋∠4＝180º；‎ ‎2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，如图：∠1＝∠2＋∠3；‎ ‎3. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，如图：∠1>∠2，∠1>∠3。‎ ‎【拓展】‎ 13‎ 两种图形的认识 ‎（1）对顶三角形：有一个角是对顶角的两个三角形。特点是：每个三角形中除对顶角外，另两个角的和与另一个三角形中其余两个角的和相等。如图：∠A＋∠B＝∠D＋∠E ‎（2）图形的折叠：将图形沿某条线折叠，使其一部分与图形中某部分重合，可以形成边、角等多个相等关系。如图：∠1＝∠2＝∠3‎ 方法归纳：三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点：‎ ‎（1）实际应用中，题目中往往把∠A＋∠B＋∠C＝180°这个条件隐藏，要时时注意想到这个条件。‎ ‎（2）外角关系强调的是“不相邻”三个字，不要被题目偷换概念。‎ ‎（3）应用三角形的内、外角关系解题时，经常要使用到高、角平分线，注意二者定义中，高有垂直的结论，即有角是90°，角平分线的作用是将一个角平分成两个相等的角，有角的数值存在。‎ ‎（4）三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时常使用的理论依据，另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质。‎ 技巧归纳：解决本部分习题时要注意几种数学思想的应用：‎ 方程的思想 根据角与角之间的关系求角的度数时可列方程（或方程组）求解。‎ 如：∠A：∠B：∠C＝1：2：3，求三角形的形状。‎ 整体运用的思想 将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题做整体处理后，达到解决问题的目的。‎ 如：∠A＝40°，求∠3＋∠4＋∠B＋∠C的度数。‎ 13‎ 转化的思想 求较复杂的图形中多个角的度数和的问题。解题的关键是利用有关性质把这些角集中到一个三角形中，再利用三角形内角和的性质解决。‎ 如：求五角星的内角和问题。‎ 总结：1. 学会综合运用内、外角关系解决图形的角度计算问题。‎ ‎ 2. 将各种解题思想及方法掌握好，有利于今后几何的学习。‎ ‎ ‎ 例题1 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）‎ A. 50° B. 60 ° C. 70° D. 80°‎ 解析：先根据三角形的内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质即可得出结论。‎ 答案：∵在△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，‎ ‎∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°，‎ ‎∴∠5＝∠4＝70°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠3＝∠5＝70°。‎ 故选C。‎ 点拨：本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理。解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件。‎ 例题2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A＝22°，则∠BDC等于（　　）‎ 13‎ A. 44° B. 60° C. 67° D. 77°‎ 解析：由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数。由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC。由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案。‎ 答案：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，‎ ‎∴∠B＝90°－∠A＝68°，‎ 由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，‎ ‎∴∠ADE＝∠CED－∠A＝46°，‎ ‎∴∠BDC＝＝67°。‎ 故选C。‎ 点拨：此题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质。此题注意掌握折叠前后图形的对应关系，以及数形结合思想的应用。‎ ‎1. 几何图形变换的研究 几何图形的变换，核心内容是首图形的证明基本思路，变换后的图形与首图形的总体证明方法相同。但要注意的是这种题中所蕴含的数学思想：通过变换掌握举一反三的能力，将知识学活、用活。通过变换，提高面对试题的研读能力，从而做到一会百会。‎ ‎（1）充分分析首图形的条件，在此基础上将其应用到后面的图形中；‎ ‎（2）在变换时，认清本质，对变换后的结果依照首图形结论加以书写，注意与第一个结论保持格式上的一致，避免评卷老师的误判。‎ ‎（3）注意变换后，结论的变与不变：基本规律是线段与角相等的一般来说结论都会不变，但和、差类的变换最后其结论都会发生变化。‎ 例题 如图所示，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的内角平分线和外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明。‎ 13‎ 解析：本题没有给出具体角度，所以最后形成的将是一个关系式。主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理以及外角的性质，分析可知图（1）β＝90°＋α；（2）、（3）变换后图形道理类似，但过程略有不同，可参考（1）应用的定理加以说明。‎ 答案：‎ 解：（1）β＝90°＋α；（2）β＝α；（3）β＝90°－α。‎ 选择（1）进行证明。‎ 在图（1）中，根据三角形的内角和定理可得：‎ ‎∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A。‎ ‎∵BP与CP是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，‎ ‎∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝90°－α。‎ 在△PBC中，∠BPC＝180°－（∠PCB＋∠PBC）＝180°－（90°－α）＝90°＋α。‎ ‎∴β＝90°＋ α。‎ ‎2. 化归思想及对顶三角形的应用 化归思想是指将不同图形中的条件转化到同一图形中，三角形内角和的转化是利用有关性质把不同图形中的角集中到一个三角形中，再利用三角形的内角和定理、外角性质进行解决。对顶三角形的其他应用包含整体应用的思想，将不同三角形的内角和整体转化到一个图形中，从而解决复杂图形中的求值问题。‎ 例题 （1）如图①所示，线段AD、BC相交于点O，所组成的△ABO与△CDO叫做“对顶三角形”。已知∠A＝70°，∠B＝25°，求∠C＋∠D的度数。‎ ‎（2）如图②所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。‎ ‎（3）如图③所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。‎ 13‎ 解析：先根据对顶三角形的性质求得图①中 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ＝70°＋25°＝95°，图②中考虑连接BC，则可将问题转化为对顶三角形的问题，总和为180°；图③ 中图形将三个三角形中的∠A＋∠B、∠C＋∠D、∠E＋∠F转化到△GIH中，利用对顶三角形的性质得到2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360°‎ 答案：解：（1）在△ABO与△CDO中 因为 ∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠D＋∠COD＝180°‎ ‎∠AOB＝∠COD 所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D 因为∠A＝70°，∠B＝25°‎ 所以∠C＋∠D＝70°＋25°＝95°‎ ‎（2）连接BC 因为△EOD与△BOC为对顶三角形，‎ 所以∠D＋∠E＝∠OBC＋∠OCB 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°‎ ‎（3）因为△ABG与△GIH、△EFI与△GIH、△CHD与△GIH都是对顶三角形，‎ ‎∠A＋∠B＝∠GIH＋∠GHI ‎∠C＋∠D＝∠GIH ＋∠HGI ‎∠E＋∠F＝∠GHI＋∠HGI 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360°‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）‎ A. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 B. ∠A＋∠B＝∠C C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝2∠B＝3∠C ‎2. 已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形中（ ）‎ A. 一定有一个内角为45° B. 一定有一个内角为60° 13‎ C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形 ‎*3. 如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）‎ A. 360º B. 250º C. 180º D. 140º ‎*4. 已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（ ）‎ A. 小于直角　 B. 等于直角　 C. 大于直角　 D. 不能确定 ‎**5. 如图△ABC中，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠ABC＝50°，∠ACB＝62°，则∠DFE的大小是（ ）‎ A. 50° B. 62° C. 68° D. 70°‎ ‎**6. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（　　）‎ A. 150°　　 B. 210°　　 C. 105°　　 D. 75°‎ 二、填空题 ‎*7. 如图，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于点D，∠A＝40°，那么∠D＝________。‎ ‎*8. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°， 则∠EDF ＝_________。‎ 13‎ ‎**9. 如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An。设∠A＝θ。则：‎ ‎（1）∠A1＝　　；（2）∠An＝　　。‎ 三、解答题 ‎10. 判断适合下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？‎ ‎（1）∠A＝20°，∠B＝75°；‎ ‎（2）∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°；‎ ‎（3）∠A＝∠B＝∠C ‎*11. 一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°，李叔叔量得∠BCD＝142°就判定这个零件不合格，你能说出道理吗?‎ ‎*12. 如图，已知在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC︰∠BCA＝3︰2，CD⊥AD于D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度数。‎ ‎*13. 如图，点C为Rt△ABE的边AE延长线上的一点，BE⊥AC，点D为边AB上一点，DC交BE于点F，已知∠ADC＝80°，∠B＝35°，求∠C的度数。‎ 13‎ ‎**14. 如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝32°，∠D＝28°，‎ ‎（1）求∠P的度数。‎ ‎（2）请推断∠P与∠C、∠D的关系。‎ ‎**15. 已知△ABC中，∠BAC＝100°。‎ ‎（1）若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，如图①所示，试求∠BOC的大小；‎ ‎（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等份的射线）相交于O、O1，如图②所示，试求∠BOC的大小；‎ ‎（3）以此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O、O1、O2、……，如图③所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角。‎ 13‎ ‎1. C 解析：利用比例设方程，A、B、D中都有直角，C选项中三角相等则每一角为60°，则选C。‎ ‎2. A 解析：题目中隐含的条件为∠A＋∠B＋∠C＝180°，将∠B＋∠C＝3∠A代入，则可知∠A＝45°。‎ ‎3. B 解析：利用整体运用的思想，∠C＝70°，则∠1、∠2外角的和为110°，∠1＋∠2＝360°－110°＝250°。‎ ‎4. C 解析：∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝180°－（180°－∠BAC）＝90°＋∠BAC，所以选C。‎ ‎5. C 解析：因为∠DFE＝∠ACF＋∠CAF，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，所以∠DFE＝∠BAC，因为∠ABC＝50°，∠ACB＝62°，则∠BAC＝180°－50°－62°＝68°。‎ ‎6. A 解析：连接A A′，根据三角形外角的性质，∠1＋∠2＝2∠A，所以∠1＋∠2＝150°。‎ ‎7. 70° 解析：因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，所以∠ABC＋∠ACB＝140°，所以∠ABC与∠ACB的外角和 ＝360°－140°＝220°，因为CD、BD是角平分线，所以∠BCD＋∠CBD＝110°，所以∠D＝70°。‎ ‎8. 68° 解析：因为∠AFD＝158°，所以∠CFD＝22°，因为FD⊥BC，所以∠C＝68°，又因为∠B＝∠C，所以∠B＝68°，因为DE⊥AB，所以∠BDE＝22°，所以∠EDF＝180°－90°－22°＝68°。‎ ‎9. （1），（2） 解析：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，‎ ‎∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，‎ ‎∴∠A＋∠ABC＝2（∠A1BC＋∠A1），∴∠A1＝∠A，∵∠A＝θ，∴∠A1＝；‎ ‎（2）同理可得∠A2＝∠A1 ＝ ，所以∠An＝。‎ ‎10. 解：（1）因为∠C＝180°－∠A－∠B，∠A＝20°，∠B＝75°；所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－20°－75°＝85°，所以三角形为锐角三角形。‎ ‎（2）因为∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°，所以∠A＝30°＋∠B，∠C＝∠B－30°，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以30°＋∠B＋∠B＋∠B－30°＝180°，所以∠B＝60°，∠A＝90°，∠C＝30°，所以此三角形为直角三角形。‎ ‎（3）因为∠A＝∠B＝∠C，所以设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝6x，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以x＋2x＋6x＝180°，所以x＝20°，所以6x＝120°，所以该三角形为钝角三角形。‎ 13‎ ‎11. 解：这个零件不合格。道理如下：‎ 延长DC交AB与点E，因为∠DEB为△ADE的外角，所以∠DEB＝∠A＋∠D，因为∠DCB为△BEC外角，所以∠DCB＝∠CEB＋∠B，因为∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°，所以∠BCD＝140°，所以这个零件不合格。‎ ‎12. 解：‎ ‎∵ ∠B＝70° （已知）‎ ‎∴ ∠BAC＋∠BCA＝110°‎ ‎∵ ∠BAC：∠BCA＝3：2（已知）‎ ‎∴ ∠BAC＝110°/5×3＝66° ∠BCA＝110°/5×2＝44°‎ ‎∵ CD⊥AD（已知）‎ ‎∴ ∠ADC＝90°‎ 又∵∠ACD＝35°（已知）‎ ‎∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝55°‎ ‎∴∠BAE＝180°－∠DAC－∠BAC＝180°－55°－66°＝59°‎ ‎13. 解：因为BE⊥AC，所以∠AEB＝90°，因为∠B＝35°，所以∠A＝180°－90°－35°＝55°，因为∠ADC＝80°，所以∠C＝180°－∠ADC－∠A＝180°－80°－55°＝45°。‎ ‎14. 解：（1）因为∠1、∠C和∠3、∠P是对顶三角形中的两对角 所以，∠1＋∠C＝∠3＋∠P；‎ 因为∠4、∠D和∠2、∠P是对顶三角形中的两对角 所以，∠4＋∠D＝∠2＋∠P 所以∠1＋∠C＋∠4＋∠D＝∠3＋∠P＋∠2＋∠P 又因为∠1＝∠2、∠3＝∠4、∠C＝32°、∠D＝28°得到 ‎32°＋28°＝2∠P 所以∠P＝30°‎ ‎（2）同理：∠P＝。‎ ‎15. 解：∵∠BAC＝100°，‎ ‎∴∠ABC＋∠ACB＝80°，‎ ‎（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，‎ ‎∴∠OBC＋∠OCB＝40°，‎ ‎∴∠BOC＝140°。‎ ‎（2）∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，‎ ‎∴∠OBC＋∠OCB＝‎ 13‎ ‎∴∠BOC＝‎ ‎（3）∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，‎ ‎∴∠OBC＋∠OCB＝∴∠BOC＝180°－‎ 当∠BOC＝170°时，是八等分线的交线所成的角。‎ 13‎